Kurs:Analysis III/Kapitel I: Differentiation und Integration auf Mannigfaltigkeiten/§7 Das Poincarésche Lemma

Definition 1

Eine stetige $m$-Form, $1\leq m\leq n$, in einer offenen Menge $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n},n\in \mathbb {N}$

$\omega =\sum _{1\leq i_{1}<\ldots <i_{m}\leq n}a_{i_{1}\ldots i_{m}}(x)\,dx_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge dx_{i_{m}},\quad x\in \Omega$

heißt exakt, wenn es eine $(m-1)$-Form

$\lambda =\sum _{1\leq i_{1}<\ldots <i_{m-1}\leq n}b_{i_{1}\ldots i_{m-1}}(x)\,dx_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge dx_{i_{m-1}},\quad x\in \Omega$

der Klasse $C^{1}(\Omega )$ gibt mit der Eigenschaft

$d\lambda =\omega$ in $\Omega$.

Definition 2

Sei $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ ein Gebiet mit dem zugehörigen Zylinder

${\hat {\Omega }}:=\Omega \times [0,1]\subset \mathbb {R} ^{n+1}.$

Weiter gebe es ein $x_{0}\in \Omega$ und eine Abbildung

$F=F(x,t)={\Bigl (}f_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n},t),\ldots ,f_{n}(x_{1},\ldots ,x_{n},t){\Bigr )}:{\hat {\Omega }}\to \Omega$

der Klasse $C^{2}({\hat {\Omega }},\mathbb {R} ^{n})$, so dass folgendes gilt:

$F(x,0)=x_{0},\quad F(x,1)=x$ für alle $x\in \Omega$.

Dann nennen wir das Gebiet $\Omega$ (auf den Punkt $x_{0}$) zusammenziehbar.

Satz 1 (Das Poincarésche Lemma)

Seien $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ ein zusammenziehbares Gebiet und $1\leq m\leq n$. Dann ist jede geschlossene $m$-Form $\omega$ in $\Omega$ exakt.

Beweis

1. Da $\Omega$ zusammenziehbar ist, gibt es eine Abbildung

$F=F(x,t):{\hat {\Omega }}\to \Omega \in C^{2}({\hat {\Omega }})$

mit

$F(x,0)=x_{0},\quad F(x,1)=x$ für alle $x\in \Omega$.

Wir betrachten auf ${\hat {\Omega }}=\Omega \times [0,1]$ die transformierte Differentialform

${\hat {\omega }}(x,t):=\omega \circ F(x,t)=\sum _{1\leq i_{1}<\ldots <i_{m}\leq n}a_{i_{1}\ldots i_{m}}(F(x,t))\,df_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge df_{i_{m}}$

$=\sum _{1\leq i_{1}<\ldots <i_{m}\leq n}a_{i_{1}\ldots i_{m}}(F(x,t))\,d_{x}f_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge d_{x}f_{i_{m}}+dt\wedge \omega _{2}(x,t)=\omega _{1}+dt\wedge \omega _{2}.$

Dabei haben wir

$df_{i_{k}}=d_{x}f_{i_{k}}+{\dot {f}}_{i_{k}}\,dt$ für $k=1,\ldots ,m$

benutzt. Die Differentialformen $\omega _{1}(x,t)$ und $\omega _{2}(x,t)$ sind unabhängig von $dt$ und haben den Grad $m$ bzw. $(m-1)$. Weiter gelten

$\omega _{1}(x,0)=0$ und $\omega _{1}(x,1)=\omega (x)$.

2. Wir berechnen

$0=(d\omega )\circ F=d(\omega \circ F)=d{\hat {\omega }}=d\omega _{1}+d(dt\wedge \omega _{2})$

$=d_{x}\omega _{1}+dt\wedge {\dot {\omega }}_{1}-dt\wedge d\omega _{2}=d_{x}\omega _{1}+dt\wedge {\dot {\omega }}_{1}-dt\wedge (d_{x}\omega _{2}+dt\wedge {\dot {\omega }}_{2})$

$=d_{x}\omega _{1}+dt\wedge ({\dot {\omega }}_{1}-d_{x}\omega _{2}).$

Somit folgt

${\dot {\omega }}_{1}=d_{x}\omega _{2}.$

3. Wir erklären nun die $(m-1)$-Form

$\lambda :=\int \limits _{0}^{1}\omega _{2}(x,t)\,dt.$

Wir berechnen

$d\lambda =\int \limits _{0}^{1}{\Bigl (}d_{x}\omega _{2}(x,t){\Bigr )}\,dt=\int \limits _{0}^{1}{\dot {\omega }}_{1}(x,t)\,dt=\omega _{1}(x,1)-\omega _{1}(x,0)=\omega (x),$

womit alles gezeigt ist.

q.e.d.