Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil II/Arbeitsblatt 49/latex
\setcounter{section}{49}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{X_1^{r_1} \cdots X_n^{r_n}}{} ein
\definitionsverweis {Monom}{}{}
und es sei
\mathl{D_1^{s_1} \cdots D_n^{s_n}}{} eine Hintereinanderschaltung von
\definitionsverweis {partiellen Ableitungen}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D_i
}
{ = }{ { \frac{ \partial }{ \partial x_i } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
\aufzaehlungzwei {Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( D_1^{s_1} \cdots D_n^{s_n} \right) } { \left( X_1^{r_1} \cdots X_n^{r_n} \right) }
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
falls
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s_j
}
{ > }{ r_j
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für ein $j$ ist.
} {Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( D_1^{s_1} \cdots D_n^{s_n} \right) } { \left( X_1^{r_1} \cdots X_n^{r_n} \right) }
}
{ =} { { \frac{ r_1! \cdots r_n! }{ (r_1-s_1) ! \cdots (r_n-s_n)! } } X_1^{r_1-s_1} \cdots X_n^{r_n-s_n}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
falls
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s_j
}
{ \leq }{ r_j
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle $j$ ist.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{X_1^{r_1} \cdots X_n^{r_n}}{} ein
\definitionsverweis {Monom}{}{}
und es sei
\mathl{D_1^{s_1} \cdots D_n^{s_n}}{} eine Hintereinanderschaltung von
\definitionsverweis {partiellen Ableitungen}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ D_i
}
{ = }{ { \frac{ \partial }{ \partial x_i } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
\aufzaehlungzwei {Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( D_1^{s_1} \cdots D_n^{s_n} \right) } { \left( X_1^{r_1} \cdots X_n^{r_n} \right) } \left( 0 , \, \ldots , \, 0 \right)
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
falls
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s_j
}
{ \neq }{ r_j
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für ein $j$ ist.
} {Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( D_1^{r_1} \cdots D_n^{r_n} \right) } { \left( X_1^{r_1} \cdots X_n^{r_n} \right) } \left( 0 , \, \ldots , \, 0 \right)
}
{ =} { r_1! \cdots r_n!
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestätige
Satz 49.1
für
\mathl{f(x,y)=x^ay^b}{} in
\mathl{(0,0)}{} und
\mathl{v=(2,3)}{} bis zur dritten Ableitung.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme das \definitionsverweis {Taylor-Polynom}{}{} vom Grad $\leq 3$ für die \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbeledisp {} { \R^2} {\R } {(x,y)} {x^2 -y \cdot \sin x } {,}
im Nullpunkt
\mathl{(0,0)}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme das Taylor-Polynom zweiter Ordnung der Funktion
\maabbeledisp {f} {\R^2} {\R
} {(x,y)} {f(x,y) = e^{x-y^2}
} {,}
im Punkt
\mathl{(1,1)}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme das Taylor-Polynom zweiter Ordnung der Funktion
\maabbeledisp {f} {\R^3} {\R
} {(x,y,z)} {f(x,y,z) = e^{x } yz^2 -xy
} {,}
im Punkt
\mathl{(1,0,-1)}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme das Taylor-Polynom zweiter Ordnung der Funktion
\maabbeledisp {f} {\R^2} {\R
} {(x,y)} {f(x,y) = e^{ \sin x - \cos y }
} {,}
im Punkt
\mathl{\left( 0 , \, { \frac{ \pi }{ 2 } } \right)}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Notiere das
\definitionsverweis {Taylor-Polynom}{}{}
für eine
\zusatzklammer {hinreichend oft
\definitionsverweis {differenzierbare}{}{}} {} {} Funktion in
\mathkor {} {2} {oder} {3} {}
Variablen für die Grade
\mathl{k=1,2,3}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x,y)
}
{ =} {x^2y-3xy+5y^2+4x
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Berechne das
\definitionsverweis {Taylor-Polynom}{}{}
der Ordnung $3$ im Punkt
\mathl{P=(1,-2)}{} algebraisch
\zusatzklammer {d.h. man drücke das Polynom in den neuen Variablen
\mathl{u=x-1,v=y+2}{} aus und lese daraus das Taylor-Polynom ab} {} {}
und über Ableitungen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $f$ ein
\definitionsverweis {Polynom}{}{}
in $n$ Variablen vom Grad
\mathl{\leq k}{.} Zeige, dass $f$ mit dem
\definitionsverweis {Taylor-Polynom}{}{}
vom Grad
\mathl{\leq k}{} von $f$ im Nullpunkt übereinstimmt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{x_1^{r_1} \cdots x_n^{r_n}}{} ein
\definitionsverweis {Monom}{}{}
vom Grad
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { \, r \, }
}
{ = }{ \sum_{j = 1}^n r_j
}
{ > }{k
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{lim}_{ x \rightarrow 0 } \, { \frac{ x_1^{r_1} \cdots x_n^{r_n} }{ \Vert {x} \Vert^k } }
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
In den folgenden Aufgaben werden einige Eigenschaften der Polynomialkoeffizienten besprochen, die eine Verallgemeinerung der Binomialkoeffizienten sind.
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ r
}
{ = }{ (r_1, \ldots , r_{n})
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
$n$-\definitionsverweis {Tupel}{}{} natürlicher Zahlen. Es sei $k \defeq \sum_{ j=1}^{n} r_{ j }$. Dann nennt man die Zahl
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \binom { k } { r }
}
{ =} { { \frac{ {k}! }{ r_1! r_2! \cdots r_{n}! } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
einen \definitionswort {Polynomialkoeffizienten}{.}
\inputaufgabe
{}
{
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Waeller26.jpg} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Waeller26.jpg } {} {Odatrulle} {Commons} {CC-by-sa 4.0} {}
Im Fressnapf von Vorli liegen heute drei Würste, vier Knochen, sieben Trockenbällchen und zwei Kaustangen. In wie vielen Reihenfolgen kann Vorli das auffressen?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
In einem Studium werden $11$ Leistungsnachweise verlangt, und zwar $3$ Seminarscheine, $5$ Klausuren, $2$ mündliche Prüfungen und eine Hausarbeit, die in beliebiger Reihenfolge erbracht werden können. Wie viele Reihenfolgen gibt es, um diese Leistungsnachweise zu erbringen?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n,k
}
{ \in }{\N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r
}
{ = }{(r_1 , \ldots , r_k)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{}
{ n }{}
{ }{}
{ }{}
{ }{}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die Anzahl der
\definitionsverweis {Abbildungen}{}{}
\maabbdisp {} { { \{ 1 , \ldots , n \} } } { \{ 1 , \ldots , k \}
} {,}
bei denen das
\definitionsverweis {Urbild}{}{}
zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{j
}
{ \in }{ { \{ 1 , \ldots , n \} }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
aus genau
\mathl{r_j}{} Elementen besteht, gleich dem
\definitionsverweis {Multinomialkoeffizienten}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \binom{n}{r}
}
{ =} { { \frac{ n! }{ r_1! \cdots r_k! } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{k,n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r
}
{ = }{(r_1 , \ldots , r_n)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \sum_{j = 1}^k r_j
}
{ = }{ n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die Anzahl der $n$-Tupel
\mathdisp {(j_1 , \ldots , j_n) \in \{ 1 , \ldots , k \}^n} { , }
in denen die Zahl $j$ genau $r_j$-mal vorkommt, gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \binom{n}{r}
}
{ =} { { \frac{ n! }{ r_1! \cdots r_k! } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die Anzahl der geordneten
\definitionsverweis {Partitionen}{}{}
mit eventuell leeren Blöcken zum Anzahltupel
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r
}
{ = }{(r_1 , \ldots , r_k)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
einer $n$-elementigen Menge gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \binom{n}{r}
}
{ =} { { \frac{ n! }{ r_1! \cdots r_k! } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien $a_1 , \ldots , a_{ n }$ reelle Zahlen. Beweise den \stichwort {Polynomialsatz} {,} das ist die Gleichung
\mathdisp {(a_1 + \cdots + a_{ n })^{ k } = \sum_{ r=( r_1 , \ldots , r_{ n }), \, \sum_{i=1}^{ n } r_i =k } \binom{ k }{ r } a_1^{ r_1}a_2^{ r_2} \cdots a_{ n }^{ r_{ n} }} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\maabbdisp {f} {G} {\R
} {}
eine zweimal
\definitionsverweis {stetig differenzierbare Funktion}{}{,}
wobei
\mathl{G \subseteq \R^n}{} eine
\definitionsverweis {offene Menge}{}{}
sei. Zeige, dass für
\mathl{P \in G}{} und
\mathl{v \in V}{} die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{ r \in \N^n,\, \betrag { \, r \, } = 2 } { \frac{ 1 }{ r! } } D^r f(P) \cdot v^r
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } \operatorname{Hess}_{ P } \, f ( v,v)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
\definitionsverweis {reeller Vektorraum}{}{,}
\mathl{G \subseteq V}{}
\definitionsverweis {offen}{}{,}
\mathl{P \in G}{} und seien
\maabbdisp {f,g} {G} {\R
} {}
zwei zweimal
\definitionsverweis {stetig differenzierbare Funktionen}{}{.}
Zeige durch ein Beispiel, dass das
\definitionsverweis {Taylor-Polynom}{}{}
zum Produkt $fg$ im Punkt $P$ vom Grad $\leq 2$ nicht das Produkt der beiden Taylor-Polynome von
\mathkor {} {f} {und} {g} {}
in
\mathl{P}{} vom Grad $\leq 1$ sein muss.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G
}
{ \subseteq }{ \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {offen}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 0
}
{ \in }{ G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\maabbdisp {R} {G} {\R} {}
eine
\definitionsverweis {Funktion}{}{.}
Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ k
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, falls für eine Konstante
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und alle $v$ in einer
\definitionsverweis {offenen Umgebung}{}{}
von $0$ die Abschätzung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Vert {R(v)} \Vert
}
{ \leq }{ c \Vert {v} \Vert^{k+1}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt, dass dann
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{lim}_{ v \rightarrow 0 } \, \tfrac{ \Vert {R(v)} \Vert }{ \Vert {v} \Vert^k }
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
folgt.
Zeige umgekehrt durch ein Beispiel, dass aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{lim}_{ v \rightarrow 0 } \, \tfrac{ \Vert {R(v)} \Vert }{ \Vert {v} \Vert^k }
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
im Allgemeinen nicht die Abschätzung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Vert {R(v)} \Vert
}
{ \leq }{ c \Vert {v} \Vert^{k+1}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
folgt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Finde ein reelles Polynom $f$ in zwei Variablen vom Grad $\leq 2$, das die folgenden Eigenschaften besitzt. Ist die Lösung eindeutig?
\aufzaehlungsechs{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f((0,0))
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f((1,1))
}
{ = }{ 2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \partial f }{ \partial x } } ((0,0))
}
{ =} { 1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \partial f }{ \partial y } } ((0,0))
}
{ =} { -2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \partial f }{ \partial x } } ((1,1))
}
{ =} { 2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \partial f }{ \partial y } } ((1,1))
}
{ =} { 3
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Gibt es ein reelles Polynom $f$ in zwei Variablen vom Grad $\leq 2$, das die folgenden Eigenschaften besitzt?
\aufzaehlungsechs{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f((0,0))
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f((0,1))
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \partial f }{ \partial x } } ((0,0))
}
{ =} { 1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \partial f }{ \partial y } } ((0,0))
}
{ =} { -2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \partial f }{ \partial x } } ((0,1))
}
{ =} { -1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \partial f }{ \partial y } } ((0,1))
}
{ =} { 1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass es kein reelles Polynom $f$ in zwei Variablen vom Grad $\leq 2$ gibt, das die folgenden Eigenschaften besitzt.
\aufzaehlungsechs{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f((0,0))
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f((1,1))
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \partial f }{ \partial x } } ((0,0))
}
{ =} { 1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \partial f }{ \partial y } } ((0,0))
}
{ =} { -2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \partial f }{ \partial x } } ((1,1))
}
{ =} { -1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \partial f }{ \partial y } } ((1,1))
}
{ =} { 1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{5}
{
Bestätige
Satz 49.1
anhand des folgenden Beispiels.
\maabbeledisp {f} {\R^2} {\R
} {(x,y)} { x^2y^3- \cos \left( x-y^2 \right)
} {,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ = }{(1,-3)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v
}
{ = }{(5,-2)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{k
}
{ = }{2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Bestimme das \definitionsverweis {Taylor-Polynom}{}{} vom Grad $\leq 3$ für die \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbeledisp {} { \R^3} {\R } {(x,y,z)} {z \cdot \exp (xy) } {,}
im Nullpunkt
\mathl{(0,0,0)}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x,y)
}
{ =} {-2xy^3-5x^2y^2+4xy^2-7y+3
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Berechne das
\definitionsverweis {Taylor-Polynom}{}{}
der Ordnung $3$ im Punkt
\mathl{P=(-3,4)}{} algebraisch
\zusatzklammer {d.h. man drücke das Polynom in den neuen Variablen
\mathl{u=x+3,v=y-4}{} aus und lese daraus das Taylor-Polynom ab} {} {}
und über Ableitungen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
\definitionsverweis {reeller Vektorraum}{}{,}
\mathl{G \subseteq V}{}
\definitionsverweis {offen}{}{,}
\mathl{P \in G}{} und seien
\maabbdisp {f,g} {G} {\R
} {}
zwei $k$-mal
\definitionsverweis {stetig differenzierbare Funktionen}{}{}
mit den
\definitionsverweis {Taylor-Polynomen}{}{}
\mathkor {} {T_k(f)} {und} {T_k(g)} {}
in $P$ vom Grad
\mathl{\leq k}{.} Zeige, dass das Produkt $fg$ ebenfalls $k$-mal
\definitionsverweis {stetig differenzierbar}{}{}
ist, und dass für das Taylor-Polynom
\mathl{T_k(fg)}{} von $fg$ in $P$ vom Grad $\leq k$ die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{T_k(fg)
}
{ =} { ( T_k(f) \cdot T_k(g) )_{\leq k}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
besteht, wobei der Subskript
\mathl{{\leq k}}{} bedeutet, dass das Polynom bis zum Grad $k$ genommen wird.
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G
}
{ \subseteq }{ \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {offen}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Punkt und
\maabbdisp {f} {G} {\R} {}
eine
\definitionsverweis {Funktion}{}{.}
Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ k
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass es maximal ein Polynom
\mathl{p(x_1 , \ldots , x_n)}{} vom Grad $\leq k$ mit der Eigenschaft geben kann, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{lim}_{ x \rightarrow 0 } \, { \frac{ \Vert {f(x)-p(x)} \Vert }{ \Vert {x} \Vert^k } }
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}