Wegintergal/Vektorfeld/Basiseigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei ${}U\subseteq V$ eine offene Teilmenge in einem euklidischen Vektorraum,

$F,G\colon U\longrightarrow V$

stetige Vektorfelder und

$\gamma \colon [a,b]\longrightarrow U$

eine (stückweise) stetig differenzierbare Kurve. Zeige die folgenden Aussagen.

1. Für ${}r,s\in \mathbb {R}$ ist

   ${}\int _{\gamma }rF+sG=r\int _{\gamma }F+s\int _{\gamma }G\,.$

2. Es ist

   ${}\int _{-\gamma }F=-\int _{\gamma }F\,,$

   wobei ${}-\gamma$ den umgekehrt durchlaufenen Weg bezeichnet.

3. Wenn

   $\delta \colon [b,c]\longrightarrow U$

   ein weiterer (stückweise) stetig differenzierbarer Weg mit ${}\delta (b)=\gamma (b)$ ist, so ist

   ${}\int _{\gamma *\delta }F=\int _{\gamma }F+\int _{\delta }F\,,$

   wobei ${}\gamma *\delta$ den aneinander gelegten Weg bezeichnet.

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