Lineares Vektorfeld/2/Diagonalisierbar/Gradientenfeld/Aufgabe/Lösung

1. Wir betrachten

   ${}F(x,y)={\begin{pmatrix}2&1\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2x+y\\y\end{pmatrix}}\,.$

   Die Matrix besitzt obere Dreiecksgestalt und somit sind die Diagonaleinträge ${}1$ und ${}2$ die verschiedenen Eigenwerte und die Abbildung ist diagonalisierbar. Es sei ${}\gamma$ die trigonometrische Parametrisierung des Einheitskreises, also

   ${}\gamma (t)={\begin{pmatrix}\cos t\\\sin t\end{pmatrix}}\,.$

   Dann ist

   ${}{\begin{aligned}\left\langle F(\gamma (t),\gamma '(t)\right\rangle &=\left\langle {\begin{pmatrix}2\cos t+\sin t\\\sin t\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-\sin t\\\cos t\end{pmatrix}}\right\rangle \\&=-2\cos t\sin t-\sin ^{2}t+\cos t\sin t\\&=-\cos t\sin t-\sin ^{2}t.\end{aligned}}$

   Diese Funktion ist von ${}0$ zu ${}2\pi$ zu integrieren. Der vordere Summand hat ${}-{\frac {1}{2}}\sin ^{2}t$ als Stammfunktion, das zugehörige bestimmte Integral ist daher gleich ${}0$. Der hintere Summand besitzt aber ein negatives Integral und somit ist

   ${}\int _{\gamma }F\neq 0\,.$

2. Es sei ${}u_{1},\ldots ,u_{n}$ eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren von ${}F$, und es gelte

   ${}F(u_{j})=c_{j}u_{j}\,.$

   Es sei ${}\gamma$ eine stetig differenzierbare Kurve mit

   ${}\gamma (a)=\gamma (b)\,$

   und seien ${}\gamma _{j}$ die Komponentenfunktionen bezüglich der Orthonormalbasis. Dann ist

   ${}{\begin{aligned}\left\langle F(\gamma (t)),\gamma '(t)\right\rangle &=\left\langle F(\gamma _{1}(t)u_{1}+\cdots +\gamma _{n}(t)u_{n}),\gamma _{1}'(t)u_{1}+\cdots +\gamma _{n}'(t)u_{n}\right\rangle \\&=\left\langle F(\gamma _{1}(t)u_{1})+\cdots +F(\gamma _{n}(t)u_{n}),\gamma _{1}'(t)u_{1}+\cdots +\gamma _{n}'(t)u_{n}\right\rangle \\&=\left\langle \gamma _{1}(t)c_{1}u_{1}+\cdots +c_{n}\gamma _{n}(t)u_{n},\gamma _{1}'(t)u_{1}+\cdots +\gamma _{n}'(t)u_{n}\right\rangle \\&=c_{1}\gamma _{1}(t)\gamma _{1}'(t)+\cdots +c_{n}\gamma _{n}(t)\gamma _{n}'(t).\end{aligned}}$

   Eine Stammfunktion von dieser Funktion ist

   ${\frac {1}{2}}c_{1}(\gamma _{1}(t))^{2}+\cdots +{\frac {1}{2}}c_{n}(\gamma _{n}(t))^{2}.$

   Daher ist

   ${}{\begin{aligned}\int _{\gamma }F&=\int _{a}^{b}(c_{1}\gamma _{1}(t)\gamma _{1}'(t)+\cdots +c_{n}\gamma _{n}(t)\gamma _{n}'(t))dt\\&={\frac {1}{2}}{\left(c_{1}(\gamma _{1}(t))^{2}+\cdots +c_{n}(\gamma _{n}(t))^{2}|_{a}^{b}\right)}\\&={\frac {1}{2}}{\left(c_{1}(\gamma _{1}(b))^{2}+\cdots +c_{n}(\gamma _{n}(b))^{2}-c_{1}(\gamma _{1}(a))^{2}+\cdots +c_{n}(\gamma _{n}(a))^{2}\right)}\\&=0.\end{aligned}}$

Zur gelösten Aufgabe