§1 Die Poissonsche Differentialgleichung
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Mit Γ ( z ) := ∫ 0 + ∞ t z − 1 e − t d t , z ∈ C {\displaystyle \Gamma (z):=\int \limits _{0}^{+\infty }t^{z-1}e^{-t}\,dt,\quad z\in \mathbb {C} } mit Re z > 0 {\displaystyle \operatorname {Re} \,z>0}
bezeichnen wir die Gammafunktion.
Sei Ω ⊂ R n , n ≥ 2 {\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n},n\geq 2} eine offene Menge, so nennen wir die Funktion φ = φ ( x ) ∈ C 2 ( Ω , R ) {\displaystyle \varphi =\varphi (x)\in C^{2}(\Omega ,\mathbb {R} )} harmonisch in Ω {\displaystyle \Omega } , falls sie der Laplaceschen Differentialgleichung (1)
Δ φ ( x ) = φ x 1 x 1 ( x ) + … + φ x n x n ( x ) = 0 {\displaystyle \Delta \varphi (x)=\varphi _{x_{1}x_{1}}(x)+\ldots +\varphi _{x_{n}x_{n}}(x)=0} für alle x ∈ Ω {\displaystyle x\in \Omega }
genügt.
Ein Gebiet G ⊂ R n {\displaystyle G\subset \mathbb {R} ^{n}} , das den Voraussetzungen des Gaußschen Satzes aus Kapitel I, §5 genügt, nennen wir ein Normalgebiet im R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} .
Sei G ⊂ R n {\displaystyle G\subset \mathbb {R} ^{n}} ein Normalgebiet. Wir erklären die Funktion (2)
φ ( y ; x ) := 1 2 π log | y − x | + ψ ( y ; x ) , x , y ∈ G {\displaystyle \varphi (y;x):={\frac {1}{2\pi }}\log |y-x|+\psi (y;x),\quad x,y\in G} mit x ≠ y , n = 2 {\displaystyle x\neq y,\quad n=2}
bzw. (3)
φ ( y ; x ) := 1 ( 2 − n ) ω n | y − x | 2 − n + ψ ( y ; x ) , x , y ∈ G {\displaystyle \varphi (y;x):={\frac {1}{(2-n)\omega _{n}}}|y-x|^{2-n}+\psi (y;x),\quad x,y\in G} mit x ≠ y , n ≥ 3 {\displaystyle x\neq y,\quad n\geq 3} .
Hierbei ist für jedes feste x ∈ G {\displaystyle x\in G} die Funktion ψ ( ⋅ ; x ) {\displaystyle \psi (\cdot ;x)} mit y ↦ ψ ( y ; x ) {\displaystyle y\mapsto \psi (y;x)} harmonisch in G {\displaystyle G} sowie aus der Klasse C 1 ( G ¯ ) {\displaystyle C^{1}({\overline {G}})} und es ist ψ ∈ C 0 ( G ¯ × G ¯ ) {\displaystyle \psi \in C^{0}({\overline {G}}\times {\overline {G}})} . Dann nennen wir φ ( y ; x ) {\displaystyle \varphi (y;x)} eine Grundlösung der Laplacegleichung in G {\displaystyle G} .
Eine Funktion φ = φ ( x 1 , … , x n ) : Ω → R {\displaystyle \varphi =\varphi (x_{1},\ldots ,x_{n}):\Omega \to \mathbb {R} } auf der offenen Menge Ω ⊂ R n {\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}} nennen wir reell analytisch in Ω {\displaystyle \Omega } , wenn es für jeden Punkt x ∘ = ( x ∘ 1 , … , x ∘ n ) ∈ Ω {\displaystyle {\stackrel {\circ }{x}}=\left({\stackrel {\circ }{x}}_{1},\ldots ,{\stackrel {\circ }{x}}_{n}\right)\in \Omega } eine für hinreichend kleines ε = ε ( x ∘ ) > 0 {\displaystyle \varepsilon =\varepsilon \left({\stackrel {\circ }{x}}\right)>0} konvergente Potenzreihe P ( z 1 , … , z n ) = ∑ k 1 , … , k n = 0 ∞ a k 1 … k n z 1 k 1 ⋅ … ⋅ z n k n {\displaystyle {\mathcal {P}}(z_{1},\ldots ,z_{n})=\sum _{k_{1},\ldots ,k_{n}=0}^{\infty }a_{k_{1}\ldots k_{n}}z_{1}^{k_{1}}\cdot \ldots \cdot z_{n}^{k_{n}}} für z j ∈ C {\displaystyle z_{j}\in \mathbb {C} } mit | z j | ≤ ε , j = 1 , … , n {\displaystyle |z_{j}|\leq \varepsilon ,\quad j=1,\ldots ,n}
mit den reellen Koeffizienten a k 1 … k n ∈ R {\displaystyle a_{k_{1}\ldots k_{n}}\in \mathbb {R} } für k 1 , … , k n = 0 , 1 , 2 , … {\displaystyle k_{1},\ldots ,k_{n}=0,1,2,\ldots } so gibt, dass φ ( x 1 , … , x n ) = P ( x 1 − x ∘ 1 , … , x n − x ∘ n ) , | x j − x ∘ j | ≤ ε , j = 1 , … , n {\displaystyle \varphi (x_{1},\ldots ,x_{n})={\mathcal {P}}\left(x_{1}-{\stackrel {\circ }{x}}_{1},\ldots ,x_{n}-{\stackrel {\circ }{x}}_{n}\right),\quad \left|x_{j}-{\stackrel {\circ }{x}}_{j}\right|\leq \varepsilon ,\quad j=1,\ldots ,n}
erfüllt ist. Satz 1 (Analytizitätstheorem für die Poissongleichung)
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In der offenen Menge Ω ⊂ R n , n ≥ 2 {\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n},n\geq 2} sei die reell analytische Funktion f = f ( x 1 , … , x n ) : Ω → R {\displaystyle f=f(x_{1},\ldots ,x_{n}):\Omega \to \mathbb {R} } gegeben. Ferner sei u = u ( x 1 , … , x n ) ∈ C 2 ( Ω ) {\displaystyle u=u(x_{1},\ldots ,x_{n})\in C^{2}(\Omega )} eine Lösung der Poissonschen Differentialgleichung Δ u ( x 1 , … , x n ) = f ( x 1 , … , x n ) , ( x 1 , … , x n ) ∈ Ω . {\displaystyle \Delta u(x_{1},\ldots ,x_{n})=f(x_{1},\ldots ,x_{n}),\quad (x_{1},\ldots ,x_{n})\in \Omega .}
Dann ist u ( x ) {\displaystyle u(x)} reell analytisch in Ω {\displaystyle \Omega } .
Sei x ∘ ∈ Ω {\displaystyle {\stackrel {\circ }{x}}\in \Omega } und B R ( x ∘ ) ⊂⊂ Ω {\displaystyle B_{R}\left({\stackrel {\circ }{x}}\right)\subset \subset \Omega } , so stellen wir die Lösung u {\displaystyle u} durch die Grundlösung φ {\displaystyle \varphi } dar als
u ( x ) = ∫ ∂ B R ( x ∘ ) ( u ( y ) ∂ φ ∂ ν ( y ; x ) − φ ( y ; x ) ∂ u ∂ ν ( y ) ) d σ ( y ) + ∫ B R ( x ∘ ) φ ( y ; x ) f ( y ) d y {\displaystyle u(x)=\int \limits _{\partial B_{R}\left({\stackrel {\circ }{x}}\right)}\left(u(y){\frac {\partial \varphi }{\partial \nu }}(y;x)-\varphi (y;x){\frac {\partial u}{\partial \nu }}(y)\right)\,d\sigma (y)+\int \limits _{B_{R}\left({\stackrel {\circ }{x}}\right)}\varphi (y;x)f(y)\,dy}
mit x ∈ B R ( x ∘ ) {\displaystyle x\in B_{R}\left({\stackrel {\circ }{x}}\right)} . Nun stellt das erste Integral auf der rechten Seite eine um den Punkt x ∘ {\displaystyle {\stackrel {\circ }{x}}} reell analytische Funktion dar. Es wurde gezeigt, dass auch das zweite Integral eine um den Punkt x ∘ {\displaystyle {\stackrel {\circ }{x}}} reell analytische Funktion liefert.
q.e.d.
§2 Die Poissonsche Integralformel mit ihren Folgerungen
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In einem Normalgebiet G ⊂ R n {\displaystyle G\subset \mathbb {R} ^{n}} sei eine Grundlösung φ = φ ( y ; x ) {\displaystyle \varphi =\varphi (y;x)} gegeben. Diese nennen wir Greensche Funktion für das Gebiet G {\displaystyle G} , falls für alle x ∈ G {\displaystyle x\in G} die Randbedingung (1)
φ ( y ; x ) = 0 {\displaystyle \varphi (y;x)=0} für alle y ∈ ∂ G {\displaystyle y\in \partial G}
erfüllt ist. Satz 1 (Poissonsche Integralformel)
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In der Kugel B R := { y ∈ R n : | y | < R } {\displaystyle B_{R}:=\{y\in \mathbb {R} ^{n}:|y|<R\}} vom Radius R ∈ ( 0 , + ∞ ) {\displaystyle R\in (0,+\infty )} im R n , n ≥ 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{n},n\geq 2} löse die Funktion u = u ( x ) = u ( x 1 , … , x n ) ∈ C 2 ( B R ) ∩ C 0 ( B ¯ R ) {\displaystyle u=u(x)=u(x_{1},\ldots ,x_{n})\in C^{2}(B_{R})\cap C^{0}({\overline {B}}_{R})} die Poissonsche Differentialgleichung Δ u ( x ) = f ( x ) , x ∈ B R {\displaystyle \Delta u(x)=f(x),\quad x\in B_{R}}
mit der rechten Seite f = f ( x ) ∈ C 0 ( B ¯ R ) {\displaystyle f=f(x)\in C^{0}({\overline {B}}_{R})} . Dann gilt für alle x ∈ B R {\displaystyle x\in B_{R}} die Poissonsche Integraldarstellung(2)
u ( x ) = 1 R ω n ∫ | y | = R | y | 2 − | x | 2 | y − x | n u ( y ) d σ ( y ) + ∫ | y | ≤ R φ ( y ; x ) f ( y ) d y . {\displaystyle u(x)={\frac {1}{R\omega _{n}}}\int \limits _{|y|=R}{\frac {|y|^{2}-|x|^{2}}{|y-x|^{n}}}u(y)\,d\sigma (y)+\int \limits _{|y|\leq R}\varphi (y;x)f(y)\,dy.}
Dabei ist φ = φ ( y ; x ) {\displaystyle \varphi =\varphi (y;x)} die Greensche Funktion φ ( y ; x ) = 1 2 π log | R ( y − x ) R 2 − x ¯ y | . {\displaystyle \varphi (y;x)={\frac {1}{2\pi }}\log \left|{\frac {R(y-x)}{R^{2}-{\overline {x}}y}}\right|.}
1. Wir setzen zunächst u ∈ C 2 ( B ¯ R ) {\displaystyle u\in C^{2}({\overline {B}}_{R})} voraus. Dann gilt die Identität
u ( x ) = ∫ | y | = R u ( y ) ∂ φ ∂ ν ( y ; x ) d σ ( y ) + ∫ | y | ≤ R φ ( y ; x ) f ( y ) d y , x ∈ B R . {\displaystyle u(x)=\int \limits _{|y|=R}u(y){\frac {\partial \varphi }{\partial \nu }}(y;x)\,d\sigma (y)+\int \limits _{|y|\leq R}\varphi (y;x)f(y)\,dy,\quad x\in B_{R}.}
Wir beschränken uns zunächst auf den Fall n ≥ 3 {\displaystyle n\geq 3} . Dann haben wir als Greensche Funktion
φ ( y ; x ) = 1 ( 2 − n ) ω n ( | y − x | 2 − n − K | y − λ x | 2 − n ) , y ∈ B ¯ R , x ∈ B R {\displaystyle \varphi (y;x)={\frac {1}{(2-n)\omega _{n}}}{\Bigl (}|y-x|^{2-n}-K|y-\lambda x|^{2-n}{\Bigr )},\quad y\in {\overline {B}}_{R},\quad x\in B_{R}} mit
λ := ( R | x | ) 2 {\displaystyle \lambda :=\left({\frac {R}{|x|}}\right)^{2}} und
K = ( R | x | ) n − 2 = λ n − 2 2 {\displaystyle K=\left({\frac {R}{|x|}}\right)^{n-2}=\lambda ^{\frac {n-2}{2}}} .
Ist nun x ∈ B R {\displaystyle x\in B_{R}} fest und y ∈ ∂ B R {\displaystyle y\in \partial B_{R}} beliebig, so berechnen wir
∂ ∂ ν φ ( y ; x ) = y R ⋅ ∇ y φ ( y ; x ) = 1 R ω n y ⋅ ( | y − x | 1 − n y − x | y − x | − K | y − λ x | 1 − n y − λ x | y − λ x | ) {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \nu }}\varphi (y;x)={\frac {y}{R}}\cdot \nabla _{y}\varphi (y;x)={\frac {1}{R\omega _{n}}}y\cdot \left(|y-x|^{1-n}{\frac {y-x}{|y-x|}}-K|y-\lambda x|^{1-n}{\frac {y-\lambda x}{|y-\lambda x|}}\right)}
= 1 R ω n y ⋅ ( y − x | y − x | n − K y − λ x | y − λ x | n ) . {\displaystyle ={\frac {1}{R\omega _{n}}}y\cdot \left({\frac {y-x}{|y-x|^{n}}}-K{\frac {y-\lambda x}{|y-\lambda x|^{n}}}\right).}
Diese Formel bleibt auch für n = 2 {\displaystyle n=2} richtig, wobei dann K = 1 {\displaystyle K=1} erfüllt ist. Wir beachten noch
| y − λ x | 2 = R 2 − 2 λ ( x ⋅ y ) + λ 2 | x | 2 = R 2 − 2 R 2 | x | 2 ( x ⋅ y ) + R 4 | x | 2 {\displaystyle |y-\lambda x|^{2}=R^{2}-2\lambda (x\cdot y)+\lambda ^{2}|x|^{2}=R^{2}-2{\frac {R^{2}}{|x|^{2}}}(x\cdot y)+{\frac {R^{4}}{|x|^{2}}}}
= R 2 | x | 2 ( | x | 2 − 2 ( x ⋅ y ) + R 2 ) = λ | y − x | 2 {\displaystyle ={\frac {R^{2}}{|x|^{2}}}{\Bigl (}|x|^{2}-2(x\cdot y)+R^{2}{\Bigr )}=\lambda |y-x|^{2}}
bzw.
| y − λ x | n = λ n 2 | y − x | n . {\displaystyle |y-\lambda x|^{n}=\lambda ^{\frac {n}{2}}|y-x|^{n}.}
Es folgt schließlich
∂ ∂ ν φ ( y ; x ) = 1 R ω n | y − x | n y ⋅ ( x − y − K λ − n 2 ( y − λ x ) ) {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \nu }}\varphi (y;x)={\frac {1}{R\omega _{n}|y-x|^{n}}}y\cdot {\Bigl (}x-y-K\lambda ^{-{\frac {n}{2}}}(y-\lambda x){\Bigr )}}
= 1 R ω n | y − x | n y ⋅ ( ( 1 − K λ − n 2 ) y − ( 1 − K λ − n + 2 2 ) x ) {\displaystyle ={\frac {1}{R\omega _{n}|y-x|^{n}}}y\cdot {\Bigl (}(1-K\lambda ^{-{\frac {n}{2}}})y-(1-K\lambda ^{\frac {-n+2}{2}})x{\Bigr )}}
= | y | 2 R ω n | y − x | n ( 1 − 1 λ ) = | y | 2 R ω n | y − x | n ( 1 − | x | 2 R 2 ) {\displaystyle ={\frac {|y|^{2}}{R\omega _{n}|y-x|^{n}}}\left(1-{\frac {1}{\lambda }}\right)={\frac {|y|^{2}}{R\omega _{n}|y-x|^{n}}}\left(1-{\frac {|x|^{2}}{R^{2}}}\right)}
= | y | 2 − | x | 2 R ω n | y − x | n {\displaystyle ={\frac {|y|^{2}-|x|^{2}}{R\omega _{n}|y-x|^{n}}}} für alle
y ∈ ∂ B R {\displaystyle y\in \partial B_{R}} und
x ∈ B R {\displaystyle x\in B_{R}} .
Wir erhalten somit die Poissonsche Integraldarstellung
u ( x ) = 1 R ω n ∫ | y | = R | y | 2 − | x | 2 | y − x | n u ( y ) d σ ( y ) + ∫ | y | ≤ R φ ( y ; x ) f ( y ) d y , x ∈ B R . {\displaystyle u(x)={\frac {1}{R\omega _{n}}}\int \limits _{|y|=R}{\frac {|y|^{2}-|x|^{2}}{|y-x|^{n}}}u(y)\,d\sigma (y)+\int \limits _{|y|\leq R}\varphi (y;x)f(y)\,dy,\quad x\in B_{R}.}
2. Ist nun u ∈ C 2 ( B R ) ∩ C 0 ( B ¯ R ) {\displaystyle u\in C^{2}(B_{R})\cap C^{0}({\overline {B}}_{R})} , so gilt nach Teil 1 des Beweises für alle ϱ ∈ ( 0 , R ) {\displaystyle \varrho \in (0,R)} die Identität
u ( x ) = 1 ϱ ω n ∫ | y | = ϱ | y | 2 − | x | 2 | y − x | n u ( y ) d σ ( y ) + ∫ | y | ≤ ϱ φ ( y ; x , ϱ ) f ( y ) d y , {\displaystyle u(x)={\frac {1}{\varrho \omega _{n}}}\int \limits _{|y|=\varrho }{\frac {|y|^{2}-|x|^{2}}{|y-x|^{n}}}u(y)\,d\sigma (y)+\int \limits _{|y|\leq \varrho }\varphi (y;x,\varrho )f(y)\,dy,}
wobei φ ( y ; x , ϱ ) {\displaystyle \varphi (y;x,\varrho )} die Greensche Funktion für B ϱ {\displaystyle B_{\varrho }} bezeichnet. Für ϱ → R {\displaystyle \varrho \to R} erhalten wir dann
u ( x ) = 1 R ω n ∫ | y | = R | y | 2 − | x | 2 | y − x | n u ( y ) d σ ( y ) + ∫ | y | ≤ R φ ( y ; x , R ) f ( y ) d y {\displaystyle u(x)={\frac {1}{R\omega _{n}}}\int \limits _{|y|=R}{\frac {|y|^{2}-|x|^{2}}{|y-x|^{n}}}u(y)\,d\sigma (y)+\int \limits _{|y|\leq R}\varphi (y;x,R)f(y)\,dy}
für alle x ∈ B R {\displaystyle x\in B_{R}} .
q.e.d.
Satz 2 (Harnacksche Ungleichung)
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Die Funktion u ( x ) ∈ C 2 ( B R ) {\displaystyle u(x)\in C^{2}(B_{R})} sei in der Kugel B R = { y ∈ R n : | y | < R } {\displaystyle B_{R}=\{y\in \mathbb {R} ^{n}:|y|<R\}} mit R ∈ ( 0 , + ∞ ) {\displaystyle R\in (0,+\infty )} harmonisch und es gelte u ( x ) ≥ 0 {\displaystyle u(x)\geq 0} für alle x ∈ B R {\displaystyle x\in B_{R}} . Dann folgt (3)
1 − | x | R ( 1 + | x | R ) n − 1 u ( 0 ) ≤ u ( x ) ≤ 1 + | x | R ( 1 − | x | R ) n − 1 u ( 0 ) {\displaystyle {\frac {1-{\frac {|x|}{R}}}{\left(1+{\frac {|x|}{R}}\right)^{n-1}}}u(0)\leq u(x)\leq {\frac {1+{\frac {|x|}{R}}}{\left(1-{\frac {|x|}{R}}\right)^{n-1}}}u(0)} für alle x ∈ B R {\displaystyle x\in B_{R}} .
Wir nehmen zunächst u ∈ C 2 ( B ¯ R ) {\displaystyle u\in C^{2}({\overline {B}}_{R})} an und können dann durch Grenzübergang die Ungleichung auch für Funktionen u ∈ C 2 ( B R ) {\displaystyle u\in C^{2}(B_{R})} beweisen . Satz 1 entnehmen wir
u ( x ) = ∫ | y | = R P ( x , y , R ) u ( y ) d σ ( y ) , x ∈ B R . {\displaystyle u(x)=\int \limits _{|y|=R}P(x,y,R)u(y)\,d\sigma (y),\quad x\in B_{R}.}
Für beliebige y ∈ R n {\displaystyle y\in \mathbb {R} ^{n}} mit | y | = R {\displaystyle |y|=R} und x ∈ B R {\displaystyle x\in B_{R}} ist die folgende Ungleichung erfüllt:
| y | 2 − | x | 2 ( R + | x | ) n ≤ | y | 2 − | x | 2 | y − x | n ≤ | y | 2 − | x | 2 ( R − | x | ) n . {\displaystyle {\frac {|y|^{2}-|x|^{2}}{(R+|x|)^{n}}}\leq {\frac {|y|^{2}-|x|^{2}}{|y-x|^{n}}}\leq {\frac {|y|^{2}-|x|^{2}}{(R-|x|)^{n}}}.}
Multiplizieren wir diese Ungleichung mit 1 R ω n u ( y ) {\displaystyle {\frac {1}{R\omega _{n}}}u(y)} und integrieren anschließend über ∂ B R {\displaystyle \partial B_{R}} , so folgt
1 R ω n R 2 − | x | 2 ( R + | x | ) n ∫ | y | = R u ( y ) d σ ( y ) ≤ u ( x ) ≤ 1 R ω n R 2 − | x | 2 ( R − | x | ) n ∫ | y | = R u ( y ) d σ ( y ) . {\displaystyle {\frac {1}{R\omega _{n}}}{\frac {R^{2}-|x|^{2}}{(R+|x|)^{n}}}\int \limits _{|y|=R}u(y)\,d\sigma (y)\leq u(x)\leq {\frac {1}{R\omega _{n}}}{\frac {R^{2}-|x|^{2}}{(R-|x|)^{n}}}\int \limits _{|y|=R}u(y)\,d\sigma (y).}
Die Mittelwerteigenschaft harmonischer Funktionen ausnutzend erhalten wir nun
R n − 2 R 2 − | x | 2 ( R + | x | ) n u ( 0 ) ≤ u ( x ) ≤ R n − 2 R 2 − | x | 2 ( R − | x | ) n u ( 0 ) {\displaystyle R^{n-2}{\frac {R^{2}-|x|^{2}}{(R+|x|)^{n}}}u(0)\leq u(x)\leq R^{n-2}{\frac {R^{2}-|x|^{2}}{(R-|x|)^{n}}}u(0)}
bzw.
1 − | x | 2 R 2 ( 1 + | x | R ) n u ( 0 ) ≤ u ( x ) ≤ 1 − | x | 2 R 2 ( 1 − | x | R ) n u ( 0 ) , x ∈ B R {\displaystyle {\frac {1-{\frac {|x|^{2}}{R^{2}}}}{\left(1+{\frac {|x|}{R}}\right)^{n}}}u(0)\leq u(x)\leq {\frac {1-{\frac {|x|^{2}}{R^{2}}}}{\left(1-{\frac {|x|}{R}}\right)^{n}}}u(0),\quad x\in B_{R}}
Hieraus ergibt sich
1 − | x | R ( 1 + | x | R ) n − 1 u ( 0 ) ≤ u ( x ) ≤ 1 + | x | R ( 1 − | x | R ) n − 1 u ( 0 ) , x ∈ B R . {\displaystyle {\frac {1-{\frac {|x|}{R}}}{\left(1+{\frac {|x|}{R}}\right)^{n-1}}}u(0)\leq u(x)\leq {\frac {1+{\frac {|x|}{R}}}{\left(1-{\frac {|x|}{R}}\right)^{n-1}}}u(0),\quad x\in B_{R}.}
q.e.d.
Satz 3 (Liouvillescher Satz für harmonische Funktionen)
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Sei u ( x ) : R n → R {\displaystyle u(x):\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} } eine harmonische Funktion, welche u ( x ) ≤ M {\displaystyle u(x)\leq M} für alle x ∈ R n {\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}} mit einer Konstante M ∈ R {\displaystyle M\in \mathbb {R} } erfüllt. Dann folgt u ( x ) ≡ const , x ∈ R n {\displaystyle u(x)\equiv \operatorname {const} ,x\in \mathbb {R} ^{n}} .
Wir betrachten die harmonische Funktion v ( x ) := M − u ( x ) , x ∈ R n {\displaystyle v(x):=M-u(x),x\in \mathbb {R} ^{n}} und stellen v ( x ) ≥ 0 {\displaystyle v(x)\geq 0} für alle x ∈ R n {\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}} fest. Die Harnacksche Ungleichung liefert somit
1 − | x | R ( 1 + | x | R ) n − 1 v ( 0 ) ≤ v ( x ) ≤ 1 + | x | R ( 1 − | x | R ) n − 1 v ( 0 ) , x ∈ B R , R > 0. {\displaystyle {\frac {1-{\frac {|x|}{R}}}{\left(1+{\frac {|x|}{R}}\right)^{n-1}}}v(0)\leq v(x)\leq {\frac {1+{\frac {|x|}{R}}}{\left(1-{\frac {|x|}{R}}\right)^{n-1}}}v(0),\quad x\in B_{R},\quad R>0.}
Für R → + ∞ {\displaystyle R\to +\infty } erhalten wir v ( x ) = v ( 0 ) {\displaystyle v(x)=v(0)} für alle x ∈ R n {\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}} und damit u ( x ) ≡ const , x ∈ R n {\displaystyle u(x)\equiv \operatorname {const} ,x\in \mathbb {R} ^{n}} .
q.e.d.
Sei G ⊂ R n {\displaystyle G\subset \mathbb {R} ^{n}} ein Gebiet und u = u ( x ) = u ( x 1 , … , x n ) : G → R ∈ C 0 ( G ) {\displaystyle u=u(x)=u(x_{1},\ldots ,x_{n}):G\to \mathbb {R} \in C^{0}(G)} eine stetige Funktion. Wir nennen u {\displaystyle u} schwach harmonisch (superharmonisch, subharmonisch), falls u ( a ) = ( ≥ , ≤ ) 1 r n − 1 ω n ∫ | x − a | = r u ( x ) d σ ( x ) = 1 ω n ∫ | ξ | = 1 u ( a + r ξ ) d σ ( ξ ) {\displaystyle u(a)=(\ \geq ,\ \leq \ )\ {\frac {1}{r^{n-1}\omega _{n}}}\int \limits _{|x-a|=r}u(x)\,d\sigma (x)={\frac {1}{\omega _{n}}}\int \limits _{|\xi |=1}u(a+r\xi )\,d\sigma (\xi )}
für alle a ∈ G {\displaystyle a\in G} und r ∈ ( 0 , ϑ ( a ) ) {\displaystyle r\in (0,\vartheta (a))} mit einem gewissen ϑ ( a ) ∈ ( 0 , dist ( a , R n ∖ G ) ] {\displaystyle \vartheta (a)\in (0,\operatorname {dist} \,(a,\mathbb {R} ^{n}\setminus G)]} richtig ist. Satz 4 (Maximums- und Minimumsprinzip)
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Eine im Gebiet G ⊂ R n {\displaystyle G\subset \mathbb {R} ^{n}} superharmonische (subharmonische) Funktion u = u ( x ) : G → R {\displaystyle u=u(x):G\to \mathbb {R} } nehme in einem Punkt x ∘ ∈ G {\displaystyle {\stackrel {\circ }{x}}\in G} ihr globales Minimum (Maximum) an, d. h. es gilt u ( x ) ≥ u ( x ∘ ) ( u ( x ) ≤ u ( x ∘ ) ) {\displaystyle u(x)\geq u({\stackrel {\circ }{x}})\quad \left(u(x)\leq u({\stackrel {\circ }{x}})\right)} für alle x ∈ G {\displaystyle x\in G} .
Dann folgt u ( x ) ≡ const {\displaystyle u(x)\equiv \operatorname {const} } in G {\displaystyle G} .
Da durch u → − u {\displaystyle u\to -u} subharmonische Funktionen in superharmonische übergehen, ist die Aussage nur für superharmonische Funktionen zu zeigen. Nun nehme die superharmonische Funktion u : G → R ∈ C 0 ( G ) {\displaystyle u:G\to \mathbb {R} \in C^{0}(G)} ihr globales Minimum in einem Punkt x ∘ ∈ G {\displaystyle {\stackrel {\circ }{x}}\in G} an. Wir betrachten dann die nicht leere Menge
G ∗ := { x ∈ G : u ( x ) = inf y ∈ G u ( y ) = u ( x ∘ ) } , {\displaystyle G^{*}:=\left\{x\in G:u(x)=\inf _{y\in G}u(y)=u({\stackrel {\circ }{x}})\right\},}
welche in G {\displaystyle G} abgeschlossen ist. Wir zeigen nun, dass G ∗ {\displaystyle G^{*}} auch offen ist. Ist nämlich a ∈ G ∗ {\displaystyle a\in G^{*}} ein beliebiger Punkt, so haben wir
inf y ∈ G u ( y ) = u ( a ) ≥ 1 ω n ∫ | ξ | = 1 u ( a + r ξ ) d σ ( ξ ) {\displaystyle \inf _{y\in G}u(y)=u(a)\geq {\frac {1}{\omega _{n}}}\int \limits _{|\xi |=1}u(a+r\xi )\,d\sigma (\xi )} für alle
r ∈ ( 0 , ϑ ( a ) ) {\displaystyle r\in (0,\vartheta (a))} .
Somit folgt u ( x ) = u ( a ) {\displaystyle u(x)=u(a)} für alle x ∈ R n {\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}} mit | x − a | < ϑ ( a ) {\displaystyle |x-a|<\vartheta (a)} . Folglich ist G ∗ {\displaystyle G^{*}} offen. Da nun G {\displaystyle G} ein Gebiet ist, sieht man durch Fortsetzung leicht u ( x ) ≡ u ( x ∘ ) {\displaystyle u(x)\equiv u({\stackrel {\circ }{x}})} für alle x ∈ G {\displaystyle x\in G} ein, d. h. es gilt u ( x ) ≡ const , x ∈ G {\displaystyle u(x)\equiv \operatorname {const} ,x\in G} .
q.e.d.
§3 Das Dirichletproblem für die Laplacegleichung im R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
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Satz 1 (Eindeutigkeitssatz)
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Seien u ( x ) , v ( x ) {\displaystyle u(x),v(x)} zwei Lösungen des Dirichletproblems bei gegebenem G {\displaystyle G} und f {\displaystyle f} . Dann folgt u ( x ) ≡ v ( x ) {\displaystyle u(x)\equiv v(x)} in
G ¯ {\displaystyle {\overline {G}}} .
Die Funktion w ( x ) := v ( x ) − u ( x ) , x ∈ G ¯ {\displaystyle w(x):=v(x)-u(x),x\in {\overline {G}}} gehört zur Klasse C 2 ( G ) ∩ C 0 ( G ¯ ) {\displaystyle C^{2}(G)\cap C^{0}({\overline {G}})} , ist insbesondere schwach harmonisch in G {\displaystyle G} und hat die Randwerte
w ( x ) = u ( x ) − v ( x ) = f ( x ) − f ( x ) = 0 {\displaystyle w(x)=u(x)-v(x)=f(x)-f(x)=0} für alle
x ∈ ∂ G {\displaystyle x\in \partial G} .
Es folgt w ( x ) ≡ 0 {\displaystyle w(x)\equiv 0} in G ¯ {\displaystyle {\overline {G}}} bzw.
v ( x ) ≡ u ( x ) , x ∈ G ¯ . {\displaystyle v(x)\equiv u(x),\quad x\in {\overline {G}}.}
q.e.d.
Satz 2 (Regularitätssatz)
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In einem Gebiet G ⊂ R n {\displaystyle G\subset \mathbb {R} ^{n}} sei die schwach harmonische Funktion u = u ( x ) : G → R ∈ C 0 ( G ) {\displaystyle u=u(x):G\to \mathbb {R} \in C^{0}(G)} gegeben. Dann ist u {\displaystyle u} reell analytisch in G {\displaystyle G} und genügt der Laplacegleichung Δ u ( x ) = 0 {\displaystyle \Delta u(x)=0} für alle x ∈ G {\displaystyle x\in G} .
Sei a ∈ G {\displaystyle a\in G} beliebig gewählt, so betrachten wir zu geeignetem R ∈ ( 0 , + ∞ ) {\displaystyle R\in (0,+\infty )} die Kugel B R ( a ) ⊂⊂ G {\displaystyle B_{R}(a)\subset \subset G} . In dieser Kugel lösen wir das Dirichletproblem
(1)
v = v ( x ) ∈ C 2 ( B R ( a ) ) ∩ C 0 ( B R ( a ) ¯ ) , Δ v ( x ) = 0 f u ¨ r a l l e x ∈ B R , v ( x ) = u ( x ) f u ¨ r a l l e x ∈ ∂ B R . {\displaystyle {\begin{matrix}v=v(x)\in C^{2}(B_{R}(a))\cap C^{0}({\overline {B_{R}(a)}}),\\\Delta v(x)=0\quad \mathrm {f{\ddot {u}}r\ alle} \ x\in B_{R},\\v(x)=u(x)\quad \mathrm {f{\ddot {u}}r\ alle} \ x\in \partial B_{R}.\end{matrix}}}
Es gilt nun u ( x ) ≡ v ( x ) {\displaystyle u(x)\equiv v(x)} in B R ( a ) ¯ {\displaystyle {\overline {B_{R}(a)}}} . Somit gilt u ∈ C 2 ( G ) {\displaystyle u\in C^{2}(G)} und Δ u ( x ) = 0 {\displaystyle \Delta u(x)=0} für alle x ∈ G {\displaystyle x\in G} . Nach §1, Satz 1 ist ferner u {\displaystyle u} reell analytisch in G {\displaystyle G} .
Sei G ⊂ R n {\displaystyle G\subset \mathbb {R} ^{n}} ein beschränktes Gebiet und u = u ( x ) : G → R ∈ C 0 ( G ) {\displaystyle u=u(x):G\to \mathbb {R} \in C^{0}(G)} eine stetige Funktion. Dann erklären wir die harmonisch abgeänderte Funktion v ( x ) := [ u ] a , R ( x ) := { u ( x ) , x ∈ G m i t | x − a | ≥ R 1 R ω n ∫ | y − a | = R | y − a | 2 − | x − a | 2 | y − x | n u ( y ) d σ ( y ) , x ∈ G m i t | x − a | < R {\displaystyle v(x):=[u]_{a,R}(x):={\begin{cases}u(x),&x\in G\ mit\ |x-a|\geq R\\{\frac {1}{R\omega _{n}}}\int \limits _{|y-a|=R}{\frac {|y-a|^{2}-|x-a|^{2}}{|y-x|^{n}}}u(y)\,d\sigma (y),&x\in G\ mit\ |x-a|<R\end{cases}}}
für alle a ∈ G {\displaystyle a\in G} und R ∈ ( 0 , dist ( a , R n ∖ G ) ) {\displaystyle R\in (0,\operatorname {dist} \,(a,\mathbb {R} ^{n}\setminus G))} .
Sei G ⊂ R n {\displaystyle G\subset \mathbb {R} ^{n}} ein beschränktes Gebiet. Einen Randpunkt x ∈ ∂ G {\displaystyle x\in \partial G} nennen wir regulär, wenn es eine superharmonische Funktion Φ ( y ) = Φ ( y ; x ) : G → R {\displaystyle \Phi (y)=\Phi (y;x):G\to \mathbb {R} } mit lim y → x y ∈ G Φ ( y ) = 0 {\displaystyle \lim _{y\to x \atop y\in G}\Phi (y)=0}
und ϱ ( ε ) inf y ∈ G | y − x | ≥ ε Φ ( y ) > 0 {\displaystyle \varrho (\varepsilon )\inf _{y\in G \atop |y-x|\geq \varepsilon }\Phi (y)>0}
für alle ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} gibt. Ist jeder Randpunkt von G {\displaystyle G} regulär, so sprechen wir von einem Dirichletgebiet. Satz 3 (Existenzsatz)
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Sei G ⊂ R n {\displaystyle G\subset \mathbb {R} ^{n}} ein beschränktes Gebiet mit n ≥ 2 {\displaystyle n\geq 2} . Dann ist das Dirichletproblem (2)
u = u ( x ) ∈ C 2 ( G ) ∩ C 0 ( G ¯ ) , Δ u ( x ) = 0 i n G , u ( x ) = f ( x ) a u f ∂ G {\displaystyle {\begin{matrix}u=u(x)\in C^{2}(G)\cap C^{0}({\overline {G}}),\\\Delta u(x)=0\ in\ G,\\u(x)=f(x)\ auf\ \partial G\end{matrix}}}
für alle stetigen Randfunktionen f : ∂ G → R {\displaystyle f:\partial G\to \mathbb {R} } genau dann lösbar, wenn G {\displaystyle G} im Sinne von Definition 2 ein Dirichletgebiet ist.
„⇒ {\displaystyle \Rightarrow } “ Das Dirichletproblem sei für alle stetigen f : ∂ G → R {\displaystyle f:\partial G\to \mathbb {R} } lösbar. Ist nun ξ ∈ ∂ G {\displaystyle \xi \in \partial G} beliebig, so wählen wir f ( y ) := | y − ξ | , y ∈ ∂ G {\displaystyle f(y):=|y-\xi |,y\in \partial G} und lösen zu diesen Randwerten das Dirichletproblem (2). Für die harmonische Funktion u = u ( x ) : G ¯ → R {\displaystyle u=u(x):{\overline {G}}\to \mathbb {R} } folgt nach dem Minimumprinzip
u ( x ) > 0 {\displaystyle u(x)>0} für alle
x ∈ G ¯ ∖ { ξ } {\displaystyle x\in {\overline {G}}\setminus \{\xi \}} .
Somit ist ξ {\displaystyle \xi } ein regulärer Randpunkt.
„⇐ {\displaystyle \Leftarrow } “ Sei G {\displaystyle G} ein Dirichletgebiet und x ∈ ∂ G {\displaystyle x\in \partial G} ein beliebiger, regulärer Randpunkt. Dann gibt es eine zugehörige superharmonische Funktion Φ ( y ) = Φ ( y ; x ) : G → R {\displaystyle \Phi (y)=\Phi (y;x):G\to \mathbb {R} } gemäß Definition 2. Da f : ∂ G → R {\displaystyle f:\partial G\to \mathbb {R} } stetig ist, existiert zu vorgegebenem ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} ein δ = δ ( ε ) > 0 {\displaystyle \delta =\delta (\varepsilon )>0} mit | f ( y ) − f ( x ) | ≤ ε {\displaystyle |f(y)-f(x)|\leq \varepsilon } für alle y ∈ ∂ G {\displaystyle y\in \partial G} mit | y − x | ≤ δ {\displaystyle |y-x|\leq \delta } . Wir erklären nun
η ( ε ) := inf y ∈ ∂ G | y − x | ≥ δ ( ε ) Φ ( y ) > 0. {\displaystyle \eta (\varepsilon ):=\inf _{y\in \partial G \atop |y-x|\geq \delta (\varepsilon )}\Phi (y)>0.}
1. Die obere Barrierefunktion
v + ( y ) := f ( x ) + ε + ( M − m ) Φ ( y ) η ( ε ) , y ∈ G {\displaystyle v^{+}(y):=f(x)+\varepsilon +(M-m){\frac {\Phi (y)}{\eta (\varepsilon )}},\quad y\in G}
sei gegeben. Offenbar ist v + {\displaystyle v^{+}} superharmonisch in G {\displaystyle G} . Ferner gilt für eine beliebige Folge { y ( k ) } k = 1 , 2 , … ⊂ G {\displaystyle \{y^{(k)}\}_{k=1,2,\ldots }\subset G} mit y ( k ) → y + ∈ ∂ G {\displaystyle y^{(k)}\to y^{+}\in \partial G} für k → ∞ {\displaystyle k\to \infty }
lim inf k → ∞ v + ( y ( k ) ) ≥ f ( y + ) . {\displaystyle \liminf _{k\to \infty }v^{+}(y^{(k)})\geq f(y^{+}).}
Also ist v + ∈ M {\displaystyle v^{+}\in {\mathcal {M}}} erfüllt.
2. Nun betrachten wir die untere Barrierefunktion
v − ( y ) := f ( x ) − ε − ( M − m ) Φ ( y ) η ( ε ) , y ∈ G {\displaystyle v^{-}(y):=f(x)-\varepsilon -(M-m){\frac {\Phi (y)}{\eta (\varepsilon )}},\quad y\in G}
Sei v ∈ M {\displaystyle v\in {\mathcal {M}}} beliebig gewählt. Für eine Folge { y ( k ) } k = 1 , 2 , … ⊂ G {\displaystyle \{y^{(k)}\}_{k=1,2,\ldots }\subset G} mit y ( k ) → y − ∈ ∂ G {\displaystyle y^{(k)}\to y^{-}\in \partial G} für k → ∞ {\displaystyle k\to \infty } berechnen wir
lim inf k → ∞ ( v ( y ( k ) ) − v − ( y ( k ) ) ) ≥ lim inf k → ∞ ( v ( y ( k ) ) − f ( y − ) ) + lim inf k → ∞ ( f ( y − ) − v − ( y ( k ) ) ) ≥ 0. {\displaystyle \liminf _{k\to \infty }\left(v(y^{(k)})-v^{-}(y^{(k)})\right)\geq \liminf _{k\to \infty }\left(v(y^{(k)})-f(y^{-})\right)+\liminf _{k\to \infty }\left(f(y^{-})-v^{-}(y^{(k)})\right)\geq 0.}
Weiter ist v − v − {\displaystyle v-v^{-}} superharmonisch in G {\displaystyle G} und es gilt v − v − ≥ 0 {\displaystyle v-v^{-}\geq 0} in G {\displaystyle G} bzw.
v ( y ) ≥ v − ( y ) , y ∈ G {\displaystyle v(y)\geq v^{-}(y),\quad y\in G}
für alle v ∈ M {\displaystyle v\in {\mathcal {M}}} .
3. Für die harmonische Funktion
u ( y ) := inf y ∈ M v ( y ) , y ∈ G {\displaystyle u(y):=\inf _{y\in {\mathcal {M}}}v(y),\quad y\in G}
zeigen wir nun, dass u {\displaystyle u} stetig die Randwerte f {\displaystyle f} annimmt. Wegen 1. und 2. ist
v − ( y ) ≤ u ( y ) ≤ v + ( y ) {\displaystyle v^{-}(y)\leq u(y)\leq v^{+}(y)} für alle
y ∈ G {\displaystyle y\in G}
erfüllt, d. h. es gilt
f ( x ) − ε − ( M − m ) Φ ( y ) η ( ε ) ≤ u ( y ) ≤ f ( x ) + ε + ( M − m ) Φ ( y ) η ( ε ) , y ∈ G . {\displaystyle f(x)-\varepsilon -(M-m){\frac {\Phi (y)}{\eta (\varepsilon )}}\leq u(y)\leq f(x)+\varepsilon +(M-m){\frac {\Phi (y)}{\eta (\varepsilon )}},\quad y\in G.}
Beachten wir noch lim y ∈ G y → x Φ ( y ) = 0 {\displaystyle \lim _{y\in G \atop y\to x}\Phi (y)=0} , so erhalten wir
| f ( x ) − u ( y ) | ≤ ε + ( M − m ) Φ ( y ) η ( ε ) ≤ 2 ε {\displaystyle |f(x)-u(y)|\leq \varepsilon +(M-m){\frac {\Phi (y)}{\eta (\varepsilon )}}\leq 2\varepsilon }
für alle y ∈ G {\displaystyle y\in G} mit | y − x | ≤ δ ∗ ( ε ) {\displaystyle |y-x|\leq \delta ^{*}(\varepsilon )} . Somit folgt
lim y ∈ G y → x u ( y ) = f ( x ) . {\displaystyle \lim _{y\in G \atop y\to x}u(y)=f(x).}
Also löst u {\displaystyle u} das Dirichletproblem (2) für die Randwerte f {\displaystyle f} .
q.e.d.
Satz 4 (Poincarébedingung)
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Ein Randpunkt x ∈ ∂ G {\displaystyle x\in \partial G} ist regulär, wenn es eine Kugel B r ( a ) {\displaystyle B_{r}(a)} mit a ∈ R n {\displaystyle a\in \mathbb {R} ^{n}} und r ∈ ( 0 , + ∞ ) {\displaystyle r\in (0,+\infty )} gibt, so dass G ¯ ∩ B r ( a ) ¯ = { x } {\displaystyle {\overline {G}}\cap {\overline {B_{r}(a)}}=\{x\}} erfüllt ist. Insbesondere sind dann beschränkte Gebiete mit regulärem C 2 {\displaystyle C^{2}} -Rand Dirichletgebiete.
Indem man für n = 2 {\displaystyle n=2} die in G {\displaystyle G} harmonische Funktion
Φ ( y ) := log ( | y − a | r ) , y ∈ G {\displaystyle \Phi (y):=\log \left({\frac {|y-a|}{r}}\right),\quad y\in G}
und für n ≥ 3 {\displaystyle n\geq 3} die harmonische Funktion
Φ ( y ) := r 2 − n − | y − a | 2 − n , y ∈ G {\displaystyle \Phi (y):=r^{2-n}-|y-a|^{2-n},\quad y\in G}
betrachtet, folgt unmittelbar die Behauptung.
q.e.d.
§4 Die Theorie der Kugelfunktionen: Fourierreihen
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Satz 1 (Fourierreihen)
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Das System der Funktionen 1 2 π , 1 π cos k φ , 1 π sin k φ , φ ∈ [ 0 , 2 π ] , k = 1 , 2 , … {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}},\quad {\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\cos k\varphi ,\quad {\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\sin k\varphi ,\quad \varphi \in [0,2\pi ],\quad k=1,2,\ldots }
bildet ein vollständiges Orthonormalsystem, kurz v. o. n. S., im Prä-Hilbertraum H := C 0 ( S 1 , R ) {\displaystyle {\mathcal {H}}:=C^{0}(S^{1},\mathbb {R} )} ausgestattet mit dem in (1)
( u , v ) := ∫ 0 2 π u ( e i φ ) v ( e i φ ) d φ , u , v ∈ C 0 ( S 1 , R ) {\displaystyle (u,v):=\int \limits _{0}^{2\pi }u(e^{i\varphi })v(e^{i\varphi })\,d\varphi ,\quad u,v\in C^{0}(S^{1},\mathbb {R} )}
angegebenen inneren Produkt.
1. Man rechnet leicht nach, dass das angegebene Funktionensystem S {\displaystyle {\mathcal {S}}} orthonormiert ist, d. h. ‖ u ‖ = 1 {\displaystyle \|u\|=1} für alle u ∈ S {\displaystyle u\in {\mathcal {S}}} und ( u , v ) = 0 {\displaystyle (u,v)=0} für alle u , v ∈ S {\displaystyle u,v\in {\mathcal {S}}} mit u ≠ v {\displaystyle u\neq v} . Es bleibt zu zeigen, dass dieses Orthonormalsystem von Funktionen vollständig im Prä-Hilbertraum H {\displaystyle {\mathcal {H}}} ist. Es ist zu zeigen, dass für jedes u ∈ H {\displaystyle u\in {\mathcal {H}}} ihre zugehörige Fourierreihe diese Funktion bezüglich der Hilbertraumnorm ‖ ⋅ ‖ {\displaystyle \|\cdot \|} approximiert.
2. Sei also
u = u ( x ) ∈ H = C 0 ( S 1 , R ) {\displaystyle u=u(x)\in {\mathcal {H}}=C^{0}(S^{1},\mathbb {R} )}
beliebig gegeben. Wir setzen dann u {\displaystyle u} harmonisch in die Kreisscheibe
B = { x ∈ R 2 : | x | < 1 } {\displaystyle B=\{x\in \mathbb {R} ^{2}:|x|<1\}}
fort mittels
(2)
u ( z ) = 1 2 π ∫ 0 2 π 1 − r 2 | e i φ − z | 2 u ( e i φ ) d φ , | z | < 1 , {\displaystyle u(z)={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }{\frac {1-r^{2}}{|e^{i\varphi }-z|^{2}}}u(e^{i\varphi })\,d\varphi ,\quad |z|<1,}
wobei wir z = r e i ϑ {\displaystyle z=re^{i\vartheta }} gesetzt haben. Wir entwickeln nun den Poissonschen Kern wie folgt:
1 − r 2 | e i φ − z | 2 = 1 − r 2 | e i φ − r e i ϑ | 2 = 1 − r 2 | 1 − r e i ( ϑ − φ ) | 2 {\displaystyle {\frac {1-r^{2}}{|e^{i\varphi }-z|^{2}}}={\frac {1-r^{2}}{|e^{i\varphi }-re^{i\vartheta }|^{2}}}={\frac {1-r^{2}}{|1-re^{i(\vartheta -\varphi )}|^{2}}}}
= 1 − r 2 ( 1 − r e i ( ϑ − φ ) ) ( 1 − r e i ( φ − ϑ ) ) = − 1 + 1 1 − r e i ( φ − ϑ ) + 1 − r e − i ( φ − ϑ ) {\displaystyle ={\frac {1-r^{2}}{(1-re^{i(\vartheta -\varphi )})(1-re^{i(\varphi -\vartheta )})}}=-1+{\frac {1}{1-re^{i(\varphi -\vartheta )}}}+1-re^{-i(\varphi -\vartheta )}}
= − 1 + ∑ k = 0 ∞ r k e i k ( φ − ϑ ) + ∑ k = 0 ∞ r k e − i k ( φ − ϑ ) = 1 + 2 ∑ k = 1 ∞ r k cos k ( φ − ϑ ) . {\displaystyle =-1+\sum _{k=0}^{\infty }r^{k}e^{ik(\varphi -\vartheta )}+\sum _{k=0}^{\infty }r^{k}e^{-ik(\varphi -\vartheta )}=1+2\sum _{k=1}^{\infty }r^{k}\cos k(\varphi -\vartheta ).}
Die Reihe konvergiert hierbei lokal gleichmäßig für 0 ≤ r < 1 {\displaystyle 0\leq r<1} und φ , ϑ ∈ R {\displaystyle \varphi ,\vartheta \in \mathbb {R} } . Nun gilt
cos k ( φ − ϑ ) = cos k φ cos k ϑ + sin k φ sin k ϑ {\displaystyle \cos k(\varphi -\vartheta )=\cos k\varphi \cos k\vartheta +\sin k\varphi \sin k\vartheta }
und wir erhalten mit g ( φ ) := u ( e i φ ) , φ ∈ [ 0 , 2 π ) {\displaystyle g(\varphi ):=u(e^{i\varphi }),\varphi \in [0,2\pi )}
u ( r e i ϑ ) = 1 2 π ∫ 0 2 π { 1 + 2 ∑ k = 1 ∞ r k ( cos k φ cos k ϑ + sin k φ sin k ϑ ) } g ( φ ) d φ {\displaystyle u(re^{i\vartheta })={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }\left\{1+2\sum _{k=1}^{\infty }r^{k}{\Bigl (}\cos k\varphi \cos k\vartheta +\sin k\varphi \sin k\vartheta {\Bigr )}\right\}g(\varphi )\,d\varphi }
= 1 2 π ∫ 0 2 π g ( φ ) d φ + ∑ k = 1 ∞ { ( 1 π ∫ 0 2 π g ( φ ) cos k φ d φ ) r k cos k ϑ + ( 1 π ∫ 0 2 π g ( φ ) sin k φ d φ ) r k sin k ϑ } . {\displaystyle ={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }g(\varphi )\,d\varphi +\sum _{k=1}^{\infty }\left\{\left({\frac {1}{\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }g(\varphi )\cos k\varphi \,d\varphi \right)r^{k}\cos k\vartheta +\left({\frac {1}{\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }g(\varphi )\sin k\varphi \,d\varphi \right)r^{k}\sin k\vartheta \right\}.}
Wir setzen schließlich
(3)
a k := 1 π ∫ 0 2 π g ( φ ) cos k φ d φ , k = 0 , 1 , 2 , … {\displaystyle a_{k}:={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }g(\varphi )\cos k\varphi \,d\varphi ,\quad k=0,1,2,\ldots }
und
(4)
b k := 1 π ∫ 0 2 π g ( φ ) sin k φ d φ , k = 1 , 2 , … . {\displaystyle b_{k}:={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }g(\varphi )\sin k\varphi \,d\varphi ,\quad k=1,2,\ldots .}
Damit erhalten wir in
(5)
u ( r e i ϑ ) = 1 2 a 0 + ∑ k = 1 ∞ ( a k cos k ϑ + b k sin k ϑ ) r k , 0 ≤ r < 1 , 0 ≤ ϑ < 2 π {\displaystyle u(re^{i\vartheta })={\frac {1}{2}}a_{0}+\sum _{k=1}^{\infty }{\Bigl (}a_{k}\cos k\vartheta +b_{k}\sin k\vartheta {\Bigr )}r^{k},\quad 0\leq r<1,0\leq \vartheta <2\pi }
die Fourierentwicklung einer in | z | < 1 {\displaystyle |z|<1} harmonischen Funktion.
3. Da u ( z ) {\displaystyle u(z)} stetig in B ¯ {\displaystyle {\overline {B}}} ist, gibt es zu vorgegebenem ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} ein r ∈ ( 0 , 1 ) {\displaystyle r\in (0,1)} , so dass
(6)
| u ( r e i ϑ ) − g ( ϑ ) | ≤ ε {\displaystyle |u(re^{i\vartheta })-g(\vartheta )|\leq \varepsilon } für alle
ϑ ∈ [ 0 , 2 π ) {\displaystyle \vartheta \in [0,2\pi )}
richtig ist. Weiter können wir ein N = N ( ε ) ∈ N {\displaystyle N=N(\varepsilon )\in \mathbb {N} } so wählen, dass
(7)
| a 0 2 + ∑ k = 1 N r k ( a k cos k ϑ + b k sin k ϑ ) − g ( ϑ ) | ≤ ε {\displaystyle \left|{\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{k=1}^{N}r^{k}{\Bigl (}a_{k}\cos k\vartheta +b_{k}\sin k\vartheta {\Bigr )}-g(\vartheta )\right|\leq \varepsilon } für alle
ϑ ∈ [ 0 , 2 π ) {\displaystyle \vartheta \in [0,2\pi )}
erfüllt ist. Zu vorgegebenem ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} finden wir also reelle Koeffizienten A 0 , … , A N {\displaystyle A_{0},\ldots ,A_{N}} und B 1 , … , B N {\displaystyle B_{1},\ldots ,B_{N}} , so dass für das trigonometrische Polynom
F ε ( ϑ ) := A 0 + ∑ k = 1 ∞ ( A k sin k ϑ + B k cos k ϑ ) , 0 ≤ ϑ < 2 π {\displaystyle F_{\varepsilon }(\vartheta ):=A_{0}+\sum _{k=1}^{\infty }{\Bigl (}A_{k}\sin k\vartheta +B_{k}\cos k\vartheta {\Bigr )},\quad 0\leq \vartheta <2\pi }
die Ungleichung
(8)
| F ε ( ϑ ) − g ( ϑ ) | ≤ 2 ε {\displaystyle |F_{\varepsilon }(\vartheta )-g(\vartheta )|\leq 2\varepsilon } für alle
ϑ ∈ [ 0 , 2 π ) {\displaystyle \vartheta \in [0,2\pi )}
richtig ist. Wir erhalten damit
(9)
‖ F ε − g ‖ ≤ 2 2 π ε . {\displaystyle \|F_{\varepsilon }-g\|\leq 2{\sqrt {2\pi }}\varepsilon .}
Wegen der Minimaleigenschaft der Fourierkoeffizienten approximiert die zum angegebenen Funktionensystem zugehörige Fourierreihe die vorgegebene Funktion bezüglich der Hilbertraumnorm. Nun ist dieses Funktionensystem ein vollständiges Orthonormalsystem in H {\displaystyle {\mathcal {H}}} .
q.e.d.
§5 Die Theorie der Kugelfunktionen in n {\displaystyle n} Variablen
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Sei H k = H k ( x 1 , … , x n ) ∈ C 2 ( R n ) {\displaystyle H_{k}=H_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})\in C^{2}(\mathbb {R} ^{n})} eine harmonische Funktion auf der Menge R n := R n ∖ { 0 } {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}:=\mathbb {R} ^{n}\setminus \{0\}} , welche homogen vom Grade k {\displaystyle k} ist, d. h. H k ( t x 1 , … , t x n ) = t k H ( x 1 , … , x n ) {\displaystyle H_{k}(tx_{1},\ldots ,tx_{n})=t^{k}H(x_{1},\ldots ,x_{n})} für alle x ∈ R n , t ∈ ( 0 , + ∞ ) {\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n},\quad t\in (0,+\infty )} .
Dann heißt H k = H k ( ξ 1 , … , ξ n ) : S n − 1 → R {\displaystyle H_{k}=H_{k}(\xi _{1},\ldots ,\xi _{n}):S^{n-1}\to \mathbb {R} }
eine n {\displaystyle n} -dimensionale Kugelfunktion oder auch sphärisch harmonische Funktion vom Grade k {\displaystyle k} ; hierbei bezeichnet S n − 1 := { ξ = ( ξ 1 , … , ξ n ) ∈ R n : ξ 1 2 + … + ξ n 2 = 1 } {\displaystyle S^{n-1}:=\{\xi =(\xi _{1},\ldots ,\xi _{n})\in \mathbb {R} ^{n}:\xi _{1}^{2}+\ldots +\xi _{n}^{2}=1\}}
die ( n − 1 ) {\displaystyle (n-1)} -dimensionale Einheitssphäre im R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} .