Kurs:Analysis III/Kapitel II: Grundlagen der Funktionalanalysis/§6 Banach- und Hilberträume

Definition 1

Sei ${\mathcal {M}}$ ein reeller (bzw. komplexer) linearer Raum, d. h.

$f,g\in {\mathcal {M}},\alpha ,\beta \in \mathbb {R}$ (bzw. $\mathbb {C}$) $\Longrightarrow \alpha f+\beta g\in {\mathcal {M}}$.

Dann nennen wir ${\mathcal {M}}$ einen normierten reellen (bzw. komplexen) linearen Raum oder normierten Vektorraum, wenn eine Funktion

$\|\cdot \|:{\mathcal {M}}\to [0,+\infty )$

existiert mit den folgenden Eigenschaften:

(N1) $\|f\|=0\Longleftrightarrow f=0;$

(N2) Dreiecksungleichung: $\|f+g\|\leq \|f\|+\|g\|$ für alle $f,g\in {\mathcal {M}}$;

(N3) Homogenität: $\|\lambda f\|=|\lambda |\|f\|$ für alle $f\in {\mathcal {M}},\lambda \in \mathbb {R}$ (bzw. $\mathbb {C}$).

Die Funktion $\|\cdot \|$ nennen wir die Norm auf ${\mathcal {M}}$.

Definition 2

Der normierte Vektorraum ${\mathcal {M}}$ heißt vollständig, falls jede Cauchy-Folge in ${\mathcal {M}}$ konvergiert, d. h. ist $\{f_{n}\}\subset {\mathcal {M}}$ eine Folge mit

$\lim _{k,l\to \infty }\|f_{k}-f_{l}\|=0,$

so gibt es ein $f\in {\mathcal {M}}$ mit

$\lim _{k\to \infty }\|f-f_{k}\|=0.$

Definition 3

Ein vollständiger normierter Vektorraum heißt Banachraum.

Definition 4

Ein komplexer linearer Raum ${\mathcal {H}}'$ heißt Prä-Hilbertraum, falls in ${\mathcal {H}}'$ ein Skalarprodukt definiert ist, d. h. eine Funktion

$(\cdot ,\cdot ):{\mathcal {H}}'\times {\mathcal {H}}'\to \mathbb {C}$

mit den folgenden Eigenschaften:

(H1) $(f+g,h)=(f,h)+(g,h)$ für alle $f,g,h\in {\mathcal {H}}'$;

(H2) $(f,\lambda g)=\lambda (f,g)$ für alle $f,g\in {\mathcal {H}}',\lambda \in \mathbb {C}$;

(H3) Hermitescher Charakter: $(f,g)={\overline {(g,h)}}$ für alle $f,g\in {\mathcal {H}}'$;

(H4) Positive Definitheit: $(f,f)>0$, falls $f\neq 0$.

Definition 5

Ein Prä-Hilbertraum ${\mathcal {H}}$ nennen wir einen Hilbertraum, falls ${\mathcal {H}}$ mit der Norm

$\|f\|:={\sqrt {(f,f)}},\quad f\in {\mathcal {H}}$

vollständig, d. h. ein Banachraum ist.

Satz 1 (Projektionssatz)

Sei ${\mathcal {M}}\subset {\mathcal {H}}$ ein abgeschlossener, linearer Teilraum eines Hilbertraumes ${\mathcal {H}}$. Dann gilt für alle Elemente $f\in {\mathcal {H}}$ die folgende Darstellung:

$f=g+h$ mit $g\in {\mathcal {M}}$ und $h\in {\mathcal {M}}^{\perp }$.

Die Elemente $g$ und $h$ sind dabei eindeutig bestimmt.

Beweis

1. Wir zeigen zunächst die Eindeutigkeit. Sei ein Element $f\in {\mathcal {H}}$ mit

$f=g_{1}+h_{1}=g_{2}+h_{2},\quad g_{j}\in {\mathcal {H}},h_{j}\in {\mathcal {H}}^{\perp }$

gegeben. Zunächst sehen wir

$0=f-f=(g_{1}-g_{2})+(h_{1}-h_{2}).$

Die Eindeutigkeit folgt nun aus

$0=\|(g_{1}-g_{2})+(h_{1}-h_{2})\|^{2}=((g_{1}-g_{2})+(h_{1}-h_{2}),(g_{1}-g_{2})+(h_{1}-h_{2}))$

$=\|g_{1}-g_{2}\|^{2}+\|h_{1}-h_{2}\|^{2}.$

2. Es bleibt die Existenz der gewünschten Darstellung zu zeigen. Zu vorgegebenem $f\in {\mathcal {H}}$ lösen wir folgendes Variationsproblem: Finde ein $g\in {\mathcal {M}}$, so dass

$\|f-g\|=\inf _{{\tilde {g}}\in {\mathcal {M}}}\|f-{\tilde {g}}\|=:d$

gilt. Wir wählen zunächst eine Folge $\{g_{k}\}\subset {\mathcal {M}}$ mit der Eigenschaft

$\lim _{k\to \infty }\|f-g_{k}\|=d.$

Wir zeigen, dass diese Folge gegen ein $g\in {\mathcal {M}}$ konvergiert. Hierzu benutzen wir die Parallelogrammgleichung

$\left\|{\frac {\varphi +\psi }{2}}\right\|^{2}+\left\|{\frac {\varphi -\psi }{2}}\right\|^{2}={\frac {1}{2}}\left(\|\varphi \|^{2}+\|\psi \|^{2}\right)$ für alle $\varphi ,\psi \in {\mathcal {H}}$,

die man durch Ausrechnen der Skalarprodukte auf beiden Seiten leicht überprüft. Diese wenden wir nun auf die Elemente

$\varphi =f-g_{k},\psi =f-g_{l},\quad k,l\in \mathbb {N}$

an und erhalten

$\left\|f-{\frac {g_{k}+g_{l}}{2}}\right\|^{2}+\left\|{\frac {g_{k}-g_{l}}{2}}\right\|^{2}={\frac {1}{2}}\left(\|f-g_{k}\|^{2}+\|f-g_{l}\|^{2}\right).$

Umstellen dieser Gleichungen bringt

$0\leq \left\|{\frac {g_{k}-g_{l}}{2}}\right\|^{2}={\frac {1}{2}}\left(\|f-g_{k}\|^{2}+\|f-g_{l}\|^{2}\right)-\left\|f-{\frac {g_{k}+g_{l}}{2}}\right\|^{2}$

$\leq {\frac {1}{2}}\left(\|f-g_{k}\|^{2}+\|f-g_{l}\|^{2}\right)-d^{2}.$

Nach Ausführen des Grenzübergangs $k,l\to \infty$ folgt nun die Cauchy-Folgen-Eigenschaft für die Folge $\{g_{k}\}$. Aus der Abgeschlossenheit des linearen Teilraumes ${\mathcal {M}}$ folgt damit, dass ein Grenzwert $g\in {\mathcal {M}}$ der Folge $\{g_{k}\}$ existiert.
Wir zeigen schließlich $h=(f-g)\in {\mathcal {M}}^{\perp }$ und erhalten dann die gewünschte Darstellung

$f=g+(f-g)=g+h.$

Sei $\varphi \in {\mathcal {M}}$ beliebig gewählt und $\varepsilon \in (-\varepsilon _{0},\varepsilon _{0})$, so folgt

$\|(f-g)+\varepsilon \varphi \|^{2}\geq d^{2}=\|f-g\|^{2}.$

Zunächst ist nun

$\|f-g\|^{2}+2\varepsilon \operatorname {Re} (f-g,\varphi )+\varepsilon ^{2}\|\varphi \|^{2}\geq \|f-g\|^{2},$

also

$2\varepsilon \operatorname {Re} (f-g,\varphi )+\varepsilon ^{2}\|\varphi \|^{2}\geq 0$

und zwar für alle $\varphi \in {\mathcal {M}}$ und alle $\varepsilon \in (-\varepsilon _{0},\varepsilon _{0})$. Es muss also

$\operatorname {Re} (f-g,\varphi )=0$ für alle $\varphi \in {\mathcal {M}}$

gelten. Ersetzen wir $\varphi$ durch $i\varphi$, so erhalten wir $(f-g,\varphi )=0$. Da $\varphi$ beliebig aus ${\mathcal {M}}$ gewählt wurde, ist $(f-g)\in {\mathcal {M}}^{\perp }$ gezeigt.

q.e.d.

Definition 6

Seien $\{{\mathcal {M}}_{1},\|\cdot \|_{1}\}$ und $\{{\mathcal {M}}_{2},\|\cdot \|_{2}\}$ zwei normierte lineare Räume und $A:{\mathcal {M}}_{1}\to {\mathcal {M}}_{2}$ eine lineare Abbildung. Dann heißt $A$ stetig im Punkte $f\in {\mathcal {M}}_{1}$, wenn es für alle $\varepsilon >0$ ein $\delta =\delta (\varepsilon ,f)>0$ gibt, so dass gilt

$g\in {\mathcal {M}}_{1}:\|g-f\|_{1}<\delta \quad \Rightarrow \quad \|A(g)-A(f)\|_{2}<\varepsilon .$

Definition 7

Für ein beschränktes, lineares Funktional $A:{\mathcal {M}}\to \mathbb {C}$ auf dem normierten, linearen Raum ${\mathcal {M}}$ nennen wir

$\|A\|:=\sup _{f\in {\mathcal {M}},\|f\|\leq 1}|A(f)|$

die Norm des Funktionals $A$.

Definition 8

Mit

${\mathcal {M}}^{*}:={\Bigl \{}A:{\mathcal {M}}\to \mathbb {C} :A\ ist\ beschr{\ddot {a}}nkt\ auf\ {\mathcal {M}}{\Bigr \}}$

bezeichnen wir den Dualraum des normierten, linearen Raumes ${\mathcal {M}}$.

Satz 2 (Darstellungssatz von Fréchet-Riesz)

Jedes beschränkte, lineare Funktional $A:{\mathcal {H}}\to \mathbb {C}$ auf einem Hilbertraum ${\mathcal {H}}$ lässt sich in der Form

$A(f)=(g,f)$ für alle $f\in {\mathcal {H}}$

mit einem eindeutig bestimmten, erzeugenden Element $g\in {\mathcal {H}}$ darstellen.

Beweis

1. Wir zeigen zunächst die Eindeutigkeit. Seien $f\in {\mathcal {H}}$ und $g_{1},g_{2}\in {\mathcal {H}}$ zwei erzeugende Elemente. Dann gilt

$A(f)=(g_{1},f)=(g_{2},f)$ für alle $f\in {\mathcal {H}}$.

Wir subtrahieren beide Gleichungen voneinander und erhalten

$(g_{1},f)-(g_{2},f)=(g_{1}-g_{2},f)=0$ für alle $f\in {\mathcal {H}}$.

Wählen wir nun $f=g_{1}-g_{2}$, so folgt $g_{1}=g_{2}$ wegen

$0=(g_{1}-g_{2},g_{1}-g_{2})=\|g_{1}-g_{2}\|^{2}.$

2. Zum Nachweis der Existenz von $g$ betrachten wir

${\mathcal {M}}:={\Bigl \{}f\in {\mathcal {H}}:A(f)=0{\Bigr \}}\subset {\mathcal {H}}.$

${\mathcal {M}}$ ist ein abgeschlossener linearer Teilraum von ${\mathcal {H}}$.

i.) Sei ${\mathcal {M}}={\mathcal {H}}$. Dann folgt für $g=0\in {\mathcal {H}}$ unmittelbar die Identität

$A(f)=(g,f)=0$ für alle $f\in {\mathcal {H}}$.

ii.) Sei ${\mathcal {M}}\subsetneqq {\mathcal {H}}$. Nach dem Projektionssatz gilt ${\mathcal {H}}={\mathcal {M}}\oplus {\mathcal {M}}^{\perp }$ mit $\{0\}\neq {\mathcal {M}}^{\perp }$. Es existiert also ein $h\in {\mathcal {M}}^{\perp }$ mit $h\neq 0$. Wir bestimmen nun ein $\alpha \in \mathbb {C}$, so dass für $g=\alpha h$ die Identität

$A(h)=(g,h)$

oder, was äquivalent dazu ist,

$A(h)=(g,h)=(\alpha h,h)={\overline {\alpha }}(h,h)={\overline {\alpha }}\|h\|^{2}$

bzw.

$g={\frac {\overline {A(h)}}{\|h\|^{2}}}h.$

Nun gilt $A(f)=(g,f)$ für alle $f\in {\mathcal {M}}$ und für $f=h$. Für beliebiges $f\in {\mathcal {H}}$ setze nun $c:={\frac {A(f)}{A(h)}}$. Dann gelten für ${\tilde {f}}:=f-ch$ die Identität

$A({\tilde {f}})=A(f)-cA(h)=A(f)-{\frac {A(f)}{A(h)}}A(h)=0$

und somit ${\tilde {f}}\in {\mathcal {M}}$. Wir haben also für $f\in {\mathcal {H}}$ die Darstellung $f={\tilde {f}}+ch$, wobei ${\tilde {f}}\in {\mathcal {M}}$ und $ch\in {\mathcal {M}}^{\perp }$ gelten. Damit wird

$A(f)=A({\tilde {f}})+cA(h)=(g,{\tilde {f}})+c(g,h)=(g,{\tilde {f}}+ch)=(g,f)$

richtig für alle $f\in {\mathcal {H}}$.

Definition 9

Einen Banachraum nennen wir separabel, falls es eine Folge $\{f_{k}\}\subset {\mathcal {B}}$ gibt, die in ${\mathcal {B}}$ dicht liegt, d. h. zu jedem $f\in {\mathcal {B}}$ und jedem $\varepsilon >0$ gibt es ein $k\in \mathbb {N}$ mit

$\|f-f_{k}\|<\varepsilon .$

Definition 10

Sei ${\mathcal {H}}'$ ein Prä-Hilbertraum. Ein System von abzählbar unendlich vielen Elementen $\{\varphi _{1},\varphi _{2},\ldots \}\subset {\mathcal {H}}'$ nennen wir orthonormiert, falls

$(\varphi _{i},\varphi _{j})=\delta _{ij},\quad i,j\in \mathbb {N}$

richtig ist.

Definition 11

Ein Orthonormalsystem $\{\varphi _{k}\}$ heißt vollständig, kurz v. o. n. S., wenn für jedes $f\in {\mathcal {H}}'$ des Prä-Hilbertraumes ${\mathcal {H}}'$ die Vollständigkeitsrelation

$\|f\|^{2}=\sum _{k=1}^{\infty }|(\varphi _{k},f)|^{2}$

erfüllt ist.