- Für ordnen wir jeder -Form ihre duale -Form wie folgt zu:
- 1. Seien . Dann setzen wir
- wobei
- die Volumenform bedeutet.
- 2. Seien und
- Dann setzen wir
- 3. Seien und
- Dann setzen wir
- 4. Seien . Dann ist
- Für eine 1-Form
- der Klasse erklären wir die Coableitung gemäß
Satz 1 (Partielle Integration in beliebigen Parametern)
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- Sei ein Gebiet, das die Voraussetzungen (A), (B) und (D) des Gaußschen Integralsatzes erfüllt. Die Parametertransformation
- sei bijektiv und erfülle die Bedingung
für alle .
- Weiter seien eine 1-Form
- und eine 0-Form der Klasse gegeben. Dann gilt
- Dabei trägt die induzierte kanonische Orientierung des .
Insbesondere wegen der Voraussetzungen an die Parametertransformation sind alle auftretenden Funktionen in der Klasse . Wir wenden den Stokesschen Integralsatz an und erhalten
Umstellen liefert die Behauptung.
q.e.d.
- Für zwei Funktionen und der Klasse mit den zugehörigen Differentialen
- erklären wir den Beltramioperator erster Ordnung gemäß
- Für eine Funktion erklären wir den Laplace-Beltrami-Operator