Kurs:Analysis III/Kapitel I: Differentiation und Integration auf Mannigfaltigkeiten/§2 Parameterinvariante Integrale und Differentialformen

Satz 1 (Transformationsformel für mehrfache Integrale)

Es seien $\Omega ,\Theta \subset \mathbb {R} ^{n},n\in \mathbb {N}$ offene Mengen und $y=(y_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n}),\ldots ,y_{n}(x_{1},\ldots ,x_{n})):\Omega \to \Theta$ bezeichne eine bijektive Abbildung der Klasse $C^{1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n})$, für die gelte

$J_{y}(x):=\det \left({\frac {\partial y_{i}(x)}{\partial x_{j}}}\right)_{i,j=1,2,\ldots ,n}\neq 0$ für alle $x\in \Omega$.

Die Funktion $f=f(y):\Theta \to \mathbb {R} \in C^{0}(\Theta )$ sei vorgelegt und es sei

$\int \limits _{\Theta }|f(y)|\,dy<+\infty$

für das uneigentliche Riemannsche Integral von $|f|$ erfüllt. Dann gilt die Transformationsformel

$\int \limits _{\Theta }|f(y)|\,dy=\int \limits _{\Omega }f(y(x))|J_{y}(x)|\,dx.$

Definition 1

Sei die offene Menge $T\subset \mathbb {R} ^{m}$ mit $m\in \mathbb {N}$ als Parameterbereich gegeben. Weiter sei

$X(t)={\begin{pmatrix}x_{1}(t_{1},\ldots ,t_{m})\\\vdots \\x_{n}(t_{1},\ldots ,t_{m})\end{pmatrix}}:T\to \mathbb {R} ^{n}\in C^{k}(T,\mathbb {R} ^{n})$

mit $k,n\in \mathbb {N}$ und $m\leq n$ eine Abbildung, deren Funktionalmatrix

$\partial X(t)={\Bigl (}X_{t_{1}}(t),\ldots ,X_{t_{m}}(t){\Bigr )}$

für alle $t\in T$ den Rang $m$ hat. Dann nennen wir $X$eine parametrisierte, reguläre Fläche mit der Parameterdarstellung $X(t):T\to \mathbb {R} ^{n}$.

Sind $X:T\to \mathbb {R} ^{n}$ und ${\tilde {X}}:{\tilde {T}}\to \mathbb {R} ^{n}$ zwei Parameterdarstellungen, so nennen wir diese äquivalent, wenn es eine topologische Abbildung

$t=t(s)={\Bigl (}t_{1}(s_{1},\ldots ,s_{m}),\ldots ,t_{m}(s_{1},\ldots ,s_{m}){\Bigr )}:{\tilde {T}}\to T\in C^{k}({\tilde {T}},T)$

gibt mit den folgenden Eigenschaften:

1. $J(s):={\frac {\partial (t_{1},\ldots ,t_{m})}{\partial (s_{1},\ldots ,s_{m})}}(s)={\begin{vmatrix}{\frac {\partial t_{1}}{\partial s_{1}}}(s)&\ldots &{\frac {\partial t_{1}}{\partial s_{m}}}(s)\\\vdots &&\vdots \\{\frac {\partial t_{m}}{\partial s_{1}}}(s)&\ldots &{\frac {\partial t_{m}}{\partial s_{m}}}(s)\end{vmatrix}}>0$ für alle $s\in {\tilde {T}}$;
2. ${\tilde {X}}(s)=X{\Bigl (}t(s){\Bigr )}$ für alle $s\in {\tilde {T}}$.

Man sagt, ${\tilde {X}}$ entstehe aus $X$ durch orientierungstreues Umparametrisieren. Die Äquivalenzklasse $[X]$ aller zu $X$ äquivalenten Parameterdarstellungen nennen wir eine offene, orientierte, $m$-dimensionale, reguläre Fläche der Klasse $C^{k}$ im $\mathbb {R} ^{n}$. Wir nennen eine Fläche eingebettet in den $\mathbb {R} ^{n}$, falls zusätzlich $X:T\to \mathbb {R} ^{n}$ injektiv ist.

Definition 2

Unter dem Flächeninhalt einer offenen, orientierten, $m$-dimensionalen, regulären $C^{1}$-Fläche im $\mathbb {R} ^{n}$ mit einer Parameterdarstellung $X(t):T\to \mathbb {R} ^{n}$ verstehen wir das uneigentliche Riemannsche Integral

$A(X):=\int \limits _{T}{\sqrt {\sum _{1\leq i_{1},<\ldots <i_{m}\leq n}\left({\frac {\partial (x_{i_{1}},\ldots ,x_{i_{m}})}{\partial (t_{1},\ldots ,t_{m})}}\right)^{2}}}\,dt_{1}\ldots dt_{m},$

wobei $T\subset \mathbb {R} ^{m}$ offen und $1\leq m\leq n$ erfüllt ist. Falls $A(X)<+\infty$ ausfällt, hat die Fläche $[X]$ einen endlichen Flächeninhalt.

Definition 3

Auf der offenen Menge ${\mathcal {O}}\subset \mathbb {R} ^{n}$ seien die Funktionen $a_{i_{1}\ldots i_{m}}\in C^{k}({\mathcal {O}}),k\in \mathbb {N} _{0}$ mit $i_{1},\ldots ,i_{m}\in \{1,\ldots ,n\},1\leq m\leq n$ gegeben. Wir erklären die Menge

${\mathcal {F}}:={\Bigl \{}X|X:T\to \mathbb {R} ^{n}$ ist reguläre, orientierte, $m$-dimensionale Fläche mit endlichem Flächeninhalt und $X(T)\subset \subset {\mathcal {O}}{\Bigr \}}$.

Unter einer Differentialform vom Grade $m$ der Klasse $C^{k}({\mathcal {O}})$

$\omega :=\sum _{i_{1},\ldots ,i_{m}=1}^{n}a_{i_{1}\ldots i_{m}}(x)\,dx_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge dx_{i_{m}}$

oder kurz einer $m$-Form der Klasse $C^{k}({\mathcal {O}})$ verstehen wir die Funktion $\omega :{\mathcal {F}}\to \mathbb {R}$ erklärt durch

$\omega (X):=\int \limits _{T}\sum _{i_{1},\ldots ,i_{m}=1}^{n}a_{i_{1}\ldots i_{m}}(X(t)){\frac {\partial (x_{i_{1}},\ldots ,x_{i_{m}})}{\partial (t_{1},\ldots ,t_{m})}}\,dt_{1}\ldots dt_{m},\quad X\in {\mathcal {F}}$.

Definition 4

Eine 0-Form der Klasse $C^{k}({\mathcal {O}})$ ist eine Funktion $f(x)\in C^{k}({\mathcal {O}})$, d. h.

$\omega =f(x),\quad x\in {\mathcal {O}}$.

Zu $1\leq m\leq n$ nennen wir

$\beta ^{m}:=dx_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge dx_{i_{m}},\quad 1\leq i_{1},\ldots ,i_{m}\leq n$

eine Basis-$m$-Form.

Definition 5

Seien $\omega ,\omega _{1},\omega _{2}$ $m$-Formen der Klasse $C^{0}({\mathcal {O}})$ und sei $c\in \mathbb {R}$. Dann erklären wir die Differentialformen $c\omega$ und $\omega _{1}+\omega _{2}$ durch

$(c\omega )(X):=c\omega (X)$ für alle $X\in {\mathcal {F}}$

bzw.

$(\omega _{1}+\omega _{2})(X):=\omega _{1}(X)+\omega _{2}(X)$ für alle $X\in {\mathcal {F}}$.

Definition 6 (Äußeres Produkt von Differentialformen)

Seien die Differentialformen

$\omega _{1}:=\sum _{1\leq i_{1},\ldots ,i_{l}\leq n}a_{i_{1}\ldots i_{l}}(x)\,dx_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge dx_{i_{l}}$

vom Grade $l$ sowie

$\omega _{2}:=\sum _{1\leq j_{1},\ldots ,j_{m}\leq n}b_{j_{1}\ldots j_{m}}(x)\,dx_{j_{1}}\wedge \ldots \wedge dx_{j_{m}}$

vom Grade $m$ der Klasse $C^{k}({\mathcal {O}}),k\in \mathbb {N} _{0}$ gegeben. Dann erklären wir das äußere Produkt von $\omega _{1}$ und $\omega _{2}$ als die $(l+m)$-Form

$\omega =\omega _{1}\wedge \omega _{2}:=\sum _{1\leq i_{1},\ldots ,i_{l};j_{1},\ldots ,j_{m}\leq n}a_{i_{1}\ldots i_{l}}(x)b_{j_{1}\ldots j_{m}}(x)\,dx_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge dx_{i_{l}}\wedge dx_{j_{1}}\wedge \ldots \wedge dx_{j_{m}}$

der Klasse $C^{0}({\mathcal {O}})$.

Definition 7

Sei

$\omega :=\sum _{1\leq i_{1},\ldots ,i_{m}\leq n}a_{i_{1}\ldots i_{m}}(x)\,dx_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge dx_{i_{m}},\quad x\in {\mathcal {O}}$

eine stetige Differentialform auf der offenen Menge ${\mathcal {O}}\subset \mathbb {R} ^{n},1\leq m\leq n$. Dann erklären wir das uneigentliche Riemannsche Integral der Differentialform $\omega$ über die Fläche $[X]\subset {\mathcal {O}}$

$\int \limits _{[X]}\omega :=\int \limits _{T}\sum _{1\leq i_{1},\ldots ,i_{m}\leq n}a_{i_{1}\ldots i_{m}}{\Bigl (}X(t){\Bigr )}{\frac {\partial (x_{i_{1}},\ldots ,x_{i_{m}})}{\partial (t_{1},\ldots ,t_{m})}}\,dt_{1}\ldots dt_{m},$

falls $\omega$ absolut integrierbar ist über $X$, also

$\int \limits _{[X]}|\omega |:=\int \limits _{T}\left|\sum _{1\leq i_{1},\ldots ,i_{m}\leq n}a_{i_{1}\ldots i_{m}}{\Bigl (}X(t){\Bigr )}{\frac {\partial (x_{i_{1}},\ldots ,x_{i_{m}})}{\partial (t_{1},\ldots ,t_{m})}}\right|\,dt_{1}\ldots dt_{m},$

erfüllt ist.