Kurs:Analysis III/Kapitel II: Grundlagen der Funktionalanalysis/§9 BV-Funktionen und Stieltjes-Integral

Wir wollen uns ein weiteres Daniell-Integral, das Stieltjes-Integral, anschauen. Dazu müssen wir zuvor Funktionen beschränkter Variation behandeln.

Definition 1

Eine Funktion $\varrho :\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ heißt Funktion von beschränkter Variation in $\mathbb {R}$, in Zeichen $\varrho \in BV(\mathbb {R} )$, wenn für alle Zerlegungen

${\mathcal {Z}}:-\infty <x_{0}<x_{1}<\ldots <x_{n}<+\infty ,\quad n=n({\mathcal {Z}})\in \mathbb {N}$

von $\mathbb {R}$ die Ungleichung

$\sum _{k=1}^{n}|\varrho (x_{k})-\varrho (x_{k-1})|\leq M$

mit einer Konstanten $M<+\infty$ richtig ist.

Bemerkung 1

Für eine Zerlegung ${\mathcal {Z}}$ in $\mathbb {R}$ und $k=1,\ldots ,n({\mathcal {Z}})$ setzen wir

$J_{k}:=[x_{k-1},x_{k}],\quad |J_{k}|:=x_{k}-x_{k-1},\quad \varrho (J_{k}):=\varrho (x_{k})-\varrho (x_{k-1}).$

Wir erklären dann

(1) $\int \limits _{-\infty }^{+\infty }|d\varrho (x)|:=\sup _{\mathcal {Z}}\sum _{k=1}^{n({\mathcal {Z}})}|\varrho (J_{k})|$

und erhalten die Aussage

(2) $\varrho \in BV(\mathbb {R} )\Leftrightarrow \int _{-\infty }^{+\infty }|d\varrho (x)|<+\infty .$

Satz 1

Eine Funktion $\varrho \in BV(\mathbb {R} )$ ist beschränkt und es existieren die Grenzwerte $\varrho (\pm \infty ):=\lim _{x\to \pm \infty }\varrho (x)$. Weiter gilt die Ungleichung

$|\varrho (b)-\varrho (a)|\leq \int \limits _{-\infty }^{+\infty }|d\varrho (x)|$

für beliebige $a,b\in \mathbb {R}$ mit $a<b$, insbesondere also

$|\varrho (+\infty )-\varrho (-\infty )|\leq \int \limits _{-\infty }^{+\infty }|d\varrho (x)|.$

In (3) tritt Gleichheit genau dann ein, wenn die Funktion $\varrho :\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ schwach monoton steigend bzw. fallend ist.

Beweis

1. Für eine beliebige Zerlegung ${\mathcal {Z}}$ in $\mathbb {R}$ mit $a=x_{0}$ und $b=x_{n}$ gilt

(4) ${\begin{matrix}|\varrho (b)-\varrho (a)|=|\varrho (x_{n})-\varrho (x_{0})|=\left|\sum \limits _{k=1}^{n({\mathcal {Z}})}(\varrho (x_{k})-\varrho (x_{k-1}))\right|\leq \sum \limits _{k=1}^{n({\mathcal {Z}})}|\varrho (x_{k})-\varrho (x_{k-1})|\\=\sum \limits _{k=1}^{n({\mathcal {Z}})}\varrho (J_{k}){\stackrel {(1)}{\leq }}\int \limits _{-\infty }^{+\infty }|d\varrho (x)|{\stackrel {(2)}{<}}+\infty .\end{matrix}}$

Damit existiert insbesondere eine Konstante $K<+\infty$ mit der Eigenschaft

(5) $|\varrho (x)|\leq K\quad \forall x\in \mathbb {R} ,$

so dass $\varrho$ beschränkt ist.

2. Wegen (5) gibt es eine Folge $\xi _{l}\uparrow +\infty$ mit

(6) $\lim _{l\to \infty }\varrho (\xi _{l})=\varrho _{*}\in [-K,+K].$

Nun gilt für jede weitere Folge $\{\eta _{l}\}_{l=1,2,\ldots }\subset \mathbb {R}$ mit $\eta _{l}\uparrow +\infty$, dass

$\lim _{l\to \infty }\varrho (\eta _{l})=\varrho _{*}$

richtig ist.
Indirekter Beweis: Anderenfalls gibt es ein $\varepsilon >0$, ein $l_{0}\in \mathbb {N}$ und eine Folge $\eta _{l}\uparrow +\infty$ mit

$|\varrho (\eta _{l})-\varrho _{*}|\geq 2\varepsilon \quad \forall l\geq l_{0}.$

Wegen (6) gibt es ein $l_{1}\in \mathbb {N}$, so dass

$|\varrho (\xi _{l})-\varrho _{*}|\leq \varepsilon \quad \forall l\geq l_{1}.$

gilt. Aus den Punktmengen

$Y:=\{\eta _{l}\}_{l\geq l_{0}}$ und $X:=\{\xi _{l}\}_{l\geq l_{1}}$

konstruieren wir nun eine Zerlegung $\{x0,x1,...,xn\}$ in $\mathbb {R}$ mit der Eigenschaft

$x_{0}<x_{1}<\ldots <x_{n}$ und $x_{k}\in {\begin{cases}Y,&k{\text{ gerade}}\\X,&k{\text{ ungerade}}\end{cases}},$

wobei $n\in \mathbb {N}$ beliebig ist. Seien nun $\eta _{i}=x_{k-1}$ und $\xi _{j}=x_{k}$ (bzw. umgekehrt) zwei benachbarte Elemente der so konstruierten Folge, so erhält man

$\varrho (J_{k})|=|\varrho (x_{k-1})-\varrho (x_{k})|=|\varrho (\eta _{i})-\varrho (\xi _{j})|=|(\varrho (\eta _{i})-\varrho _{*})-(\varrho (\xi _{j})-\varrho _{*})|$

$\geq ||\varrho (\eta _{i})-\varrho _{*}|-|\varrho (\xi _{j})-\varrho _{*}||\geq \varepsilon .$

Aufsummierung über $k$ ergibt

$\int \limits _{-\infty }^{+\infty }|d\varrho (x)|=\sup _{\mathcal {Z}}\sum _{k=1}^{n}|\varrho (J_{k})|\geq \sum _{k=1}^{n}|\varrho (J_{K})|\geq n\varepsilon .$

Da $n$ beliebig war, erhalten wir mit (2) einen Widerspruch zur Voraussetzung $\varrho \in BV(\mathbb {R} )$. Also existiert $\varrho (+\infty )$. Analog zeigt man die Existenz des Grenzwertes $\varrho (-\infty )$.

3. Da die Ungleichung

$|\varrho (b)-\varrho (a)|\leq \int \limits _{-\infty }^{+\infty }|d\varrho (x)|\quad \forall -\infty <a<b<+\infty$

nach (4) gilt und die Limites $\varrho (\pm \infty )$ existieren, folgt nach Grenzübergang

$|\varrho (+\infty )-\varrho (-\infty )|\leq \int \limits _{-\infty }^{+\infty }|d\varrho (x)|.$

Falls nun $\varrho :\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ schwach monoton ist, gilt in (4) wegen $\varrho (x_{k})-\varrho (x_{k-1})\geq 0$ (bzw. $\leq 0$) für alle $k=1,2,\ldots$ das Gleichheitszeichen, also

$|\varrho (x_{n})-\varrho (x_{0})|=\sum _{k=1}^{n({\mathcal {Z}})}|\varrho (J_{k})|$

für alle Zerlegungen ${\mathcal {Z}}$. Nun folgt

$|\varrho (+\infty )-\varrho (-\infty )|=\sup _{\mathcal {Z}}|\varrho (x_{n})-\varrho (x_{0})|=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }|d\varrho (x)|.$

4. Falls dagegen $\varrho :\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ nicht schwach monoton ist, können wir ein $\varepsilon >0$ und eine Zerlegung in $\mathbb {R}$ so finden, dass

$|\varrho (x_{n})-\varrho (x_{0})|\leq \sum _{k=1}^{n}|\varrho (J_{k})|-3\varepsilon$

sowie

$|\varrho (x_{n})-\varrho (+\infty )|\leq \varepsilon ,\quad |\varrho (x_{0})-\varrho (-\infty )|\leq \varepsilon$

gelten. Somit folgt

$|\varrho (+\infty )-\varrho (-\infty )|\leq |\varrho (+\infty )-\varrho (x_{n})|+|\varrho (x_{n})-\varrho (x_{0})|+|\varrho (x0)-\varrho (-\infty )|\leq \sum _{k=1}^{n}|\varrho (J_{k})|-\varepsilon ,$

woraus sich

$|\varrho (+\infty )-\varrho (-\infty )|<|\varrho (+\infty )-\varrho (-\infty )|+\varepsilon \leq \int \limits _{-\infty }^{+\infty }|d\varrho (x)|$

ergibt.

q.e.d.

Definition 2

Für beliebige Zahlen $a,b\in {\overline {\mathbb {R} }}$ mit $-\infty \leq a<b\leq +\infty$ erklären wir die Funktionen beschränkter Variation im Intervall $[a,b]$ wie folgt:

$BV[a,b]:=\{\varrho \in BV(\mathbb {R} ):\varrho (x)=\varrho (a)\ falls\ x<a,\varrho (x)=\varrho (b)\ falls\ x>b\},\quad BV[-\infty ,+\infty 0]=BV(\mathbb {R} ).$

Seien ferner $\varrho \in BV(\mathbb {R} )$ und ${\hat {\varrho }}\in BV[a,b],-\infty \leq a<b\leq +\infty$ mit $\varrho (x)={\hat {\varrho }}(x)$ für alle $x\in [a,b]$, so setzen wir

(7) $\int \limits _{a}^{b}|d\varrho (x)|:=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }|d{\hat {\varrho }}(x)|.$

Hilfssatz 1

Seien $\varrho \in BV(\mathbb {R} )$ und $-1<x<y<+1$, so gilt

$\int \limits _{-\infty }^{x}|d\varrho (t)|+\int \limits _{x}^{y}|d\varrho (t)|=\int \limits _{-\infty }^{y}|d\varrho (t)|.$

ohne Beweis

Satz 2 (Zerlegungssatz für BV-Funktionen)

Jede Funktion $\varrho \in BV(\mathbb {R} )$ lässt sich in der Form

(8) $\varrho (x)=\varrho _{1}(x)-\varrho _{2}(x),\quad x\in \mathbb {R}$

darstellen. Dabei sind $\varrho _{1},\varrho _{2}:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ monoton nicht fallende, beschränkte Funktionen.

Beweis

Nach Hilfssatz 1 ist

$\varrho _{1}(x):=\int \limits _{-\infty }^{x}|d\varrho (t)|,\quad x\in \mathbb {R}$

monoton nicht fallend. Ferner gilt

$0\leq \varrho _{1}(x)\leq \int \limits _{-\infty }^{+\infty }|d\varrho (t)|<+\infty$ (Beschränktheit).

Betrachten wir zusätzlich die Funktion

$\varrho _{2}(x):=\int \limits _{-\infty }^{x}|d\varrho (t)|-\varrho (x)=\varrho _{1}(x)-\varrho (x),\quad x\in \mathbb {R} ,$

so haben wir die gewünschte Zerlegung (8), wenn wir noch die schwache Monotonie und Beschränktheit von $\varrho _{2}$ zeigen. Da $\varrho$ und $\varrho _{1}$ beschränkt sind, gilt dies auch für $\varrho _{2}$. Für $-\infty <x<y<+\infty$ gilt die folgende Ungleichung

$\varrho _{2}(y)-\varrho _{2}(x)=\int \limits _{-\infty }^{y}|d\varrho (t)|-\varrho (y)-\int \limits _{-\infty }^{x}|d\varrho (t)|+\varrho (x){\stackrel {\text{HS 1}}{=}}\int \limits _{x}^{y}|d\varrho (t)|-(\varrho (y)-\varrho (x)){\stackrel {(7),(3)}{\geq }}|\varrho (y)-\varrho (x)|-(\varrho (y)-\varrho (x))\geq 0,$

womit die schwache Monotonie bewiesen ist.

q.e.d.

Da eine Funktion beschränkter Variation gemäß (8) in schwach monotone Funktionen zerlegbar ist, wollen wir uns nun mit monotonen Funktionen befassen.

Satz 3 (Unstetigkeitsstellen monotoner Funktionen)

Sei $\varrho :\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ eine monoton nicht fallende, beschränkte Funktion.

(i) $\varrho$ ist genau dann in einem Punkt $\xi \in \mathbb {R}$ unstetig, wenn für die Sprunghöhe

$\delta \varrho (\xi ):=\varrho (\xi +)-\varrho (\xi -)>0$

gilt. Dabei sind

$\varrho (\xi \pm ):=\lim _{x\to \xi \pm 0}\varrho (x)$

die rechts- bzw. linksseitigen Grenzwerte.

(ii) Die Funktion $\varrho$ hat höchstens abzählbar viele Unstetigkeitsstellen.

ohne Beweis

An vielen Stellen in der Analysis sind Auswahlsätze von entscheidender Bedeutung. Sie lassen sich in der Regel als Kompaktheitskriterien interpretieren. Für kompakte Mengen im $\mathbb {R} ^{n}$ haben wir den Weierstraßschen Satz, für die Klasse der gleichgradig stetigen Funktionen den Satz von Arzelà-Ascoli und für die Klasse der BV-Funktionen die folgende Aussage.

Satz 4 (Hellyscher Auswahlsatz)

Sei $\{\varrho _{k}\}_{k=1,2,\ldots }\subset BV(\mathbb {R} )$ eine gleichmäßig beschränkte Funktionenfolge mit gleichmäßig beschränkter Variation, d.h. es gibt eine Konstante $C$, so dass

$|\varrho _{k}(x)|\leq C$ für alle $x\in \mathbb {R} ,\quad k\in \mathbb {N}$

und

$\int \limits _{-\infty }^{+\infty }|d\varrho _{k}(x)|\leq C$ für alle $k\in \mathbb {N}$

gelten. Dann gibt es eine Teilfolge $\{\varrho _{k_{l}}\}_{l=1,2,\ldots }$ mit $k_{1}<k_{2}<\ldots$, welche in jedem Punkt $x\in \mathbb {R}$ gegen eine beschr¨ankte Funktion $\varrho =\varrho (x)$ konvergiert, d.h.

$\lim _{l\to \infty }\varrho _{k_{l}}(x)=\varrho (x)$ für alle $x\in \mathbb {R}$.

$\varrho$ ist wiederum eine Funktion aus $BV(\mathbb {R} )$.

ohne Beweis

Für Funktionen $\varrho \in BV(\mathbb {R} )$ und $f\in C_{0}^{0}(\mathbb {R} )$, eine Zerlegung ${\mathcal {Z}}=\{x_{0},\ldots ,x_{n}\}$ in $\mathbb {R}$ und Zwischenwerte $\xi _{k}\in J_{k},k=1,\ldots ,n$ erklären wir die Riemann-Stieltjes-Summe wie folgt:

(9) $\sum ({\mathcal {Z}},f,\xi ;\varrho ):=\sum _{k=1}^{n({\mathcal {Z}})}f(\xi _{k})\varrho (J_{k})=\sum _{k=1}^{n({\mathcal {Z}})}f(\xi _{k})[\varrho (x_{k})-\varrho (x_{k-1})].$

Eine Zerlegungsfolge $\{{\mathcal {Z}}^{(p)}\}_{p=1,2,\ldots }$ nennen wir ausgezeichnet, falls

$\lim _{p\to \infty }x_{0}^{(p)}=-\infty ,\quad \lim _{p\to \infty }x_{n^{(p)}}^{(p)}=+\infty$ und $\lim _{p\to \infty }\sup _{k=1,\ldots ,n^{(p)}}|J_{k}^{(p)}|=0$

gelten.

Definition 3 (Stieltjes-Integral)

Seien $\varrho \in BV(\mathbb {R} )$ und $f\in C_{0}^{0}(\mathbb {R} )$. Dann erklären wir gemäß

(10) $\int \limits _{-\infty }^{+\infty }f(x)d\varrho (x):=\lim _{p\to \infty }\sum ({\mathcal {Z}}^{(p)},f,\xi ^{(p)};\varrho )$

das Stieltjes-Integral von $f$ bzgl. $\varrho$. Dabei ist $\{{\mathcal {Z}}^{(p)}\}_{p=1,2,\ldots }$ eine beliebige ausgezeichnete Zerlegungsfolge und $\xi ^{(p)}=\xi _{k}^{(p)}:k=1,\ldots ,n^{(p)}\}$ sind beliebige Zwischenwerte.

Bemerkung 2

1. Man kann zeigen, dass der in (10) verwendete Grenzwert existiert und von der Wahl der ausgezeichneten Zerlegungsfolge und der Zwischenwerte unabhängig ist, so dass die Definition des Stieltjes-Integral gerechtfertigt ist.

2. Seien $\varrho \in BV(\mathbb {R} )$ gegeben und $-\infty \leq a<b\leq +\infty$. Setzen wir in (10) die Funktion

${\hat {\varrho }}\in BV[a,b]$ mit ${\hat {\varrho }}(x)=\varrho (x)\quad \forall x\in [a,b]$

ein, so erhalten wir mit

$\int \limits _{a}^{b}f(x)\,d\varrho (x):=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }f(x)d{\hat {\varrho }}(x)$

das Stieltjes-Integral über das Intervall $[a,b]$.

3. Sei $\varrho :\mathbb {R} \to [0,1]$ eine monoton nicht fallende Funktion mit

$\varrho (-\infty )=0$ und $\varrho (+\infty )=1$

sowie der folgenden Eigenschaft: Es gibt eine Folge $-\infty <\ldots <x_{-1}<x_{0}<x_{1}<\ldots <+\infty$ von Punkten, so dass

$\varrho {\big |}_{(}x_{j},x_{j+1})=\operatorname {const} ,\quad j=0,\pm 1,\pm 2,\ldots$

richtig ist. Dann gilt für das Stieltjes-Integral von $f\in C_{0}^{0}(\mathbb {R} )$

$\int \limits _{-\infty }^{+\infty }f(x)\,d\varrho (x):=\sum _{j=-\infty }^{+\infty }f(x_{j})\delta \varrho (x_{j})=\sum _{j=-\infty }^{+\infty }f(x_{j})(\varrho (x_{j}+)-\varrho (x_{j}-)).$

Wegen

$\int \limits _{-\infty }^{+\infty }d\varrho (x)=\sum _{j=-\infty }^{+\infty }(\varrho (x_{j}+)-\varrho (x_{j}-))=\varrho (+\infty )-\varrho (-\infty )=\infty$

liefert die Funktion $\varrho$ eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung. Derartige Stieltjes-Integrale finden auch in der Physik Anwendung, z. B. bei der Betrachtung von Punktladungen. Falls $\varrho$ nur bei $x=0$ einen Sprung der Hö0he 1 hat, erhält man das sogenannte Dirac-Maß.

Seien $X=R$ und $M=M(X):=C_{0}^{0}(R)$. Weiter sei $\varrho \in BV(R)$ gemäß Satz 2 zerlegt in

$\varrho (x)=\varrho _{1}(x)-\varrho _{2}(x),\quad x\in R,\quad \varrho _{j}{\text{ monoton nichtfallend}},\quad j=1,2.$

Dann gilt für das Stieltjes-Integral

$\int \limits _{-\infty }^{+\infty }f(x)\,d\varrho (x)=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }f(x)\,d\varrho _{1}(x)-\int \limits _{-\infty }^{+\infty }f(x)\,d\varrho _{2}(x)\quad \forall f\in M.$

Betrachten wir nun mit $\varrho :\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ eine beliebige monoton nicht fallende, beschränkte Funktion, so erhalten wir ein Daniellsches Integral

$I(f):=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }f(x)\,d\varrho (x),\quad f\in M.$