Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil II/Arbeitsblatt 51

Übungsaufgaben

Aufgabe *

Finde zwei natürliche Zahlen, deren Summe ${}65$ und deren Produkt ${}1000$ ist.

Aufgabe

Zeige, dass die Abbildung

$\varphi \colon {\mathbb {C} }^{2}\longrightarrow {\mathbb {C} }^{2},\,(x,y)\longmapsto (x+y,xy),$

surjektiv ist.

Aufgabe *

Man gebe ein Beispiel einer bijektiven differenzierbaren Abbildung

$\varphi \colon U_{1}\longrightarrow U_{2}$

mit einer stetigen Umkehrabbildung ${}\psi$ derart, dass ${}\psi$ nicht differenzierbar ist.

Aufgabe *

Man gebe ein Beispiel einer Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,$

das zeigt, dass im Satz über die (lokale) Umkehrbarkeit die Bijektivität im Allgemeinen nur auf echten Teilintervallen besteht.

Aufgabe

Zeige, dass die Abbildung

$\mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} \times \mathbb {R} _{+},\,(x,y)\longmapsto (x,e^{x+y}),$

bijektiv ist. Man gebe explizit eine Umkehrabbildung an.

Aufgabe

Es sei

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x),$

eine Funktion. Zeige, dass die Abbildung

$\mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y)\longmapsto (x,y+f(x)),$

bijektiv ist. Bestimme explizit eine Umkehrabbildung.

Was besagt in der vorstehenden Aufgabe der Satz über die Umkehrabbildung, wenn ${}f$ differenzierbar ist?

Aufgabe

Es seien

$f_{1},\ldots ,f_{n}\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

stetig differenzierbare Funktionen. Betrachte die Abbildung

$f\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n},\,(x_{1},\ldots ,x_{n})\longmapsto (f_{1}(x_{1}),\ldots ,f_{n}(x_{n})),$

Zeige:

1. Die Abbildung ${}f$ ist differenzierbar.
2. Das totale Differential von ${}f$ in ${}0$ ist genau dann bijektiv, wenn von sämtlichen Funktionen ${}f_{i},\,i=1,\ldots ,n$, die Ableitungen in ${}0$ nicht ${}0$ sind.
3. ${}f$ ist genau dann auf einer offenen Umgebung von ${}0$ bijektiv, wenn die einzelnen ${}f_{i}$ in einer geeigneten Umgebung bijektiv sind.

Aufgabe

Betrachte die Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,(x,y,z)\longmapsto (\sin xy,yz\cos \left(x^{2}\right),e^{xyz}).$

Zeige, dass ${}\varphi$ im Punkt ${}P=(1,\pi ,1)$ lokal umkehrbar ist, und bestimme das totale Differential der Umkehrabbildung im Punkt ${}Q=\varphi (P)$.

Aufgabe

Es seien ${}P=a+bX+cY+\ldots$ und ${}Q=d+eX+fY+\ldots$ Polynome in zwei Variablen und

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y)\longmapsto (P(x,y),Q(x,y)),$

die zugehörige Abbildung. Wann besitzt ${}\varphi$ in ${}\varphi (0,0)$ lokal eine Umkehrabbildung? Wie sieht in diesem Fall das totale Differential der Umkehrabbildung im Punkt ${}\varphi (0,0)$ aus?

Kommentar:

Die Komponentenfunktionen der Abbildung ${}\varphi$ sind Polynome, sodass ${}\varphi$ nach Satz . total differenzierbar ist. Die Abbildung ist auf ganz ${}\mathbb {R} ^{2}$ definiert, sodass wir die Jacobi-Matrix im Punkt ${}(0,0)$ bestimmen können, um mittels des Satzes über die lokale Umkehrbarkeit auf die Umkehrbarkeit von ${}\varphi$ im Punkt ${}\varphi (0,0)$ zu schließen.

Bei der Berechnung der Jacobi-Matrix im Punkt ${}(0,0)$ fällt auf, dass diese nur von den Koeffizienten der Monome vom Grad ${}1$ abhängt. Koeffizienten zu Monomen höheren Grades liefern keinen Beitrag. Beispielsweise gilt

${\frac {\partial X^{2}}{\partial X}}(0,0)=(2X)(0,0)=0$

und

${\frac {\partial XY}{\partial X}}(0,0)=Y(0,0)=0$

und das Gleiche gilt für alle anderen höheren Terme. Somit ergibt sich für die Jacobi-Matrix

$\operatorname {Jak} (\varphi )_{(0,0)}={\begin{pmatrix}b&c\\e&f\end{pmatrix}}.$

Falls die Determinante nicht verschwindet, also ${}bf-ce\neq 0$ gilt, so ist ${}\varphi$ nach dem Satz über die lokale Umkehrbarkeit in einer Umgebung von ${}\varphi (0,0)$ umkehrbar – besitzt dort also eine total differenzierbare Umkehrabbildung. Wie sieht nun das totale Differential der Umkehrabbildung konkret aus?

Der Satz über die lokale Umkehrbarkeit liefert nur ein hinreichendes Kriterium für die Umkehrbarkeit in regulären Punkten – die anderen Fälle sind schwer zu charakterisieren. Falls beispielsweise die Polynome ${}P=x^{3}$ und ${}Q=y^{3}$ sind, so ist die Jacobi-Determinante Null, sodass wir den Satz nicht verwenden können. Tatsächlich besitzt ${}\varphi$ aber in ${}(0,0)$ (und sogar global) eine stetige Umkehrfunktion, die durch ${}(x,y)\longmapsto ({\sqrt[{3}]{x}},{\sqrt[{3}]{y}})$ gegeben ist. Diese ist jedoch in ${}(0,0)$ nicht differenzierbar.

 

Aufgabe *

Es sei

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

eine nullstellenfreie stetig differenzierbare Funktion und sei ${}g$ eine Stammfunktion zu ${}f$. Es sei

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$

mit

${}\varphi (x,y)=\left({\frac {x}{f(y)}},\,g(y)\right)\,.$

a) Bestimme die Jacobi-Matrix zu ${}\varphi$.

b) Zeige, dass man auf ${}\varphi$ in jedem Punkt den Satz über die lokale Umkehrbarkeit anwenden kann.

c) Zeige, dass ${}\varphi$ injektiv ist.

Aufgabe *

Es sei

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

eine total differenzierbare Abbildung derart, dass es eine reelle Zahl ${}c\in [0,1[$ gibt mit

${}\Vert {\left(D\varphi \right)_{P}}\Vert \leq c\,$

für alle ${}P\in \mathbb {R} ^{n}$. Zeige, dass ${}\varphi$ die Voraussetzungen des Banachschen Fixpunktsatzes erfüllt.

Im Beweis des Umkehrsatzes wurde mit folgender Definition gearbeitet.

Es seien ${}V$ und ${}W$ euklidische Vektorräume und sei

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

eine lineare Abbildung. Dann nennt man

${}\Vert {\varphi }\Vert :={\operatorname {sup} \,(\Vert {\varphi (v)}\Vert ,\Vert {v}\Vert =1)}\,$

die Norm von ${}\varphi$.

Aufgabe

Begründe, warum die Norm einer linearen Abbildung zwischen euklidischen Vektorräumen wohldefiniert ist.

Aufgabe

Es seien ${}V$ und ${}W$ euklidische Vektorräume und sei

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

eine lineare Abbildung. Zeige, dass es einen Vektor ${}v\in V$, ${}\Vert {v}\Vert =1$, mit

${}\Vert {\varphi (v)}\Vert =\Vert {\varphi }\Vert \,$

gibt.

Aufgabe

Zeige, dass die Norm einer linearen Abbildung zwischen euklidischen Vektorräumen folgende Eigenschaften erfüllt.

1. Es ist ${}\Vert {\varphi (v)}\Vert \leq \Vert {\varphi }\Vert \cdot \Vert {v}\Vert$.
2. Es ist ${}\Vert {\varphi }\Vert =0$ genau dann, wenn ${}\varphi =0$ ist.
3. Es ist ${}\Vert {c\varphi }\Vert =\vert {c}\vert \cdot \Vert {\varphi }\Vert$.
4. Es ist ${}\Vert {\varphi _{1}+\varphi _{2}}\Vert \leq \Vert {\varphi _{1}}\Vert +\Vert {\varphi _{2}}\Vert$.

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein euklidischer Vektorraum und sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung. Es sei ${}\lambda \in \mathbb {R}$ ein Eigenwert von ${}\varphi$. Zeige, dass die Abschätzung

${}\vert {\lambda }\vert \leq \Vert {\varphi }\Vert \,$

gilt.

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein euklidischer Vektorraum und sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung derart, dass eine Orthogonalbasis aus Eigenvektoren von ${}\varphi$ existiert. Zeige, dass

${}\Vert {\varphi }\Vert ={\max {\left(\vert {\lambda }\vert ,\lambda {\text{ ist Eigenwert von }}\varphi \right)}}\,$

gilt.

Aufgabe

Es sei

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x_{1},\ldots ,x_{n})\longmapsto \sum _{i=1}^{n}a_{i}x_{i},$

eine lineare Abbildung ${}\neq 0$. Bestimme einen Vektor ${}v\in \mathbb {R} ^{n}$ auf der abgeschlossenen Kugel mit Mittelpunkt ${}0$ und Radius ${}1$, an dem die Funktion

$B\left(0,1\right)\longrightarrow \mathbb {R} ,\,v\longmapsto \vert {\varphi (v)}\vert ,$

ihr Maximum annimmt. Bestimme die Norm von ${}\varphi$.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Man konstruiere ein Beispiel, das zeigt, dass Lemma 51.3 ohne die Voraussetzung, dass mit je zwei Punkten auch die Verbindungsgerade zur Definitionsmenge gehört, nicht gilt.

(Tipp: Man denke daran, wie man flach auf einen steilen Berg kommt.)

Aufgabe (2 Punkte)

Seien ${}U_{1}$ und ${}U_{2}$ offene Mengen in euklidischen Vektorräumen ${}V_{1}$ und ${}V_{2}$. Es sei

$\varphi \colon U_{1}\longrightarrow U_{2}$

eine bijektive Abbildung, die in einem Punkt ${}P\in U_{1}$ differenzierbar sei derart, dass die Umkehrabbildung in ${}Q=\varphi (P)$ auch differenzierbar ist. Zeige, dass das totale Differential ${}\left(D\varphi \right)_{P}$ bijektiv ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Es seien ${}V_{1}$ und ${}V_{2}$ endlichdimensionale reelle Vektorräume, ${}G\subseteq V_{1}$ offen und sei

$\varphi \colon G\longrightarrow V_{2}$

eine stetig differenzierbare Abbildung. Es sei ${}U\subseteq G$ eine offene Teilmenge derart, dass für jeden Punkt ${}P\in U$ das totale Differential ${}\left(D\varphi \right)_{P}$ bijektiv ist. Zeige, dass dann das Bild ${}\varphi (U)$ offen in ${}V_{2}$ ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die Umkehrabbildung zur Abbildung

$\mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y)\longmapsto (x+y^{2},-y^{4}-2xy^{2}-x^{2}+y^{2}+x+y).$