Lineares Vektorfeld/2/Diagonalisierbar/Gradientenfeld/Aufgabe

Es sei ${}F\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$ eine lineare Abbildung, aufgefasst als lineares Vektorfeld.

1. Man gebe ein Beispiel für ein diagonalisierbares ${}F$ (mit ${}n=2$) und eine stetig differenzierbare Kurve

   $\gamma \colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$

   mit ${}\gamma (a)=\gamma (b)$ derart an, dass das Wegintegral ${}\int _{\gamma }F$ nicht ${}0$ ist.

2. Es sei nun ${}F$ diagonalisierbar bezüglich einer Orthonormalbasis. Zeige, dass

   ${}\int _{\gamma }F=0\,$

   für jede stetig differenzierbare Kurve ${}\gamma$ mit ${}\gamma (a)=\gamma (b)$ ist.

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