Kurs:Analysis III/Kapitel I: Differentiation und Integration auf Mannigfaltigkeiten/§6 Kurvenintegrale

Definition 1

Seien $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n},n\geq 2$ ein Gebiet und $P,Q\in \Omega$ zwei Punkte. Dann definieren wir die Klasse ${\mathcal {C}}(\Omega ,P,Q)$ der stückweise stetig differenzierbaren Wege in $\Omega$ von $P$ nach $Q$ gemäß

${\mathcal {C}}(\Omega ,P,Q):={\Bigl \{}X(t):[a,b]\to \Omega \in C^{0}([a,b]):-\infty <a<b<+\infty ,$

$X(a)=P,X(b)=Q;\ es\ gibt\ eine\ Zerlegung\ a=t_{0}<t_{1}<\ldots <t_{N}=b,\ so\ dass$

$X{\bigl |}_{[t_{i},t_{i+1}]}\in C^{1}([t_{i},t_{i+1}],\Omega )\ f{\ddot {u}}r\ i=0,\ldots ,N-1\ gilt{\Bigr \}}.$

Mit

${\mathcal {C}}(\Omega ):=\bigcup _{P\in \Omega }{\mathcal {C}}(\Omega ,P,P)$

erhalten wir die Menge der geschlossenen Wege in $\Omega$. Falls $X(t)\equiv P,a\leq t\leq b$ gilt, so sprechen wir von einer Punktkurve.

Definition 2

Seien

$\omega =\sum _{i=1}^{n}f_{i}(x)\,dx_{i},\quad x\in \Omega$

eine stetige Pfaffsche Form in dem Gebiet $\Omega$ und $X\in {\mathcal {C}}(\Omega ,P,Q)$ ein stückweise stetig differenzierbarer Weg zwischen den Punkten $P,Q\in \Omega$. Mit

$X^{(j)}:=X|_{[t_{j},t_{j+1}]}\in C^{1}([t_{j},t_{j+1}]),\quad j=0,\ldots ,N-1$

setzen wir

$\int \limits _{X}\omega :=\sum _{j=0}^{N-1}\int \limits _{X^{(j)}}\omega =\sum _{j=0}^{N-1}\int \limits _{t_{j}}^{t_{j+1}}\sum _{i=1}^{n}f_{i}{\Bigl (}X(t){\Bigr )}x_{i}'(t)\,dt$

für das Wegintegral von $\Omega$ über $X$.

Definition 3

Sei

$\omega =\sum _{i=1}^{n}f_{i}(x)\,dx_{i},\quad x\in \Omega$

eine stetige Pfaffsche Form im Gebiet $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$. Wir nennen dann $F(x)\in C^{1}(\Omega )$ eine Stammfunktion von $\omega$, falls

$dF=\omega$ in $\Omega$

bzw.

$F_{x_{i}}(x)=f_{i}(x)$ für $x\in \Omega$ und $i=1,\ldots ,n$

gilt. Falls $\omega$ eine Stammfunktionen besitzt, sprechen wir von einer exakten Pfaffschen Form.

Satz 1 (Erster Hauptsatz über Kurvenintegrale)

Seien $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ ein Gebiet und $\omega$ eine stetige Pfaffsche Form in $\Omega$. Genau dann besitzt $\omega$ eine Stammfunktion $F$ in $\Omega$, wenn für jede geschlossene Kurve $X\in {\mathcal {C}}(\Omega ,P,P)$ mit einem $P\in \Omega$ die Identität

$\int \limits _{X}\omega =0$

richtig ist. In diesem Fall erhalten wir eine Stammfunktion wie folgt: Für ein festes $P\in \Omega$ und ein beliebiges $Q\in \Omega$ gilt

$F(Q):=\gamma +\int \limits _{Y}\omega ,\quad Y\in {\mathcal {C}}(\Omega ,P,Q),$

wobei $\gamma \in \mathbb {R}$ eine Konstante ist.

Beweis

1. $\omega$ besitzt eine Stammfunktion $F$, das heißt

$\omega =\sum _{i=1}^{n}f_{i}(x)\,dx_{i}=\sum _{i=1}^{n}F_{x_{i}}(x)\,dx_{i},\quad x\in \Omega .$

Seien nun $X\in {\mathcal {C}}(\Omega ,P,P)$ mit $P\in \Omega$ sowie

$X^{(j)}:=X{\bigl |}_{[t_{j},t_{j+1}]}\in C^{1}([t_{j},t_{j+1}]),\quad j=0,\ldots ,N-1$

gegeben. Dann folgt

$\int \limits _{X}\omega =\sum _{j=0}^{N-1}\int \limits _{X^{(j)}}\omega =\sum _{j=0}^{N-1}\int \limits _{t_{j}}^{t_{j+1}}\left(\sum _{i=1}^{n}F_{x_{i}}{\Bigl (}X(t){\Bigr )}x_{i}'(t)\,dt\right)$

$=\sum _{j=0}^{N-1}\int \limits _{t_{j}}^{t_{j+1}}{\frac {d}{dt}}F{\Bigl (}X(t){\Bigr )}\,dt=\sum _{j=0}^{N-1}{\Bigl \{}F{\Bigl (}X(t_{j+1}){\Bigr )}-F{\Bigl (}X(t_{j}){\Bigr )}{\Bigr \}}$

$=F{\Bigl (}X(t_{N}){\Bigr )}-F{\Bigl (}X(t_{0}){\Bigr )}=F(P)-F(P)=0.$

2. Nun sei

$\int \limits _{X}\omega =0$ für alle $X\in {\mathcal {C}}(\Omega ,P,P)$ mit $P\in \Omega$

erfüllt. Zu festem $P\in \Omega$ und beliebigem $Q\in \Omega$ wählen wir einen Weg

$X\in {\mathcal {C}}(\Omega ,P,Q)$

und erklären

$F(Q):=\int \limits _{X}\omega .$

Wir haben die Unabhängigkeit dieser Definition von der Auswahl der Kurve $X$ zu zeigen. Sei also

$Y\in {\mathcal {C}}(\Omega ,P,Q)$

eine weitere Kurve, so müssen wir

$\int \limits _{X}\omega =\int \limits _{Y}\omega$

nachweisen. Zu $X:[a,b]\to \mathbb {R} ^{n}$ und $Y:[c,d]\to \mathbb {R} ^{n}$ betrachten wir die Kurve

$Z(t):=\left\{{\begin{matrix}X(t),t\in [a,b]\\Y(b+d-t),t\in [b,b+d-c]\end{matrix}}\right.$.

Offensichtlich gilt $Z\in {\mathcal {C}}(\Omega ,P,P)$ und es folgt

$0=\int \limits _{Z}\omega =\int \limits _{X}\omega -\int \limits _{Y}\omega ,$

also

$\int \limits _{X}\omega =\int \limits _{Y}\omega .$

3. Schließlich haben wir noch

$F_{x_{i}}(Q)=f_{i}(Q),\quad i=1,\ldots ,n$

zu zeigen. Hierzu gehen wir bei festem $i\in \{1,\ldots ,n\}$ von $Q$ zu

$Q_{\varepsilon }:=Q+\varepsilon e_{i},\quad e_{i}:=(0,\ldots ,\underbrace {1} _{\text{i-te}},\ldots ,0)$

auf dem Weg

$Y(t):=[0,\varepsilon ]\to \mathbb {R} ,\quad Y(t)=Q+te_{i}.$

Nun ist

$F(Q_{\varepsilon })=F(Q)+F(Q_{\varepsilon })-F(Q)=F(Q)+\int \limits _{Y}\omega$

$=F(Q)+\int \limits _{0}^{\varepsilon }\sum _{i=1}^{n}f_{i}{\Bigl (}Y(t){\Bigr )}y_{i}'(t)\,dt$

$=F(Q)+\int \limits _{0}^{\varepsilon }f_{i}(Q+te_{i})\,dt$

und wir erhalten schließlich

${\frac {d}{dx_{i}}}F{\bigl |}_{Q}={\frac {d}{d\varepsilon }}F(Q_{\varepsilon }){\bigr |}_{\varepsilon =0}=f_{i}(Q),\quad i=1,\ldots ,n,$

weshalb die Behauptung folgt.

q.e.d.

Definition 4

Eine $m$-Form $\omega \in C^{1}(\Omega )$ in einem Gebiet $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ heißt geschlossen, falls $d\omega =0$ in $\Omega$ gilt.

Definition 5

Sei $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ ein Gebiet. Zwei geschlossene Kurven

$X(t):[a,b]\to \Omega ,\quad Y(t):[a,b]\to \Omega ,\quad X,Y\in {\mathcal {C}}(\Omega )$

heißen homotop in $\Omega$, falls es eine Abbildung

$Z(t,s):[a,b]\times [0,1]\to \Omega \in C^{0}([a,b]\times [0,1],\mathbb {R} ^{n})$

mit den Eigenschaften

$Z(a,s)=Z(b,s)$ für alle $s\in [0,1]$

sowie

$Z(t,0)=X(t),\quad Z(t,1)=Y(t)$ für alle $t\in [a,b]$

gibt.

Satz 2 (Zweiter Hauptsatz über Kurvenintegrale)

Sei $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ ein Gebiet, in dem die beiden geschlossenen Kurven $X,Y\in {\mathcal {C}}(\Omega )$ zueinander homotop sind. Schließlich sei

$\omega =\sum _{i=1}^{n}f_{i}(x)\,dx_{i},\quad x\in \Omega$

eine geschlossene Pfaffsche Form der Klasse $C^{1}(\Omega )$. Dann gilt

$\int \limits _{X}\omega =\int \limits _{Y}\omega .$

Beweis

1. Seien $X,Y\in {\mathcal {C}}(\Omega )$ zwei zueinander homotope, geschlossene Kurven. Dann gibt es eine stetige Funktion

$Z(t,s):[a,b]\times [0,1]\to \Omega \in C^{0}([a,b]\times [0,1],\mathbb {R} ^{n})$

mit den Eigenschaften

$Z(a,s)=Z(b,s)$ für alle $s\in [0,1]$

sowie

$Z(t,0)=X(t),\quad Z(t,1)=Y(t)$ für alle $t\in [a,b]$.

Wir setzen $Z$ auf das Rechteck $[a,b]\times [-2,3]$ fort zu

$\Phi (t,s):=\left\{{\begin{matrix}X(t),(t,s)\in [a,b]\times [-2,0]\\Z(t,s),(t,s)\in [a,b]\times [0,1]\\Y(t),(t,s)\in [a,b]\times [1,3]\end{matrix}}\right.$.

Mittels

$\Phi {\Bigl (}t+k(b-a),s{\Bigr )}=\Phi (t,s)$ für $t\in \mathbb {R} ,\quad s\in [-2,3]$ und $k\in \mathbb {Z}$

setzen wir die Funktion auf den Streifen $\mathbb {R} \times [-2,3]$ fort zu einer stetigen, in der ersten Variablen periodischen Funktion mit der Periode $(b-a)$.

2. In dem Quader $Q:=[a,b]\times [-1,2]$ betrachten wir die Funktion

$\Phi ^{\varepsilon }(u,v):=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }\int \limits _{-\infty }^{+\infty }\Phi (\xi ,\eta )\chi _{u,\varepsilon }(\xi )\chi _{v,\varepsilon }(\eta )\,d\xi d\eta$ für alle $0<\varepsilon <1$.

Nun ist $\Phi ^{\varepsilon }\in C^{\infty }(Q)$ erfüllt und es gilt

$\Phi ^{\varepsilon }(u,v)\to \Phi (u,v)$ für $\varepsilon \to 0$ gleichmäßig in $[a,b]\times [-1,2]$.

Somit folgt $\Phi ^{\varepsilon }(Q)\subset \Omega ,0<\varepsilon <\varepsilon _{0}$. Weiter ist

$\Phi ^{\varepsilon }{\Bigl (}u+k(b-a),v{\Bigr )}=\Phi ^{\varepsilon }(u,v)$ für alle $(u,v)\in \mathbb {R} \times [-1,2],\quad k\in \mathbb {Z}$

erfüllt und für $a\leq u\leq b$ haben wir

$\Phi ^{\varepsilon }(u,-1)=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }\int \limits _{-\infty }^{+\infty }\Phi (\xi ,\eta )\chi _{u,\varepsilon }(\xi )\chi _{-1,\varepsilon }(\eta )\,d\xi d\eta$

$=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }\int \limits _{-\infty }^{+\infty }X(\xi )\chi _{u,\varepsilon }(\xi )\chi _{-1,\varepsilon }(\eta )\,d\xi d\eta$

$=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }X(\xi )\chi _{u,\varepsilon }(\xi )\,d\xi =X^{\varepsilon }(u)$

und ebenso

$\Phi ^{\varepsilon }(u,2)=Y^{\varepsilon }(u),\quad a\leq u\leq b.$

3. Mit dem Stokesschen Integralsatz für den Quader $Q$ erhalten wir für alle $0<\varepsilon <\varepsilon _{0}$

$\int \limits _{X^{\varepsilon }}\omega -\int \limits _{Y^{\varepsilon }}\omega =\oint \limits _{\partial Q}\omega _{\Phi ^{\varepsilon }}=\int \limits _{Q}d(\omega _{\Phi ^{\varepsilon }})=\int \limits _{Q}(d\omega )_{\Phi ^{\varepsilon }}=0.$

Für $\varepsilon \to 0+$ ergibt sich mit

$0=\lim _{\varepsilon \to 0+}\left(\int \limits _{X^{\varepsilon }}\omega -\int \limits _{Y^{\varepsilon }}\omega \right)=\int \limits _{X}\omega -\int \limits _{Y}\omega$

die Behauptung.

q.e.d.

Definition 6

Seien das Gebiet $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ sowie die Punkte $P,Q\in \Omega$ gegeben. Zwei Kurven

$X(t),Y(t):[a,b]\to \Omega \in {\mathcal {C}}(\Omega ,P,Q)$

heißen homotop in $\Omega$ mit festem Anfangspunkt $P$ und Endpunkt $Q$, falls es eine stetige Abbildung

$Z(t,s):[a,b]\times [0,1]\to \Omega$

mit den folgenden Eigenschaften gibt:

$Z(a,s)=P,\quad Z(b,s)=Q$ für alle $s\in [0,1]$

sowie

$Z(t,0)=X(t),\quad Z(t,1)=Y(t)$ für alle $t\in [a,b]$.

Definition 7

Ein Gebiet $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ heißt einfach zusammenhängend, falls jede geschlossene Kurve $X(t)\in {\mathcal {C}}(\Omega )$ homotop zu einer Punktkurve in $\Omega$ ist, jede geschlossene Kurve sich also auf einen Punkt zusammenziehen lässt.

Satz 3 (Kurvenintegrale in einfach zusammenhängenden Gebieten)

Seien $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ ein einfach zusammenhängendes Gebiet und

$\omega =\sum _{i=1}^{n}f_{i}(x)\,dx_{i},\quad x\in \Omega$

eine Pfaffsche Form der Klasse $C^{1}(\Omega )$. Dann sind folgende Aussagen äquivalent:

1. $\omega$ ist eine exakte Pfaffsche Form, besitzt also eine Stammfunktion $F$.

2. Für alle $X\in {\mathcal {C}}(\Omega ,P,P)$ mit einem $P\in \Omega$ gilt

$\int \limits _{X}\omega =0.$

3. $\omega$ ist eine geschlossene Pfaffsche Form, d. h. es gilt

$d\omega =0$ in $\Omega$

bzw. die Matrix

$\left({\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}(x)\right)_{i,j=1,\ldots ,n}$

ist symmetrisch für alle $x\in \Omega$.

Beweis

Nach dem ersten Hauptsatz über Kurvenintegrale gilt die Äquivalenz „$1.\Leftrightarrow 2.$“. Die Aussage „$1.\Rightarrow 3.$“ ergeben die Überlegungen vor der Definition 4. Wir haben nur noch die Richtung „$3.\Rightarrow 2.$“ zu zeigen. Sei dazu

$X(t)\in {\mathcal {C}}(\Omega ,P,P)$

eine geschlossene Kurve, so ist diese Kurve $X$ nach Voraussetzung an das Gebiet $\Omega$ homotop zu einer Punktkurve

$Y(t)\equiv P,\quad a\leq t\leq b.$

Anwendung von Satz 2 liefert uns schließlich

$\int \limits _{X}\omega =\int \limits _{Y}\omega =\int \limits _{a}^{b}\sum _{i=1}^{n}f_{i}{\Bigl (}Y(t){\Bigr )}y_{i}'(t)\,dt=0,$

woraus der Satz folgt.

q.e.d.