Wir betrachten die
Abbildung
-
Nach
Aufgabe
ist
-
Die
partiellen Ableitungen
sind
-
Da die Exponentialfunktion stets positiv ist, ist
der einzige
kritische Punkt.
Die
Hesse-Matrix
in einem Punkt ist
-
In ist dies
-
Nach
Fakt
ist daher die Hesse-Form im kritischen Punkt weder
positiv definit
noch
negativ definit.
Man kann direkt zeigen, dass diese Matrix
indefinit
ist
(vom
Typ
),
da diese Bilinearform auf positiv und auf negativ definit ist. Nach
Fakt
liegt in diesem Punkt also kein
Extremum
vor.
Dies kann man auch ohne Differentialrechnung erkennen. Für
oder
ist
.
Ansonsten gelten die folgenden Beziehungen.
- Für
und
ist
.
- Für
und
ist
.
- Für
und
ist
.
- Für
und
ist
.
Daher gibt es in jeder Umgebung von Punkte, an denen die Funktionswerte größer bzw. kleiner als sind.