Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil II/Arbeitsblatt 49



Übungsaufgaben

Aufgabe

Es sei ein Monom und es sei eine Hintereinanderschaltung von partiellen Ableitungen, .

  1. Zeige

    falls für ein ist.

  2. Zeige

    falls für alle ist.


Aufgabe

Es sei ein Monom und es sei eine Hintereinanderschaltung von partiellen Ableitungen, .

  1. Zeige

    falls für ein ist.

  2. Zeige


Aufgabe

Bestätige Satz 49.1 für in und bis zur dritten Ableitung.


Aufgabe

Bestimme das Taylor-Polynom vom Grad für die Funktion

im Nullpunkt .


Aufgabe *

Bestimme das Taylor-Polynom zweiter Ordnung der Funktion

im Punkt .


Aufgabe *

Bestimme das Taylor-Polynom zweiter Ordnung der Funktion

im Punkt .


Aufgabe *

Bestimme das Taylor-Polynom zweiter Ordnung der Funktion

im Punkt .


Aufgabe

Notiere das Taylor-Polynom für eine (hinreichend oft differenzierbare) Funktion in oder Variablen für die Grade .


Aufgabe

Es sei

Berechne das Taylor-Polynom der Ordnung im Punkt algebraisch (d.h. man drücke das Polynom in den neuen Variablen aus und lese daraus das Taylor-Polynom ab) und über Ableitungen.


Aufgabe

Es sei ein Polynom in Variablen vom Grad . Zeige, dass mit dem Taylor-Polynom vom Grad von im Nullpunkt übereinstimmt.


Aufgabe

Es sei ein Monom vom Grad . Zeige


In den folgenden Aufgaben werden einige Eigenschaften der Polynomialkoeffizienten besprochen, die eine Verallgemeinerung der Binomialkoeffizienten sind.

Es sei und ein - Tupel natürlicher Zahlen. Es sei . Dann nennt man die Zahl

einen Polynomialkoeffizienten.


Aufgabe

Im Fressnapf von Vorli liegen heute drei Würste, vier Knochen, sieben Trockenbällchen und zwei Kaustangen. In wie vielen Reihenfolgen kann Vorli das auffressen?


Aufgabe

In einem Studium werden Leistungsnachweise verlangt, und zwar Seminarscheine, Klausuren, mündliche Prüfungen und eine Hausarbeit, die in beliebiger Reihenfolge erbracht werden können. Wie viele Reihenfolgen gibt es, um diese Leistungsnachweise zu erbringen?


Aufgabe

Es seien und mit . Zeige, dass die Anzahl der Abbildungen

bei denen das Urbild zu aus genau Elementen besteht, gleich dem Multinomialkoeffizienten

ist.


Aufgabe

Es seien und mit . Zeige, dass die Anzahl der -Tupel

in denen die Zahl genau -mal vorkommt, gleich

ist.


Aufgabe

Zeige, dass die Anzahl der geordneten Partitionen mit eventuell leeren Blöcken zum Anzahltupel einer -elementigen Menge gleich

ist.


Aufgabe

Es seien reelle Zahlen. Beweise den Polynomialsatz, das ist die Gleichung


Aufgabe *

Es sei

eine zweimal stetig differenzierbare Funktion, wobei eine offene Menge sei. Zeige, dass für und die Beziehung

gilt.


Aufgabe

Es sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, offen, und seien

zwei zweimal stetig differenzierbare Funktionen. Zeige durch ein Beispiel, dass das Taylor-Polynom zum Produkt im Punkt vom Grad nicht das Produkt der beiden Taylor-Polynome von und in vom Grad sein muss.


Aufgabe

Es sei offen, und

eine Funktion. Sei . Zeige, falls für eine Konstante und alle in einer offenen Umgebung von die Abschätzung gilt, dass dann folgt.

Zeige umgekehrt durch ein Beispiel, dass aus im Allgemeinen nicht die Abschätzung folgt.


Aufgabe *

Finde ein reelles Polynom in zwei Variablen vom Grad , das die folgenden Eigenschaften besitzt. Ist die Lösung eindeutig?

  1. Es ist .
  2. Es ist .
  3. Es ist
  4. Es ist
  5. Es ist
  6. Es ist


Aufgabe *

Gibt es ein reelles Polynom in zwei Variablen vom Grad , das die folgenden Eigenschaften besitzt?

  1. Es ist .
  2. Es ist .
  3. Es ist
  4. Es ist
  5. Es ist
  6. Es ist


Aufgabe *

Zeige, dass es kein reelles Polynom in zwei Variablen vom Grad gibt, das die folgenden Eigenschaften besitzt.

  1. Es ist .
  2. Es ist .
  3. Es ist
  4. Es ist
  5. Es ist
  6. Es ist




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (5 Punkte)

Bestätige Satz 49.1 anhand des folgenden Beispiels.

, , .


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme das Taylor-Polynom vom Grad für die Funktion

im Nullpunkt .


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

Berechne das Taylor-Polynom der Ordnung im Punkt algebraisch (d.h. man drücke das Polynom in den neuen Variablen aus und lese daraus das Taylor-Polynom ab) und über Ableitungen.


Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, offen, und seien

zwei -mal stetig differenzierbare Funktionen mit den Taylor-Polynomen und in vom Grad . Zeige, dass das Produkt ebenfalls -mal stetig differenzierbar ist, und dass für das Taylor-Polynom von in vom Grad die Beziehung

besteht, wobei der Subskript bedeutet, dass das Polynom bis zum Grad genommen wird.


Aufgabe (5 Punkte)

Es sei offen, ein Punkt und

eine Funktion. Sei . Zeige, dass es maximal ein Polynom vom Grad mit der Eigenschaft geben kann, dass

gilt.



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