Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil II/Arbeitsblatt 50

Übungsaufgaben

Wenn in den folgenden Aufgaben nach Extrema gefragt wird, so ist damit gemeint, dass man die Funktionen auf (isolierte) lokale und globale Extrema untersuchen soll. Zugleich soll man, im differenzierbaren Fall, die kritischen Punkte bestimmen.

Aufgabe

Untersuche die Addition

$+\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x+y,$

und die Multiplikation

$\cdot \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x\cdot y,$

auf kritische Punkte und auf Extrema.

Aufgabe

Untersuche die Funktion

$f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{2}-y^{2},$

auf Extrema.

Aufgabe

Untersuche die Funktion

$f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{2}-y^{4},$

auf Extrema.

Aufgabe

Untersuche die Funktion

$f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto 2x^{2}+3y^{2}+5xy,$

auf Extrema.

Aufgabe

Untersuche die Funktion

$f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto 2x^{2}+3y^{2}+4xy,$

auf Extrema.

Aufgabe

Untersuche die Funktion

$f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto 4x^{2}-xy+5y^{2},$

auf Extrema.

Aufgabe *

Bestimme die kritischen Punkte der Funktion

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto 3x^{2}-2xy-y^{2}+5x,$

und entscheide, ob in diesen kritischen Punkten ein lokales Extremum vorliegt.

Aufgabe *

Wir betrachten die Abbildung

$f\colon \mathbb {R} \times \mathbb {R} _{+}\times \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y,z)\longmapsto {\frac {xz}{x^{2}+y^{2}}},$

(es ist also ${}y>0$).

a) Berechne die partiellen Ableitungen von ${}f$ und stelle den Gradienten zu ${}f$ auf.

b) Bestimme die isolierten lokalen Extrema von ${}f$.

Aufgabe *

Untersuche die Funktion

$f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto -3x^{2}+2xy-7y^{2}+x,$

auf Extrema.

Aufgabe

Man untersuche die Funktion

$\mathbb {R} _{+}\times \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{y},$

auf Extrema (vergleiche Beispiel 50.4), indem man die Funktion als Hintereinanderschaltung

$\mathbb {R} _{+}\times \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} \times \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

mit ${}(x,y)\mapsto (\ln x,y)$, ${}(u,v)\mapsto (uv)$, ${}z\mapsto e^{z}$ auffasst und Aufgabe 46.19 und Aufgabe 46.20 heranzieht.

Aufgabe *

Wir betrachten die Funktion

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,\left(x,\,y,\,z\right)\longmapsto xyz.$

1. Bestimme die Jacobi-Matrix zu ${}\varphi$ in einem Punkt ${}\left(x,\,y,\,z\right)$.
2. Bestimme die kritischen Punkte von ${}\varphi$.
3. Bestimme die Hesse-Matrix zu ${}\varphi$ in einem Punkt ${}\left(x,\,y,\,z\right)$.
4. Bestimme die Eigenräume der Hesse-Matrix zu ${}\varphi$ im Punkt ${}\left(1,\,1,\,1\right)$.
5. Bestimme den Typ der Hesse-Form zu ${}\varphi$ im Punkt ${}\left(1,\,1,\,1\right)$ mit Hilfe des Eigenwertkriteriums.

Aufgabe *

Wir betrachten die Determinante für ${}2\times 2$- Matrizen als Funktion

$\det \colon \operatorname {Mat} _{2}(\mathbb {R} )=\mathbb {R} ^{4}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,{\begin{pmatrix}x&y\\z&w\end{pmatrix}}\longmapsto xw-zy.$

1. Bestimme die Jacobi-Matrix zu ${}\det$ und die kritischen Punkte.
2. Untersuche ${}\det$ auf lokale Extrema. Bestimme insbesondere den Typ der Hesse-Matrix im Nullpunkt.
3. Finde einen zweidimensionalen Untervektorraum

   ${}U\subseteq \operatorname {Mat} _{2}(\mathbb {R} )\,,$

   auf dem die (Einschränkung der) Determinante ein lokales Minimum besitzt.

Aufgabe

Es sei

$f\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R}$

eine zweimal stetig differenzierbare Funktion und ${}P\in \mathbb {R} ^{n}$ ein kritischer Punkt. Es sei ${}v\in \mathbb {R} ^{n}$ ein Eigenvektor zur Hesse-Matrix in ${}P$ mit einem positiven Eigenwert. Zeige, dass ${}f$ in ${}P$ kein lokales Maximum besitzt.

Kommentar:

Die Hesse-Matrix ist eine symmetrische ${}n\times n$ Matrix und repräsentiert die Hesse-Form, welche eine symmetrische Bilinearform ist. Genauer gesagt ist sie die Gramsche Matrix der Hesse-Form. Die im Vorhinein vielleicht sehr abstrakt erscheinende Vorlesung 44 zu Bilinearformen bekommt nun im Zusammenhang mit Extrema und der Hesse-Form eine praktische Bedeutung.

Damit die Funktion ${}f$ kein lokales Maximum im Punkt ${}P$ hat, wäre es wegen Satz 50.2 gut, wenn die Hesse-Form positiv definit oder indefinit wäre. Dann würde entweder ein lokales Minimum vorliegen oder gar kein Extremum.

Die einzige Information, die wir haben, ist, dass die Hesse-Matrix in ${}P$ mindestens einen positiven Eigenwert besitzt (dieser hat auch mindestens Eigenraumdimension 1). Ein Satz, den wir kennengelernt haben, der Rückschlüsse von der Grammatrix (hier Hesse-Matrix) auf die Definitheit der zugehörigen symmetrischen Bilinearform (hier die Hesse-Form) zulässt, ist das Eigenwertkriterium Satz 39.6 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)).

Da wir einen positiven Eigenwert mit mindestens Eigenraumdimension 1 haben, ist die Summe der Dimseionen zu positiven Eigenräumen mindestens 1 und deshalb hat die Hesse-Form Typ ${}(p,q)$ mit ${}p\geq 1$. Nach Definition des Typs existiert ein Unterraum von ${}\mathbb {R} ^{n}$, der mindestens Dimension 1 hat und auf dem die Hesse-Form positiv definit ist.

Kann die Hesse-Form jetzt überhaupt noch negativ definit sein? Wie müsste der Typ sein, damit die Hesse-Form positiv definit und wie, damit sie indefinit ist?

 

Aufgabe

Untersuche die Funktion

$f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto xy^{2}-x^{3}y,$

auf Extrema.

Aufgabe *

Untersuche die Funktion

$f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{2}+xy-6y^{2}-y,$

auf kritische Punkte und Extrema.

Aufgabe *

Es sei

$f\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetig differenzierbare Funktion mit

${}f(P)=f(-P)\,$

für alle ${}P\in \mathbb {R} ^{n}$.

a) Zeige, dass ${}f$ in ${}0$ einen kritischen Punkt besitzt.

b) Man gebe ein Beispiel für eine solche Funktion, die in ${}0$ ein isoliertes lokales Maximum besitzt.

c) Man gebe ein Beispiel für eine solche Funktion, die in ${}0$ kein Extremum besitzt.

Aufgabe *

Bestimme die lokalen und globalen Extrema der auf der abgeschlossenen Kreisscheibe ${}B\left(0,1\right)={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x^{2}+y^{2}\leq 1\right\}}$ definierten Funktion

$f\colon B\left(0,1\right)\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{2}+y^{3}-y^{2}-y.$

Aufgabe *

Prof. Knopfloch, Dr. Eisenbeis und Vorli machen Urlaub in den Bergen. Das Gebirge wird in einer geeigneten Umgebung durch die Funktion (alles in Meter)

${}f(x,y)=3000-{\frac {1}{1000}}x^{2}-{\frac {1}{1000}}y^{2}+{\frac {1}{100}}x\,$

beschrieben.

1. In welchem Punkt (welchen Punkten) besitzt das Gebirge einen Gipfel? Wie hoch ist es in den Gipfeln?
2. Vorli hat Höhenangst und möchte nicht auf den Gipfel. Deshalb wählen sie einen Rundgang, der zum Punkt ${}(0,0)$ konstant den Grundabstand ${}1000$ besitzt. Bestimme die größte und die niedrigste Höhe, die die drei auf ihrer Wanderung erreichen.

Aufgabe

Bestimme für die Funktion

$f\colon D\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto xy{\sqrt {3-x^{2}-y^{2}}},$

den maximalen Definitionsbereich ${}D\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ und untersuche die Funktion auf Extrema.

Aufgabe *

Es sei ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ eine stetige Funktion. Wir betrachten das bestimmte Integral ${}\int _{a}^{b}f(t)dt$ als Funktion in den beiden Grenzen, also die Abbildung

$G\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(a,b)\longmapsto G(a,b)=\int _{a}^{b}f(t)dt.$

1. Bestimme die kritischen Punkte von ${}G$.
2. Erstelle die Hesse-Matrix zu ${}G$ unter der zusätzlichen Voraussetzung, dass ${}f$ stetig differenzierbar ist.
3. Formuliere das Minorenkriterium für Extrema in der Situation von (2).
4. Man erläutere diese Ergebnisse inhaltlich unter Bezug zur Bedeutung des bestimmten Integrals.

Aufgabe *

Wir betrachten die Funktion

$f\colon [0,1]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto 1-t^{2}.$

Für welche ${}x,y\in [0,1]$, ${}x<y$, besitzt die zugehörige dreistufige (maximale) untere Treppenfunktion zu ${}f$ den maximalen Flächeninhalt? Welchen Wert besitzt er?

Aufgabe *

Wir betrachten die Funktion

$[1,2]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto g(t)={\frac {1}{t}}.$

1. Beschreibe den Flächeninhalt zur unteren maximalen Treppenfunktion zu ${}g$ zur Intervallunterteilung ${}1\leq x\leq y\leq 2$ in Abhängigkeit von ${}x$ und ${}y$.
2. Bestimme das Punktepaar ${}(x,y)$ zwischen ${}1$ und ${}2$, für das der Flächeninhalt zur unteren maximalen Treppenfunktion zu ${}g$ zur Intervallunterteilung ${}1\leq x\leq y\leq 2$ maximal wird. Welchen Wert hat dieser Flächeninhalt?

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, ${}G\subseteq V$ offen, und ${}P\in G$. Man gebe ein Beispiel von zwei zweimal stetig differenzierbaren Funktionen

$f,g\colon G\longrightarrow \mathbb {R}$

an derart, dass ihre quadratischen Approximationen in ${}P$ übereinstimmen, und die eine Funktion ein Extremum in ${}P$ besitzt, die andere nicht.

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, ${}\dim _{\!}{\left(V\right)}\geq 2$, ${}G\subseteq V$ offen, und ${}P\in G$. Man gebe ein Beispiel von zwei zweimal stetig differenzierbaren Funktionen

$f,g\colon G\longrightarrow \mathbb {R}$

an derart, dass ihre quadratischen Approximationen in ${}P$ übereinstimmen, und die eine Funktion ein Extremum in ${}P$ besitzt, die andere nicht.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Untersuche die Funktion

$f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{2}+9y^{2}+6xy,$

auf Extrema.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}I={]{-{\frac {\pi }{2}}},{\frac {\pi }{2}}[}$. Untersuche die Funktion

$f\colon I\times I\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto {\frac {\cos x}{\cos y}},$

auf Extrema.

Aufgabe (5 Punkte)

Wir betrachten die Funktion

$f\colon [0,1]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto t^{2}.$

Für welche ${}x,y\in {]0,1[}$, ${}x<y$, besitzt die zugehörige dreistufige (maximale) untere Treppenfunktion zu ${}f$ den maximalen Flächeninhalt? Welchen Wert besitzt er?

Aufgabe (5 Punkte)

Sei

$h\colon \mathbb {R} _{\geq 0}\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion und betrachte

$f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto h(x^{2}+y^{2}).$

Zeige, dass ${}f$ allenfalls im Nullpunkt ${}(0,0)$ ein isoliertes lokales Extremum besitzen kann, und dass dies genau dann der Fall ist, wenn ${}h$ in ${}0$ ein isoliertes lokales Extremum besitzt.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetige Funktion und es sei ${}P\in \mathbb {R} ^{2}$ ein isolierter Punkt, d.h. es gebe eine offene Umgebung ${}P\in U$ derart, dass ${}\varphi (Q)\neq \varphi (P)$ ist für alle ${}Q\in U$, ${}Q\neq P$. Zeige, dass dann ${}\varphi$ in ${}P$ ein isoliertes lokales Extremum besitzt.