Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil II/Arbeitsblatt 48/latex
\setcounter{section}{48}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
$V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektor\-raum}{}{}
und
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} eine
\definitionsverweis {Bilinearform}{}{}
auf $V$. Zeige, dass
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} genau dann
\definitionsverweis {symmetrisch}{}{}
ist, wenn es eine Basis
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} von $V$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle v_i , v_j \right\rangle
}
{ =} { \left\langle v_j , v_i \right\rangle
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{1
}
{ \leq }{ i,j
}
{ \leq }{ n
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
\definitionsverweis {reeller Vektorraum}{}{}
mit einer
\definitionsverweis {symmetrischen}{}{}
\definitionsverweis {Bilinearform}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} auf $V$. Es sei
\mathl{u_1 , \ldots , u_n}{} eine
\definitionsverweis {Orthogonalbasis}{}{}
auf $V$ mit der Eigenschaft
\mathl{\left\langle u_i , u_i \right\rangle >0}{} für alle
\mathl{i=1 , \ldots , n}{.} Zeige, dass
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{}
\definitionsverweis {positiv definit}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
\definitionsverweis {reeller Vektorraum}{}{}
und
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} eine
\definitionsverweis {symmetrische}{}{}
\definitionsverweis {Bilinearform}{}{}
auf $V$. Zeige, dass die
\definitionsverweis {Gramsche Matrix}{}{}
zu dieser Bilinearform bezüglich einer geeigneten Basis eine
\definitionsverweis {Diagonalmatrix}{}{}
ist, deren Diagonaleinträge
\mathl{1,-1}{} oder $0$ sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V$ ein $n$-\definitionsverweis {dimensionaler}{}{}
\definitionsverweis {reeller Vektorraum}{}{}
und
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} eine
\definitionsverweis {symmetrische Bilinearform}{}{}
auf $V$. Zeige, dass folgende Eigenschaften äquivalent sind.
\aufzaehlungdrei{Die Bilinearform ist
\definitionsverweis {nicht ausgeartet}{}{.}
}{Die
\definitionsverweis {Gramsche Matrix}{}{}
der Bilinearform bezüglich einer
\definitionsverweis {Basis}{}{}
ist
\definitionsverweis {invertierbar}{}{.}
}{Die Bilinearform ist vom
\definitionsverweis {Typ}{}{}
\mathl{(p,n-p)}{}
\zusatzklammer {mit einem
\mathl{p \in { \{ 1 , \ldots , n \} }}{.}} {} {}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} eine
\definitionsverweis {nicht-ausgeartete}{}{}
\definitionsverweis {symmetrische Bilinearform}{}{}
vom
\definitionsverweis {Typ}{}{}
\mathl{(n-q,q)}{} auf einem
$n$-\definitionsverweis {dimensionalen}{}{}
\definitionsverweis {reellen Vektorraum}{}{.}
Es sei
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
von $V$ und es sei $G$ die
\definitionsverweis {Gramsche Matrix}{}{}
zu
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} bezüglich dieser Basis. Zeige, dass das Vorzeichen von
\mathl{\det G}{} gleich
\mathl{(-1)^q}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man gebe ein Beispiel einer \definitionsverweis {symmetrischen Bilinearform}{}{,} das zeigt, dass der Unterraum maximaler Dimension, auf dem die Ein\-schränkung der Form \definitionsverweis {positiv definit}{}{} ist, nicht eindeutig bestimmt ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme den
\definitionsverweis {Typ}{}{}
der durch die
\definitionsverweis {Gramsche Matrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & -5 \end{pmatrix}} { }
gegebenen
\definitionsverweis {symmetrischen Bilinearform}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
\definitionsverweis {reeller Vektorraum}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G
}
{ \subseteq }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene Menge}{}{}
und
\maabbdisp {f} {G} {\R
} {}
eine zweimal
\definitionsverweis {stetig differenzierbare Funktion}{}{.} Zeige, dass die
\definitionsverweis {Hesse-Form}{}{}
von $f$ in jedem Punkt
\mathl{P \in G}{}
\definitionsverweis {symmetrisch}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
\definitionsverweis {reeller Vektorraum}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G
}
{ \subseteq }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene Menge}{}{}
und
\maabbdisp {f} {G} {\R
} {}
eine zweimal
\definitionsverweis {stetig differenzierbare Funktion}{}{.} Es sei
\mathl{U \subseteq V}{} ein
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{}
von $V$,
\mathl{P \in G \cap U}{} und es sei
\maabbdisp {\tilde{f}} {G \cap U} {\R
} {}
die Einschränkung von $f$. Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( \operatorname{Hess}_{ P } \, f \right) } {{|}}_U
}
{ =} { \operatorname{Hess}_{ P } \, \tilde{f}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Man gebe für vorgegebene natürliche Zahlen
\mathl{p,q,n}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p+q
}
{ \leq }{n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine zweimal
\definitionsverweis {stetig differenzierbare Funktion}{}{}
\maabbdisp {f} {\R^n} {\R
} {,}
deren
\definitionsverweis {Hesse-Form}{}{}
im Nullpunkt den
\definitionsverweis {Typ}{}{}
\mathl{(p,q)}{} besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme den \definitionsverweis {Typ}{}{} der \definitionsverweis {Hesse-Form}{}{} zur Funktion \maabbeledisp {f} {\R^2} {\R } {(x,y)} {x^3-xy+y^2 } {,} in jedem Punkt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme den \definitionsverweis {Typ}{}{} der \definitionsverweis {Hesse-Form}{}{} zur Funktion \maabbeledisp {f} {\R^2} {\R } {(x,y)} {x^2y-xy^2+x^2-y^3 } {,} in jedem Punkt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabbdisp {f} {\R^n} {\R
} {}
eine $k$-fach
\definitionsverweis {stetig differenzierbare Funktion}{}{,}
\mathl{P \in \R^n}{} ein Punkt und
\mathl{v \in \R^n}{.} Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{h(t)
}
{ \defeq} { f(P+tv)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass $h$ $k$-fach stetig differenzierbar ist und dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{h^{(k)}(0)
}
{ =} {D_v \cdots D_vf (P)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {mit $k$ Richtungsableitungen} {} {}
gilt.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{2}
{
Man gebe ein Beispiel für einen
\definitionsverweis {endlichdimensionalen}{}{}
\definitionsverweis {reellen Vektorraum}{}{}
$V$ mit einer
\definitionsverweis {symmetrischen}{}{}
\definitionsverweis {Bilinearform}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} auf $V$ und einer
\definitionsverweis {Basis}{}{}
\mathl{u_1 , \ldots , u_n}{} von $V$ derart, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \left\langle u_i , u_i \right\rangle
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{i
}
{ = }{1 , \ldots , n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist, aber
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} nicht
\definitionsverweis {positiv definit}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Gramsche Matrix}{}{} des \definitionsverweis {Standardskalarproduktes}{}{} im $\R^3$ bezüglich der \definitionsverweis {Basis}{}{} $\begin{pmatrix} 1 \\2\\ 3 \end{pmatrix},\, \begin{pmatrix} 2 \\4\\ 5 \end{pmatrix}$ und $\begin{pmatrix} 0 \\1\\ 5 \end{pmatrix}$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Bestimme den
\definitionsverweis {Typ}{}{}
der
\definitionsverweis {Hesse-Form}{}{}
zur Funktion
\maabbeledisp {f} {\R^2\times\R_+} {\R
} {(x,y,z)} {xy^3-x^2 \ln z
} {,}
im Punkt
\mathl{(0,2,3)}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Es sei
\maabbdisp {f} {\R^n} {\R
} {}
eine zweimal
\definitionsverweis {stetig differenzierbare Funktion}{}{}
und
\mathl{P \in \R^n}{} ein
\definitionsverweis {kritischer Punkt}{}{.}
Die
\definitionsverweis {Hesse-Matrix}{}{}
in $P$ besitze sowohl positive als auch negative
\definitionsverweis {Eigenwerte}{}{.}
Zeige, dass $f$ in $P$ kein
\definitionsverweis {lokales Extremum}{}{}
besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {globalen Extrema}{}{}
für die Funktion
\maabbeledisp {f} {D} {\R
} {(x,y)} {x^2+y^2+xy
} {,}
wobei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ D
}
{ \subset }{ \R^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
das durch die Eckpunkte
$(0,0),\, (1,0)$ und $(0,1)$
gegebene
\definitionsverweis {abgeschlossene}{}{}
\zusatzklammer {volle} {} {}
Dreieck ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{6}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {Hesse-Matrizen}{}{}
zu den
\definitionsverweis {kritischen Punkten}{}{}
zur Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x,y)
}
{ =} {x^4+y^4+2x^2y^2-6y^3-6x^2y+8y^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
aus
Beispiel 46.9.
}
{} {}