Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil II/Definitionsabfrage
Es sei (oder ) ein rechtsseitig (bzw. linksseitig) unbeschränktes Intervall und
eine Funktion. Dann heißt Grenzwert (oder Limes) von für (bzw. ), wenn es für jedes ein (bzw. ) gibt mit für alle (bzw. ). In diesem Fall schreibt man
(bzw. ).
Es sei ein Intervall, ein (uneigentlicher) Randpunkt von und . Es sei eine stetige Funktion
gegeben. Man sagt, dass das uneigentliche Integral zu für existiert, wenn der Grenzwert
existiert. In diesem Fall schreibt man für diesen Grenzwert auch
und nennt dies das uneigentliche Integral von nach
Es sei ein Intervall mit den beiden (uneigentlichen) Randpunkten und von . Es sei eine stetige Funktion
gegeben. Man sagt, dass das (beidseitig) uneigentliche Integral
existiert, wenn für ein die beiden einseitig uneigentlichen Integrale
existieren. In diesem Fall setzt man
und nennt dies das uneigentliche Integral zu von nach .
Die Riemannsche -Funktion ist für mit durch
definiert.
Für , , heißt die Funktion
die Fakultätsfunktion.
Es sei ein reeller Vektorraum. Ein Skalarprodukt auf ist eine Abbildung
mit folgenden Eigenschaften:
- Es ist
für alle , und ebenso in der zweiten Komponente.
- Es ist
für alle .
- Es ist für alle und genau dann, wenn ist.
Ein reeller, endlichdimensionaler Vektorraum, der mit einem Skalarprodukt versehen ist, heißt euklidischer Vektorraum.
Es sei ein komplexer Vektorraum. Ein Skalarprodukt auf ist eine Abbildung
mit folgenden Eigenschaften:
- Es ist
für alle , und
für alle , .
- Es ist
für alle .
- Es ist für alle und genau dann, wenn ist.
Das auf dem durch
gegebene Skalarprodukt heißt (komplexes) Standardskalarprodukt.
Es sei ein Vektorraum über mit einem Skalarprodukt . Dann nennt man zu einem Vektor die reelle Zahl
die Norm von .
Es sei ein Vektorraum über mit einem Skalarprodukt . Zu Vektoren nennt man
den Abstand zwischen und .
Es sei eine Menge. Eine Abbildung heißt Metrik (oder Distanzfunktion), wenn für alle die folgenden Bedingungen erfüllt sind:
- genau dann, wenn ist (Definitheit),
- (Symmetrie), und
- (Dreiecksungleichung).
Ein metrischer Raum ist ein Paar , wobei eine Menge und eine Metrik ist.
Es sei ein metrischer Raum, und eine positive reelle Zahl. Man nennt
die offene Kugel um mit Radius .
Es sei ein metrischer Raum, und eine positive reelle Zahl. Man nennt
die abgeschlossene Kugel um mit Radius .
Es sei ein metrischer Raum. Eine Teilmenge heißt offen (in ), wenn für jedes ein mit
existiert.
Es sei ein metrischer Raum. Eine Teilmenge heißt abgeschlossen, wenn das Komplement offen ist.
Eine Teilmenge eines metrischen Raumes heißt beschränkt, wenn es eine reelle Zahl mit
gibt.
Es sei ein metrischer Raum und sei eine Folge in . Man sagt, dass die Folge gegen konvergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist.
Zu jedem , , gibt es ein derart, dass für alle die Beziehung
gilt. In diesem Fall heißt der Grenzwert oder der Limes der Folge. Dafür schreibt man auch
Wenn die Folge einen Grenzwert besitzt, so sagt man auch, dass sie konvergiert (ohne Bezug auf einen Grenzwert), andernfalls, dass sie divergiert.
Es sei ein metrischer Raum und sei eine Folge in . Ein Punkt heißt Häufungspunkt der Folge, wenn es für jedes unendlich viele Folgenglieder mit gibt.
Es sei ein metrischer Raum und sei eine Folge in . Zu jeder streng wachsenden Abbildung , , heißt die Folge
eine Teilfolge der Folge.
Es seien und metrische Räume,
eine Abbildung und . Die Abbildung heißt stetig in , wenn für jedes ein derart existiert, dass
gilt. Die Abbildung heißt stetig, wenn sie stetig in für jedes ist.
Zwei metrische Räume und heißen homöomorph, wenn es eine bijektive stetige Abbildung
gibt, deren Umkehrabbildung ebenfalls stetig ist.
Eine Funktion
die man als eine Summe der Form
mit schreiben kann, wobei nur endlich viele sind, heißt polynomiale Funktion.
Es sei ein metrischer Raum und eine Teilmenge. Ein Punkt heißt Berührpunkt von , wenn zu jedem der Durchschnitt
Es sei ein metrischer Raum und eine Teilmenge. Die Menge aller Berührpunkte von heißt der Abschluss von . Er wird mit bezeichnet.
Es sei ein metrischer Raum, sei eine Teilmenge und sei ein Berührpunkt von . Es sei
eine Abbildung in einen weiteren metrischen Raum . Dann heißt der Grenzwert (oder Limes) von in , wenn es für jedes ein gibt mit der folgenden Eigenschaft: Für jedes ist . In diesem Fall schreibt man
Ein metrischer Raum heißt zusammenhängend, wenn es genau zwei Teilmengen von gibt (nämlich und selbst), die sowohl offen als auch abgeschlossen sind.
Ein nichtleerer metrischer Raum heißt wegzusammenhängend, wenn es zu je zwei Punkten eine stetige Abbildung
mit und gibt.
Es sei
eine Abbildung zwischen den metrischen Räumen und . Dann heißt gleichmäßig stetig, wenn es zu jedem ein mit folgender Eigenschaft gibt: Für alle mit ist .
Es sei
eine Abbildung zwischen den metrischen Räumen und . Die Abbildung heißt Lipschitz-stetig, wenn es eine reelle Zahl mit
für alle gibt.
Es sei
eine Abbildung zwischen den metrischen Räumen und . Dann heißt stark kontrahierend, wenn es eine nichtnegative reelle Zahl gibt mit
für alle .
Es sei eine Menge und
eine Abbildung. Ein Element mit heißt Fixpunkt der Abbildung.
Eine Folge in einem metrischen Raum heißt Cauchy-Folge, wenn folgende Bedingung erfüllt ist.
Zu jedem , , gibt es ein derart, dass für alle die Beziehung
gilt.
Ein metrischer Raum heißt vollständig, wenn jede Cauchy-Folge in konvergiert.
Eine Teilmenge heißt kompakt, wenn sie abgeschlossen und beschränkt ist.
Es sei ein reelles Intervall, ein euklidischer Vektorraum und
eine Abbildung. Dann heißt in differenzierbar, wenn der Limes
existiert. Dieser Limes heißt dann die Ableitung von in und wird mit
bezeichnet.
Es sei ein reelles Intervall, ein euklidischer Vektorraum und
eine Abbildung. Dann heißt differenzierbar, wenn in jedem Punkt differenzierbar ist. Die Abbildung
heißt dann die Ableitung von .
Es sei ein kompaktes Intervall und
eine Abbildung. Zu einer Unterteilung
nennt man
den zugehörigen Streckenzug.
Zu einer Punktfolge
nennt man
die Gesamtlänge des Streckenzugs .
Es sei ein kompaktes Intervall und
eine Abbildung. Dann nennt man
die Kurvenlänge von . Wenn endlich ist, so heißt die Kurve rektifizierbar.
Es sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, ein reelles Intervall und eine offene Menge. Dann nennt man eine Abbildung
ein Vektorfeld (auf ).
Es sei eine offene Teilmenge in einem euklidischen Vektorraum,
ein stetiges Vektorfeld und
eine stetig differenzierbare Kurve. Dann heißt
das Wegintegral zum Vektorfeld längs des Weges .
Es sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, ein reelles Intervall, eine offene Menge und
ein Vektorfeld auf . Dann nennt man
die gewöhnliche Differentialgleichung (oder gewöhnliches Differentialgleichungssystem) zum Vektorfeld .
Es sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, ein reelles Intervall, eine offene Menge und
ein Vektorfeld auf . Zur gewöhnlichen Differentialgleichung
heißt eine Abbildung
auf einem offenen (Teil)Intervall eine Lösung der Differentialgleichung, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind.
- Es ist für alle .
- Die Abbildung ist differenzierbar.
- Es ist für alle .
Es sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, ein reelles Intervall, eine offene Menge und
ein Vektorfeld auf . Es sei gegeben. Dann nennt man
das Anfangswertproblem zur gewöhnlichen Differentialgleichung mit der Anfangsbedingung .
Es sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, ein reelles Intervall, eine offene Menge und
ein Vektorfeld auf . Es sei vorgegeben. Dann nennt man eine Abbildung
auf einem Intervall mit eine Lösung des Anfangswertproblems
wenn eine Lösung der Differentialgleichung ist und wenn zusätzlich
gilt.
Es sei eine offene Teilmenge in einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum , ein Intervall und es sei
eine Funktion. Dann heißt das Vektorfeld
ein Zentralfeld.
Es sei ein offenes Intervall, offen und
eine Funktion. Dann nennt man den Ausdruck
eine Differentialgleichung der Ordnung .
Es sei ein offenes reelles Intervall. Eine Differentialgleichung der Form
wobei
eine Matrix ist, deren Einträge allesamt Funktionen
sind, heißt homogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung oder homogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem.
Es sei ein offenes reelles Intervall. Eine Differentialgleichung der Form
wobei
eine Matrix ist, deren Einträge allesamt Funktionen
sind und wobei
eine Abbildung ist, heißt inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung oder inhomogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem. Die Abbildung heißt dabei Störabbildung.
Eine Differentialgleichung der Form
wobei
eine Matrix mit Einträgen ist, heißt homogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten oder homogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten.
Es sei ein offenes Intervall. Eine Differentialgleichung der Form
wobei eine Matrix mit Einträgen ist und
eine Abbildung, heißt inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten oder inhomogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten.
Es sei
mit eine lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten. Dann nennt man das charakteristische Polynom
auch das charakteristische Polynom der Differentialgleichung.
Es sei
mit ein homogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten. Dann heißt eine Basis des Lösungsraumes ein Fundamentalsystem von Lösungen dieses Systems.
Es seien und endlichdimensionale normierte Vektorräume, eine offene Teilmenge, und eine Abbildung. Weiter sei ein Punkt und ein fixierter Vektor. Dann heißt differenzierbar in in Richtung , falls der Grenzwert
existiert. In diesem Fall heißt dieser Grenzwert die Ableitung von in in Richtung . Er wird mit
bezeichnet.
Seien und endlichdimensionale - Vektorräume sei eine offene Teilmenge, sei eine Abbildung und ein fixierter Vektor. Dann heißt differenzierbar in Richtung , falls in jedem Punkt in Richtung differenzierbar ist. In diesem Fall heißt die Abbildung
die Richtungsableitung von in Richtung .
Es sei offen und sei eine Abbildung durch
gegeben. Es sei ein Punkt. Für fixierte Indizes und betrachten wir die Abbildung
derart sei, dass gilt) als Funktion in einer Variablen, wobei die übrigen Variablen , , fixiert seien. Ist diese Funktion in differenzierbar, so heißt partiell differenzierbar in bezüglich der Koordinate . Man bezeichnet diese Ableitung (welche ein Element in ist) mit
und nennt sie die -te partielle Ableitung von in .
Die Abbildung heißt partiell differenzierbar im Punkt , falls für alle und die partiellen Ableitungen in existieren. Die -te partielle Ableitung von in wird mit
bezeichnet.
Es sei offen und sei eine Abbildung
gegeben. Dann heißt partiell differenzierbar, wenn in jedem Punkt partiell differenzierbar ist. In diesem Fall heißt die Abbildung
die -te partielle Ableitung von .
Es sei offen und sei eine Abbildung
gegeben, die in partiell differenzierbar sei. Dann heißt die Matrix
die Jacobi-Matrix zu im Punkt .
Es seien und endlichdimensionale - Vektorräume,
eine Abbildung auf einer offenen Menge und Vektoren in . Man sagt, dass die höhere Richtungsableitung von in Richtung existiert, wenn die höhere Richtungsableitung in Richtung existiert und davon die Richtungsableitung in Richtung existiert. Sie wird mit
bezeichnet.
Es seien und endlichdimensionale - Vektorräume und
eine Abbildung auf einer offenen Menge . Man sagt, dass -mal stetig differenzierbar ist, wenn für jede Auswahl von Vektoren aus die höhere Richtungsableitung
in Richtung existiert und stetig ist.
Es seien und endlichdimensionale - Vektorräume, eine offene Menge und eine Abbildung. Dann heißt differenzierbar (oder total differenzierbar) im Punkt , wenn es eine - lineare Abbildung mit der Eigenschaft
gibt, wobei eine in stetige Abbildung mit ist und die Gleichung für alle mit gilt.
Diese lineare Abbildung heißt, falls sie existiert, das (totale) Differential von an der Stelle und wird mit
bezeichnet.
Es sei ein metrischer Raum und
eine Funktion. Man sagt, dass in einem Punkt ein lokales Maximum besitzt, wenn es ein derart gibt, dass für alle mit die Abschätzung
gilt.
Es sei ein metrischer Raum und
eine Funktion. Man sagt, dass in ein lokales Minimum besitzt, wenn es ein derart gibt, dass für alle mit die Abschätzung
gilt.
Es sei ein metrischer Raum und
eine Funktion. Man sagt, dass in einem Punkt ein isoliertes lokales Maximum besitzt, wenn es ein derart gibt, dass für alle mit und die Abschätzung
gilt.
Es sei ein metrischer Raum und
eine Funktion. Man sagt, dass in ein isoliertes lokales Minimum besitzt, wenn es ein derart gibt, dass für alle mit und die Abschätzung
gilt.
Es sei ein Körper und sei ein - Vektorraum. Eine lineare Abbildung
heißt eine Linearform auf .
Es sei ein Körper und ein - Vektorraum. Dann heißt der Homomorphismenraum
der Dualraum zu .
Es sei ein Körper und ein - Vektorraum. Eine Abbildung
heißt Bilinearform, wenn für alle die induzierten Abbildungen
und für alle die induzierten Abbildungen
- linear sind.
Es sei ein Körper und ein - Vektorraum. Eine Bilinearform
heißt nicht ausgeartet, wenn für alle , die induzierten Abbildungen
und für alle , die induzierten Abbildungen
nicht die Nullabbildung sind.
Es sei ein euklidischer Vektorraum, offen und
eine in differenzierbare Funktion. Dann nennt man den eindeutig bestimmten Vektor mit
für alle den Gradienten von in . Er wird mit
bezeichnet.
Zu einer Funktion
wobei ein metrischer Raum sei, nennt man zu die Menge
die Niveaumenge zu zum Wert .
Es sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, offen und
eine differenzierbare Funktion. Dann heißt ein kritischer Punkt von (oder ein stationärer Punkt), wenn
ist. Andernfalls spricht man von einem regulären Punkt.
Es sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, eine offene Menge und
eine zweimal stetig differenzierbare Funktion. Zu heißt die Abbildung
die Hesse-Form im Punkt .
Es sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, eine offene Menge und
eine zweimal stetig differenzierbare Funktion. Es sei eine Basis , , von gegeben mit den zugehörigen Richtungsableitungen , . Zu heißt dann die Matrix
die Hesse-Matrix zu im Punkt bezüglich der gegebenen Basis.
Es sei ein Körper, ein endlichdimensionaler - Vektorraum und eine Bilinearform auf . Es sei eine Basis von . Dann heißt die - Matrix
die Gramsche Matrix von bezüglich dieser Basis.
Es sei ein Körper, ein - Vektorraum und eine Bilinearform auf . Die Bilinearform heißt symmetrisch, wenn
für alle gilt.
Eine symmetrische Bilinearform auf einem reellen Vektorraum heißt positiv definit, wenn für alle , , ist.
Eine symmetrische Bilinearform auf einem reellen Vektorraum heißt negativ definit, wenn für alle , , ist.
Eine symmetrische Bilinearform auf einem reellen Vektorraum heißt positiv semidefinit, wenn für alle ist.
Eine symmetrische Bilinearform auf einem reellen Vektorraum heißt negativ semidefinit, wenn für alle ist.
Eine symmetrische Bilinearform auf einem reellen Vektorraum heißt indefinit, wenn sie weder positiv semidefinit noch negativ semidefinit ist.
Es sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum mit einer symmetrischen Bilinearform . Man sagt, dass eine solche Bilinearform den Typ
besitzt, wobei
und
ist.
Es sei eine offene Teilmenge,
eine -mal stetig-differenzierbare Funktion und . Dann heißt
das Taylor-Polynom vom Grad zu in .
Es seien und endlichdimensionale reelle Vektorräume und und offene Teilmengen. Eine Abbildung
heißt -Diffeomorphismus, wenn bijektiv und -mal stetig differenzierbar ist, und wenn die Umkehrabbildung
ebenfalls -mal stetig differenzierbar ist.
Es seien und endlichdimensionale reelle Vektorräume, sei offen, sei und sei
eine in differenzierbare Abbildung. Dann heißt ein regulärer Punkt von , wenn
ist. Andernfalls heißt ein kritischer Punkt oder ein singulärer Punkt.
Zu einer Abbildung
zwischen zwei Mengen und heißt zu die Menge
die Faser von über .
Es seien und endlichdimensionale reelle Vektorräume, es sei offen und sei
eine stetig differenzierbare Abbildung. Es sei ein Punkt, in dem das totale Differential surjektiv sei, und sei die Faser von durch . Dann nennt man
den Tangentialraum an die Faser in .
Es sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, ein reelles Intervall, eine offene Menge und
ein Vektorfeld auf . Man sagt, dass das Vektorfeld einer Lipschitz-Bedingung genügt, wenn es eine reelle Zahl mit
für alle und gibt.
Es sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, ein reelles Intervall, eine offene Menge und
ein Vektorfeld auf . Man sagt, dass das Vektorfeld lokal einer Lipschitz-Bedingung genügt, wenn es zu jedem Punkt eine offene Umgebung
derart gibt, dass das auf eingeschränkte Vektorfeld einer Lipschitz-Bedingung genügt.
Es sei eine Menge, ein metrischer Raum und
() eine Folge von Abbildungen. Man sagt, dass die Abbildungsfolge punktweise konvergiert, wenn für jedes die Folge
konvergiert.
Es sei eine Menge, ein metrischer Raum und
() eine Folge von Abbildungen, die punktweise konvergiert. Dann nennt man die Abbildung
die Grenzabbildung der Abbildungsfolge.
Es sei eine Menge, ein metrischer Raum und
() eine Folge von Abbildungen. Man sagt, dass die Abbildungsfolge gleichmäßig konvergiert, wenn es eine Abbildung
derart gibt, dass es zu jedem ein gibt mit
Es sei ein euklidischer Vektorraum, offen und
eine differenzierbare Funktion. Dann nennt man die Abbildung
das zugehörige Gradientenfeld.
Es sei eine offene Teilmenge und
ein differenzierbares Vektorfeld. Man sagt, dass die Integrabilitätsbedingung erfüllt (oder lokal integrabel ist), wenn
für alle und alle gilt.
Eine Teilmenge heißt sternförmig bezüglich eines Punktes , wenn für jeden Punkt die Verbindungsstrecke , , ganz in liegt.