Kurs:Bündel, Garben und Kohomologie (Osnabrück 2019-2020)/Definitionsabfrage

Definition:Reelles Vektorbündel

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum und ${}r\in \mathbb {N}$ . Ein reelles Vektorbündel ${}V$ vom Rang ${}r$ ist ein topologischer Raum zusammen mit einer stetigen Abbildung ${}p\colon V\rightarrow X$ derart, dass jede Faser ${}p^{-1}(x)$ ein ${}r$ - dimensionaler reeller Vektorraum ist und dass es eine offene Überdeckung ${}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ und Homöomorphismen

\varphi _{i}\colon p^{-1}{\left(U_{i}\right)}\longrightarrow U_{i}\times \mathbb {R} ^{r}

über ${}U_{i}$ gibt, die in jeder Faser einen linearen Isomorphismus

{\left(\varphi _{i}\right)}_{x}\colon p^{-1}(x)\longrightarrow \mathbb {R} ^{r}

induzieren.

Definition:Homomorphismus von reellen Vektorbündeln

Es seien ${}E$ und ${}F$ reelle Vektorbündel auf einem topologischen Raum ${}X$ . Ein Homomorphismus von Vektorbündeln ${}\varphi \colon E\rightarrow F$ ist eine stetige Abbildung über ${}X$ derart, dass für jeden Punkt ${}x\in X$ die induzierte Abbildung

\varphi _{x}\colon E_{x}\longrightarrow F_{x}

${}\mathbb {R}$ - linear ist.

Definition:Isomorphismus von reellen Vektorbündeln

Es seien ${}E$ und ${}F$ reelle Vektorbündel auf einem topologischen Raum ${}X$ . Ein Homomorphismus von Vektorbündeln ${}\varphi \colon E\rightarrow F$ heißt Isomorphismus, wenn es einen Homomophismus ${}\psi \colon F\rightarrow E$ gibt, der verknüpft mit ${}\varphi$ (in beiden Reihenfolgen) die Identität ergibt.

Definition:Tangentialbündel

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Dann nennt man die Menge

{}TM=\biguplus _{P\in M}T_{P}M\,,

versehen mit der Projektionsabbildung

\pi \colon TM\longrightarrow M,\,(P,v)\longmapsto P,

das Tangentialbündel von ${}M$ .

Definition:Tangentialabbildung

Es seien ${}M$ und ${}N$ differenzierbare Mannigfaltigkeiten und

\varphi \colon M\longrightarrow N

eine differenzierbare Abbildung. Es seien ${}TM$ und ${}TN$ die zugehörigen Tangentialbündel. Dann versteht man unter der Tangentialabbildung

T(\varphi )\colon TM\longrightarrow TN

die disjunkte Vereinigung der Tangentialabbildungen in den einzelnen Punkten, also

{}T(\varphi )=\biguplus _{P\in M}T_{P}(\varphi )\,.

Definition:Tangentialbündel (mit Topologie)

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit der Dimension ${}n$ und

{}TM=\biguplus _{P\in M}T_{P}M\,

das Tangentialbündel, versehen mit der Projektionsabbildung

\pi \colon TM\longrightarrow M,\,(P,v)\longmapsto P.

Das Tangentialbündel wird mit derjenigen Topologie versehen, bei der eine Teilmenge ${}W\subseteq TM$ genau dann offen ist, wenn für jede Karte

\alpha \colon U\longrightarrow V

die Menge ${}(T(\alpha )){\left(W\cap \pi ^{-1}(U)\right)}$ offen in ${}V\times \mathbb {R} ^{n}$ ist.

Definition:Stetiger Schnitt

Es seien ${}X$ und ${}Y$ topologische Räume und es sei

p\colon Y\longrightarrow X

eine stetige Abbildung. Unter einem stetigen Schnitt zu ${}p$ versteht man eine stetige Abbildung ${}s\colon X\rightarrow Y$ mit

{}p\circ s=\operatorname {Id} _{X}\,.

Definition:Vektorfeld (Mannigfaltigkeit)

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Eine Abbildung

F\colon M\longrightarrow TM

mit der Eigenschaft, dass ${}F(P)\in T_{P}M$ für jeden Punkt ${}P\in M$ ist, heißt (zeitunabhängiges) Vektorfeld.

Definition:Verklebungsdatum

Unter einem Verklebungsdatum für topologische Räume versteht man den folgenden Datensatz.

Eine Familie ${}U_{i}$ , ${}i\in I$ , von topologischen Räumen.
Für jedes Paar ${}(i,j)$ eine offene Teilmenge ${}U_{ij}\subseteq U_{i}$ (mit ${}U_{ii}=U_{i}$ ).
Für jedes Paar ${}(i,j)$ einen Homöomorphismus
$\varphi _{ji}\colon U_{ij}\longrightarrow U_{ji}$

(mit ${}\varphi _{ii}=\operatorname {Id} _{U_{i}}$ ).
Für Indizes ${}i,j,k\in I$ ist die Kozykelbedingung
${}\varphi _{kj}\circ \varphi _{ji}=\varphi _{ki}\,$

als Abbildung von ${}U_{ik}\cap U_{ij}$ nach ${}U_{k}$ erfüllt.

Definition:Verklebungsdatum (Vektorbündel)

Unter einem Verklebungsdatum für ein reelles Vektorbündel vom Rang ${}r$ über einem topologischen Raum ${}X$ versteht man den folgenden Datensatz.

Eine offene Überdeckung
${}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}\,$
Eine Familie ${}E_{i}\rightarrow U_{i}$ , ${}i\in I$ , von reellen Vektorbündeln vom Rang ${}r$ .
Für jedes Paar ${}(i,j)$ einen Isomorphismus von Vektorbündeln
$\varphi _{ji}\colon E_{i}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}\longrightarrow E_{j}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}$

über ${}U_{i}\cap U_{j}$ .
Für Indizes ${}i,j,k\in I$ ist die Kozykelbedingung
${}\varphi _{kj}\circ \varphi _{ji}=\varphi _{ki}\,$

als Abbildung von ${}E_{i}{|}_{U_{i}\cap U_{j}\cap U_{k}}$ nach ${}E_{k}{|}_{U_{i}\cap U_{j}\cap U_{k}}$ erfüllt.

Definition:Direkte Summe von Vektorbündeln

Zu reellen Vektorbündeln ${}E$ und ${}F$ auf einem topologischen Raum ${}X$ mit Trivialisierungen

\alpha _{i}\colon E{|}_{U_{i}}\longrightarrow U_{i}\times \mathbb {R} ^{m}

und

\beta _{i}\colon F{|}_{U_{i}}\longrightarrow U_{i}\times \mathbb {R} ^{n}

nennt man das Vektorbündel zum Verklebungsdatum

{}G_{i}=U_{i}\times \mathbb {R} ^{m}\times \mathbb {R} ^{n}\,

und

\varphi _{ij}\colon G_{i}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}\longrightarrow G_{j}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}

mit

{}\varphi _{ij}(x,v,w):=\left(x,\,\alpha _{j}(\alpha _{i}^{-1}(x,v)),\,\beta _{j}(\beta _{i}^{-1}(x,w))\right)\,

die direkte Summe der Vektorbündel ${}E$ und ${}F$ . Es wird mit ${}E\oplus F$ bezeichnet.

Definition:Tensorprodukt von Vektorbündeln

Zu reellen Vektorbündeln ${}E$ und ${}F$ auf einem topologischen Raum ${}X$ mit Trivialisierungen

\alpha _{i}\colon E{|}_{U_{i}}\longrightarrow U_{i}\times \mathbb {R} ^{m}

und

\beta _{i}\colon F{|}_{U_{i}}\longrightarrow U_{i}\times \mathbb {R} ^{n}

nennt man das Vektorbündel zum Verklebungsdatum

{}G_{i}=U_{i}\times {\left(\mathbb {R} ^{m}\otimes \mathbb {R} ^{n}\right)}\,

und

\varphi _{ij}\colon G_{i}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}\longrightarrow G_{j}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}

mit

{}\varphi _{ij}:={\left(\alpha _{j}\circ \alpha _{i}^{-1}\right)}\otimes {\left(\beta _{j}\circ \beta _{i}^{-1}\right)}\,

(dabei wird für jeden Basispunkt das Tensorprodukt der linearen Abbildungen genommen) das Tensorprodukt der Vektorbündel ${}E$ und ${}F$ . Es wird mit ${}E\otimes F$ bezeichnet.

Definition:Äußeres Produkt eines Vektorbündels

Zu einem reellen Vektorbündel ${}E$ vom Rang ${}m$ auf einem topologischen Raum ${}X$ mit Trivialisierungen

\alpha _{i}\colon E{|}_{U_{i}}\longrightarrow U_{i}\times \mathbb {R} ^{m}

und ${}r\in \mathbb {N}$ nennt man das Vektorbündel zum Verklebungsdatum

{}G_{i}=U_{i}\times {\left(\bigwedge ^{r}\mathbb {R} ^{m}\right)}\,

und

\varphi _{ij}\colon G_{i}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}\longrightarrow G_{j}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}

mit

{}\varphi _{ij}:=\bigwedge ^{r}{\left(\alpha _{j}\circ \alpha _{i}^{-1}\right)}\,

(dabei wird für jeden Basispunkt das ${}r$ -te äußere Produkt der linearen Abbildungen genommen) das ${}r$ -te äußere Produkt des Vektorbündels ${}E$ . Es wird mit ${}\bigwedge ^{r}E$ bezeichnet.

Definition:Determinantenbündel

Zu einem reellen Vektorbündel ${}E$ vom Rang ${}m$ auf einem topologischen Raum ${}X$ nennt man das ${}m$ -te äußere Produkt ${}\bigwedge ^{m}E$ das Determinantenbündel von ${}E$ . Es wird mit ${}\det E$ bezeichnet.

Definition:Homomorphismenbündel von Vektorbündeln

Zu reellen Vektorbündeln ${}E$ und ${}F$ auf einem topologischen Raum ${}X$ mit Trivialisierungen

\alpha _{i}\colon E{|}_{U_{i}}\longrightarrow U_{i}\times \mathbb {R} ^{m}

und

\beta _{i}\colon F{|}_{U_{i}}\longrightarrow U_{i}\times \mathbb {R} ^{n}

nennt man das Vektorbündel zum Verklebungsdatum

{}G_{i}=U_{i}\times \operatorname {Hom} _{\mathbb {R} }{\left(\mathbb {R} ^{m},\mathbb {R} ^{n}\right)}\,

und

\varphi _{ij}\colon G_{i}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}\longrightarrow G_{j}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}

mit

{}\varphi _{ij}(\theta ):={\left(\beta _{j}\circ \beta _{i}^{-1}\right)}\circ \theta \circ {\left(\alpha _{i}\circ \alpha _{j}^{-1}\right)}\,

die Homomorphismenbündel der Vektorbündel ${}E$ und ${}F$ . Es wird mit ${}\operatorname {Hom} {\left(E,F\right)}$ bezeichnet.

Definition:Duales Vektorbündel

Zu einem reellen Vektorbündel ${}E$ auf einem topologischen Raum ${}X$ nennt man das Homomorphismenbündel ${}\operatorname {Hom} {\left(E,X\times \mathbb {R} \right)}$ das duale Bündel von ${}E$ . Es wird mit ${}E^{*}$ bezeichnet.

Definition:Prägarbe

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum. Unter einer Prägarbe ${}{\mathcal {F}}$ auf ${}X$ versteht man eine Zuordnung, die jeder offenen Menge ${}U\subseteq X$ eine Menge ${}{\mathcal {F}}{\left(U\right)}$ und zu je zwei offenen Mengen ${}U\subseteq V$ eine Abbildung

\rho _{V,U}\colon {\mathcal {F}}{\left(V\right)}\longrightarrow {\mathcal {F}}{\left(U\right)}

zuordnet, wobei diese Zuordnung die beiden folgenden Bedingungen erfüllen muss.

Zu ${}U=V$ ist
${}\rho _{U,U}=\operatorname {Id} _{{\mathcal {F}}{\left(U\right)}}\,.$
Zu offenen Mengen
${}U\subseteq V\subseteq W\,$

ist stets

${}\rho _{W,U}=\rho _{V,U}\circ \rho _{W,V}\,.$

Definition:Unterprägarbe

Zu einer Prägarbe ${}{\mathcal {F}}$ auf einem topologischen Raum ${}X$ heißt eine Prägarbe ${}{\mathcal {G}}$ eine Unterprägarbe von ${}{\mathcal {F}}$ , wenn ${}{\mathcal {G}}{\left(U\right)}\subseteq {\mathcal {F}}{\left(U\right)}$ für jede offene Teilmenge ${}U\subseteq X$ ist.

Definition:Prägarbe von Gruppen

Eine Prägarbe ${}{\mathcal {F}}$ auf einem topologischen Raum ${}X$ heißt Prägarbe von Gruppen, wenn zu jeder offenen Menge ${}U\subseteq X$ die Menge ${}{\mathcal {F}}{\left(U\right)}$ eine Gruppe und zu jeder Inklusion ${}U\subseteq V$ die Restriktionsabbildung

\rho _{V,U}\colon {\mathcal {F}}{\left(V\right)}\longrightarrow {\mathcal {F}}{\left(U\right)}

ein Gruppenhomomorphismus ist.

Definition:Prägarbe von kommutativen Ringen

Eine Prägarbe ${}{\mathcal {F}}$ auf einem topologischen Raum ${}X$ heißt Prägarbe von kommutativen Ringen, wenn zu jeder offenen Menge ${}U\subseteq X$ die Menge ${}{\mathcal {F}}{\left(U\right)}$ ein kommutativer Ring und zu jeder Inklusion ${}U\subseteq V$ die Restriktionsabbildung

\rho _{V,U}\colon {\mathcal {F}}{\left(V\right)}\longrightarrow {\mathcal {F}}{\left(U\right)}

ein Ringhomomorphismus ist.

Definition:Topologische Gruppe

Eine topologische Gruppe ist eine Gruppe ${}G$ , die zugleich ein topologischer Raum ist derart, dass die Verknüpfung

G\times G\longrightarrow G,\,(g,h)\longmapsto g\circ h,

und die Inversenbildung

G\longrightarrow G,\,g\longmapsto g^{-1},

stetige Abbildungen sind.

Definition:Topologischer Filter

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum. Ein System ${}F$ aus offenen Teilmengen von ${}X$ heißt Filter, wenn folgende Eigenschaften gelten ( $U,V$ seien offen).

${}X\in F$ .
Mit ${}U\in F$ und ${}U\subseteq V$ ist auch ${}V\in F$ .
Mit ${}U\in F$ und ${}V\in F$ ist auch ${}U\cap V\in F$ .

Definition:Gerichtete Menge

Eine geordnete Menge ${}(I,\preccurlyeq )$ heißt gerichtet geordnet oder gerichtet, wenn es zu jedem ${}i,j\in I$ ein ${}k\in I$ gibt mit ${}i,j\preccurlyeq k$ .

Definition:Gerichtetes System

Es sei ${}(I,\preccurlyeq )$ eine geordnete Indexmenge. Eine Familie

M_{i},\,i\in I,

von Mengen nennt man ein geordnetes System von Mengen, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind.

Zu ${}i\preccurlyeq j$ gibt es eine Abbildung ${}\varphi _{ij}\colon M_{i}\rightarrow M_{j}$ .
Zu ${}i\preccurlyeq j$ und ${}j\preccurlyeq k$ ist ${}\varphi _{ik}=\varphi _{jk}\circ \varphi _{ij}$ .

Ist die Indexmenge zusätzlich gerichtet, so spricht man von einem gerichteten System von Mengen.

Definition:Kolimes

Es sei ${}M_{i}$ , ${}i\in I$ , ein gerichtetes System von Mengen. Dann nennt man

{}\operatorname {colim} \,_{i\in I}M_{i}=\biguplus _{i\in I}M_{i}/\sim \,

den Kolimes (oder induktiven Limes) des Systems. Dabei bezeichnet ${}\sim$ die Äquivalenzrelation, bei der zwei Elemente ${}m\in M_{i}$ und ${}n\in M_{j}$ als äquivalent erklärt werden, wenn es ein ${}k\in I$ mit ${}i,j\preccurlyeq k$ und mit

{}\varphi _{ik}(m)=\varphi _{jk}(n)\,

gibt.

Definition:Halm einer Prägarbe

Zu einer Prägarbe ${}{\mathcal {F}}$ auf einem topologischen Raum ${}X$ und einem Punkt ${}P\in X$ nennt man

{}{\mathcal {F}}_{P}:=\operatorname {colim} \,_{P\in U}\Gamma {\left(U,{\mathcal {F}}\right)}\,

den Halm der Prägarbe im Punkt ${}P$ .

Definition:Halm einer Prägarbe in einem Filter

Zu einer Prägarbe ${}{\mathcal {G}}$ auf einem topologischen Raum ${}X$ und einem topologischen Filter ${}F$ nennt man

{}{\mathcal {G}}_{F}:=\operatorname {colim} \,_{U\in F}\Gamma {\left(U,{\mathcal {G}}\right)}\,

den Halm der Prägarbe im Filter ${}F$ .

Definition:Prägarben-Morphismus

Es seien ${}{\mathcal {F}}$ und ${}{\mathcal {G}}$ Prägarben auf einem topologischen Raum ${}X$ . Ein Morphismus von Prägarben

\varphi \colon {\mathcal {F}}\longrightarrow {\mathcal {G}}

ist eine Familie von Abbildungen

\varphi _{U}\colon {\mathcal {F}}(U)\longrightarrow {\mathcal {G}}(U)

für jede offene Menge ${}U\subseteq X$ derart, dass zu jeder offenen Inklusion ${}U\subseteq V$ das Diagramm

{\begin{matrix}{\mathcal {F}}(U)&{\stackrel {\varphi _{U}}{\longrightarrow }}&{\mathcal {G}}(U)&\\\!\!\!\!\!\rho _{U,V}\downarrow &&\downarrow \rho _{U,V}\!\!\!\!\!&\\{\mathcal {F}}(V)&{\stackrel {\varphi _{V}}{\longrightarrow }}&{\mathcal {G}}(V)&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}

kommutiert.

Definition:Isomorphismus (Prägarbe)

Ein Morphismus von Prägarben ${}\varphi \colon {\mathcal {F}}\rightarrow {\mathcal {G}}$ auf ${}X$ heißt Isomorphismus, wenn für jede offene Teilmenge ${}U\subseteq X$ eine Bijektion ${}{\mathcal {F}}{\left(U\right)}\rightarrow {\mathcal {G}}{\left(U\right)}$ vorliegt.

Definition:Garbe

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum. Unter einer Garbe ${}{\mathcal {F}}$ auf ${}X$ versteht man eine Prägarbe ${}{\mathcal {F}}$ auf ${}X$ , die die folgenden Eigenschaften erfüllt.

Zu jeder offenen Überdeckung ${}U=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ und Elementen ${}s,t\in {\mathcal {F}}{\left(U\right)}$ mit ${}\rho _{U,U_{i}}(s)=\rho _{U,U_{i}}(t)$ für alle ${}i\in I$ gilt ${}s=t$ .
Zu jeder offenen Überdeckung ${}U=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ und Elementen ${}s_{i}\in {\mathcal {F}}{\left(U_{i}\right)}$ mit ${}\rho _{U_{i},U_{i}\cap U_{j}}{\left(s_{i}\right)}=\rho _{U_{j},U_{i}\cap U_{j}}{\left(s_{j}\right)}$ für alle ${}i,j\in I$ gibt es ein ${}s\in {\mathcal {F}}{\left(U\right)}$ mit ${}s_{i}=\rho _{U,U_{i}}(s)$ für alle ${}i\in I$ .

Definition:Surjektiver Garbenmorphismus

Ein Garbenmorphismus ${}\varphi \colon {\mathcal {F}}\rightarrow {\mathcal {G}}$ zwischen Garben auf einem topologischer Raum ${}X$ heißt surjektiv, wenn für jeden Punkt ${}P\in X$ die Halmabbildung

\varphi _{P}\colon {\mathcal {F}}_{P}\longrightarrow {\mathcal {G}}_{P}

surjektiv ist.

Definition:Vergarbung

Zu einer Prägarbe ${}{\mathcal {F}}$ auf einem topologischen Raum ${}X$ nennt man die durch

{\widetilde {\mathcal {F}}}(U):={\left\{{\left(s_{P}\right)}_{P\in U}\in \prod _{P\in U}{\mathcal {F}}_{P}\mid {\text{ für alle }}P\in U{\text{ gibt es }}P\in V\subseteq U{\text{ und }}t\in {\mathcal {F}}{\left(V\right)}{\text{ mit }}s_{Q}=t_{Q}{\text{ in }}{\mathcal {F}}_{Q}{\text{ für alle }}Q\in V\right\}}\,

und die natürlichen Restriktionsabbildungen gegebene Prägarbe die Vergarbung von ${}{\mathcal {F}}$ .

Definition:Homomorphismus von Garben von kommutativen Gruppen

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum und seien ${}{\mathcal {F}}$ und ${}{\mathcal {G}}$ Garben von kommutativen Gruppen auf ${}X$ . Ein Garbenmorphismus ${}\varphi \colon {\mathcal {F}}\rightarrow {\mathcal {G}}$ heißt Homomorphismus von Garben kommutativer Gruppen, wenn für jede offene Teilmenge ${}U\subseteq X$ die Abbildung

\varphi _{U}\colon {\mathcal {F}}{\left(U\right)}\longrightarrow {\mathcal {G}}{\left(U\right)}

ein Gruppenhomomorphismus ist.

Definition:Kerngarbe

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum und es sei ${}\varphi \colon {\mathcal {F}}\rightarrow {\mathcal {G}}$ ein Homomorphismus von Garben von kommutativen Gruppen. Dann nennt man die durch

{}{\left(\operatorname {kern} \varphi \right)}(U):=\operatorname {kern} \varphi _{U}\,

definierte Untergarbe von ${}{\mathcal {F}}$ die Kerngarbe zu ${}\varphi$ .

Definition:Bildgarbe

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum und es sei ${}\varphi \colon {\mathcal {F}}\rightarrow {\mathcal {G}}$ ein Homomorphismus von Garben von kommutativen Gruppen. Dann nennt man die Vergarbung der durch

{}{\left(\operatorname {bild} \varphi \right)}(U):=\operatorname {bild} \varphi _{U}\,

gegebenen Prägarbe die Bildgarbe zu ${}\varphi$ .

Definition:Quotientengarbe

Zu einer Garbe ${}{\mathcal {G}}$ von kommutativen Gruppen und einer Untergarbe von Gruppen ${}{\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {G}}$ nennt man die Vergarbung der Prägarbe ${}U\mapsto {\mathcal {G}}{\left(U\right)}/{\mathcal {F}}{\left(U\right)}$ die Quotientengarbe zu ${}{\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {G}}$

Definition:Garbenkomplex

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum, es seien ${}{\mathcal {F}}_{n}$ Garben von kommutativen Gruppen auf ${}X$ und es seien ${}\varphi _{n}\colon {\mathcal {F}}_{n-1}\rightarrow {\mathcal {F}}_{n}$ Homomorphismen. Man sagt, dass ein Garbenkomplex vorliegt, wenn

{}\operatorname {bild} \varphi _{n}\subseteq \operatorname {kern} \varphi _{n+1}\,

gilt.

Definition:Exaktheit (Garben)

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum und es sei ${}{\mathcal {F}}_{\bullet }$ ein Komplex von Garben von kommutativen Gruppen auf ${}X$ . Man sagt, dass der Komplex exakt ist, wenn

{}\operatorname {bild} \varphi _{n}=\operatorname {kern} \varphi _{n+1}\,

für alle ${}n\in \mathbb {Z}$ gilt.

Definition:Kurze exakte Garbensequenz

Ein exakter Komplex

0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {F}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {G}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {H}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0

von Garben von kommutativen Gruppen auf einem topologischen Raum ${}X$ heißt kurze exakte Sequenz.

Definition:Vorgeschobene Prägarbe

Zu einer stetigen Abbildung

\varphi \colon X\longrightarrow Y

und einer Prägarbe ${}{\mathcal {F}}$ auf ${}X$ nennt man die durch

{}{\left(\varphi _{*}\right)}{\mathcal {F}}(U):={\mathcal {F}}{\left(\varphi ^{-1}(U)\right)}\,

gegebene Prägarbe auf ${}Y$ die unter ${}\varphi$ vorgeschobene Prägarbe.

Definition:Zurückgezogene Prägarbe

Zu einer stetigen Abbildung

\varphi \colon X\longrightarrow Y

und einer Prägarbe ${}{\mathcal {G}}$ auf ${}Y$ nennt man auf einer offenen Menge ${}U\subseteq X$ durch

\operatorname {colim} _{{\mathcal {G}}{\left(V\right)}}\,V\subseteq Y,\,U\subseteq \varphi ^{-1}(V)

gegebene Prägarbe auf ${}X$ die unter ${}\varphi$ zurückgezogene Prägarbe.

Definition:Zurückgezogene Garbe

Zu einer stetigen Abbildung ${}\varphi \colon X\rightarrow Y$ und einer Garbe ${}{\mathcal {G}}$ auf ${}Y$ nennt man die Vergarbung der zurückgezogenen Prägarbe die zurückgezogene Garbe.

Definition:Beringter Raum

Ein topologischer Raum, der mit einer Garbe von kommutativen Ringen versehen ist, heißt beringter Raum.

Definition:Halm

Zu einem Punkt ${}P\in X$ in einem beringten Raum ${}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ nennt man den Halm der Strukturgarbe den Halm im Punkt ${}P$ .

Definition:Morphismus beringter Räume

Es seien ${}{\left(X,{\mathcal {O}}_{X}\right)}$ und ${}{\left(Y,{\mathcal {O}}_{Y}\right)}$ beringte Räume. Ein Morphismus beringter Räume ist eine stetige Abbildung ${}\varphi \colon X\rightarrow Y$ zusammen mit einer Familie von Ringhomomorphismen

\varphi _{V}^{*}\colon \Gamma (V,{\mathcal {O}}_{Y})\longrightarrow \Gamma (\varphi ^{-1}(V),{\mathcal {O}}_{X})

zu jeder offenen Menge ${}V\subseteq Y$ , die mit den Restriktionsabbildungen verträglich sind.

Definition:Isomorphismus beringter Räume

Ein Morphismus beringter Räume ${}\varphi \colon (X,{\mathcal {O}}_{X})\rightarrow (Y,{\mathcal {O}}_{Y})$ heißt Isomorphismus, wenn es einen Morphismus ${}\psi \colon (Y,{\mathcal {O}}_{Y})\rightarrow (X,{\mathcal {O}}_{X})$ beringter Räume mit ${}\psi \circ \varphi =\operatorname {Id} _{X}$ und ${}\varphi \circ \psi =\operatorname {Id} _{Y}$ (als Identität von beringten Räumen) gibt.

Definition:Verklebungsdatum

Unter einem Verklebungsdatum für beringte Räume versteht man den folgenden Datensatz.

Eine Familie ${}(U_{i},{\mathcal {O}}_{U_{i}})$ , ${}i\in I$ , von beringten Räumen.
Für jedes Paar ${}(i,j)$ eine offene Teilmenge ${}U_{ij}\subseteq U_{i}$ (mit ${}U_{ii}=U_{i}$ ).
Für jedes Paar ${}(i,j)$ einen Isomorphismus
$\varphi _{ji}\colon {\left(U_{ij},{\mathcal {O}}_{U_{ij}}\right)}\longrightarrow {\left(U_{ji},{\mathcal {O}}_{U_{ji}}\right)}$

von beringten Räumen (mit ${}\varphi _{ii}=\operatorname {Id} _{(U_{i},{\mathcal {O}}_{U_{i}})}$ .)
Für Indizes ${}i,j,k\in I$ ist die Kozykelbedingung
${}\varphi _{kj}\circ \varphi _{ji}=\varphi _{ki}\,$

als Homomorphismus von ${}U_{ik}\cap U_{ij}$ nach ${}U_{k}$ erfüllt.

Definition:Lokal beringter Raum

Ein beringter Raum ${}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ heißt lokal beringt, wenn für jeden Punkt ${}P\in X$ der Halm ${}{\mathcal {O}}_{P}$ ein lokaler Ring ist.

Definition:Restekörper

Zu einem lokal beringten Raum ${}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ und einem Punkt ${}P\in X$ nennt man den Restekörper des lokalen Ringes ${}{\mathcal {O}}_{P}$ den Restekörper von ${}P$ . Er wird mit ${}\kappa (P)$ bezeichnet.

Definition:Auswertung

Zu einem lokal beringten Raum ${}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ , einem Punkt ${}x\in X$ und einer globalen Funktion ${}f\in \Gamma (X,{\mathcal {O}})$ nennt man den Wert von ${}f$ im Restekörper ${}\kappa (x)$ von ${}x$ die Auswertung von ${}f$ in ${}x$ . Sie wird mit ${}f(x)$ bezeichnet.

Definition:Verklebungsdatum

Unter einem Verklebungsdatum für beringte Räume versteht man den folgenden Datensatz.

Eine Familie ${}(U_{i},{\mathcal {O}}_{U_{i}})$ , ${}i\in I$ , von beringten Räumen.
Für jedes Paar ${}(i,j)$ eine offene Teilmenge ${}U_{ij}\subseteq U_{i}$ (mit ${}U_{ii}=U_{i}$ ).
Für jedes Paar ${}(i,j)$ einen Isomorphismus
$\varphi _{ji}\colon {\left(U_{ij},{\mathcal {O}}_{U_{ij}}\right)}\longrightarrow {\left(U_{ji},{\mathcal {O}}_{U_{ji}}\right)}$

von beringten Räumen (mit ${}\varphi _{ii}=\operatorname {Id} _{(U_{i},{\mathcal {O}}_{U_{i}})}$ .)
Für Indizes ${}i,j,k\in I$ ist die Kozykelbedingung
${}\varphi _{kj}\circ \varphi _{ji}=\varphi _{ki}\,$

als Homomorphismus von ${}U_{ik}\cap U_{ij}$ nach ${}U_{k}$ erfüllt.

Definition:Morphismus lokal beringter Räume

Es seien ${}{\left(X,{\mathcal {O}}_{X}\right)}$ und ${}{\left(Y,{\mathcal {O}}_{Y}\right)}$ lokal beringte Räume. Ein Morphismus lokal beringter Räume von ${}X$ nach ${}Y$ ist ein Morphismus ${}\varphi \colon X\rightarrow Y$ der beringten Räume, für den die induzierten Ringhomomorphismen

\varphi _{P}^{*}\colon {\mathcal {O}}_{Y,\varphi (P)}\longrightarrow {\mathcal {O}}_{X,P}

für jeden Punkt ${}P\in X$ lokale Homomorphismen sind.

Definition:Invertierbarkeitsort

Zu einem lokal beringten Raum ${}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ und einer globalen Funktion ${}f\in \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})$ nennt man

{}X_{f}:={\left\{P\in X\mid f(P)\neq 0{\text{ in }}\kappa (P)\right\}}\,

den Invertierbarkeitsort von ${}f$ .

Definition:Spektrum (kommutativer Ring)

Zu einem kommutativen Ring ${}R$ nennt man die Menge der Primideale von ${}R$ das Spektrum von ${}R$ , geschrieben

\operatorname {Spek} {\left(R\right)}.

Definition:Offene Menge (Spektrum)

Auf dem Spektrum eines kommutativen Ringes ${}R$ ist die Zariski-Topologie dadurch gegeben, dass zu einer beliebigen Teilmenge ${}T\subseteq R$ die Mengen

{}D(T):={\left\{{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} {\left(R\right)}\mid T\not \subseteq {\mathfrak {p}}\right\}}\,

als offen erklärt werden.

Definition:Strukturgarbe

Es sei ${}X=\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ das Spektrum eines kommutativen Ringes ${}R$ . Unter der Strukturgarbe auf ${}X$ versteht man die Zuordnung, die jeder offenen Menge ${}U\subseteq X$ den kommutativen Ring

\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})={\left\{{\left(s_{\mathfrak {p}}\right)}_{{\mathfrak {p}}\in U}\in \prod _{{\mathfrak {p}}\in U}R_{\mathfrak {p}}\mid {\text{ für alle }}{\mathfrak {p}}\in U{\text{ gibt es }}a,b\in R{\text{ mit }}{\mathfrak {p}}\in D(b)\subseteq U{\text{ und }}s_{\mathfrak {q}}={\frac {a}{b}}{\text{ in }}R_{\mathfrak {q}}{\text{ für alle }}{\mathfrak {q}}\in D(b)\right\}}\,

und jeder Inklusion ${}U\subseteq U'$ die natürliche Projektion zuordnet.

Definition:Affines Schema

Das Spektrum ${}X=\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ eines kommutativen Ringes ${}R$ zusammen mit der Strukturgarbe ${}{\mathcal {O}}_{X}$ nennt man das affine Schema zu ${}R$ .

Definition:Schema

Ein Schema ist ein beringter Raum ${}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ derart, dass es eine offene Überdeckung ${}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ gibt, für die die ${}(U_{i},{\mathcal {O}}_{X}{|}_{U_{i}})$ affine Schemata sind.

Definition:Quasiaffines Schema

Eine offene Teilmenge ${}U\subseteq X=\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ eines affinen Schemas ${}X$ nennt man ein quasiaffines Schema.

Definition:Punktiertes Spektrum

Zu einem lokalen Ring ${}(R,{\mathfrak {m}})$ nennt man

\operatorname {Spek} {\left(R\right)}\setminus \{{\mathfrak {m}}\}

das punktierte Spektrum von ${}R$ .

Definition:Schemamorphismus

Ein Schemamorphismus

\varphi \colon X\longrightarrow Y

zwischen Schemata ${}X$ und ${}Y$ ist ein Morphismus der lokal beringten Räume.

Definition:Schema über Basisschema

Ein Schema ${}X$ zusammen mit einem fixierten Morphismus ${}p\colon X\rightarrow S$ zu einem weiteren Schema ${}S$ heißt ein Schema über ${}S$ . Dabei heißt ${}S$ das Basisschema.

Definition:Schemamorphismus über Basisschema

Es seien ${}X$ und ${}Y$ Schemata über dem Basisschema ${}S$ . Ein Schemamorphismus ${}\varphi \colon X\rightarrow Y$ heißt Schemamorphismus über ${}S$ , wenn das Diagramm

{\begin{matrix}X&{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}&Y&\\&\searrow &\downarrow &\\&&S&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}

kommutiert.

Definition:Schemamorphismus von endlichem Typ

Ein Schemamorphismus ${}\varphi \colon X\rightarrow Y$ heißt von endlichem Typ, wenn es eine affine offene Überdeckung ${}Y=\bigcup _{i\in I}V_{i}$ derart gibt, dass es endliche affine Überdeckungen

{}\varphi ^{-1}(V_{i})=\bigcup _{i\in I_{j}}U_{i}\,

gibt so, dass zu jedem ${}i\in I_{j}$ die Ringhomomorphismen

\Gamma (V_{j},{\mathcal {O}}_{Y})\longrightarrow \Gamma (U_{i},{\mathcal {O}}_{X})

von endlichem Typ sind.

Definition:Offene Einbettung (Schemata)

Ein Schemamorphismus ${}f\colon Y\rightarrow X$ heißt offene Einbettung, wenn ${}f$ einen Isomorphismus mit einer offenen Teilmenge von ${}X$ induziert.

Definition:Abgschlossene Einbettung (Schemata)

Ein Schemamorphismus ${}f\colon Y\rightarrow X$ heißt abgeschlossene Einbettung, wenn das Bild ${}f(Y)$ eine abgeschlossene Teilmenge von ${}X$ ist, ein Homöomorphismus ${}Y\rightarrow f(Y)$ vorliegt und der zugehörige Garbenhomomorphismus ${}{\mathcal {O}}_{X}\rightarrow f_{*}{\mathcal {O}}_{Y}$ surjektiv ist.

Definition:Einbettung (Schemata)

Ein Schemamorphismus ${}f\colon Y\rightarrow X$ heißt Einbettung, wenn es eine Faktorisierung

Y{\stackrel {g}{\longrightarrow }}Z{\stackrel {h}{\longrightarrow }}X

mit einer offenen Einbettung ${}g$ und einer abgeschlossenen Einbettung ${}h$ gibt.

Definition:Irrelevantes Ideal

Zu einem ${}\mathbb {Z}$ - graduierten Ring nennt man das von allen homogenen Elementen von einem Grad ${}\neq 0$ erzeugte Ideal das irrelevante Ideal. Es wird mit ${}R_{+}$ bezeichnet.

Definition:Projektives Spektrum

Es sei ${}R$ ein ${}\mathbb {Z}$ - graduierter kommutativer Ring. Dann nennt man die Menge der homogenen Primideale von ${}R$ , die nicht ${}R_{+}$ umfassen, das projektive Spektrum von ${}R$ . Es wird mit ${}\operatorname {Proj} {\left(R\right)}$ bezeichnet.

Definition:Projektives Spektrum

Es sei ${}R$ ein ${}\mathbb {Z}$ - graduierter kommutativer Ring. Dann nennt man die Menge der homogenen Primideale von ${}R$ , die nicht ${}R_{+}$ umfassen, zusammen mit der Topologie, bei der die Teilmengen

{}D_{+}{\left({\mathfrak {a}}\right)}={\left\{{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Proj} {\left(R\right)}\mid {\mathfrak {a}}\not \subseteq {\mathfrak {p}}\right\}}\,

als offen erklärt werden, das projektive Spektrum von ${}R$ .

Definition:Projektiver Raum

Das projektive Spektrum des Polynomrings ${}R[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]$ nennt man den projektiven Raum der Dimension ${}n$ über ${}R$ .

Definition:Strukturgarbe auf projektivem Schema

Es sei ${}R$ ein ${}\mathbb {Z}$ - graduierter Ring und ${}Y=\operatorname {Proj} {\left(R\right)}$ das mit der Zariski-Topologie versehene projektive Spektrum von ${}R$ . Unter der Strukturgarbe auf ${}Y$ versteht man die Zuordnung, die jeder offenen Menge ${}U\subseteq Y$ den kommutativen Ring

\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{Y})={\left\{{\left(s_{\mathfrak {p}}\right)}_{{\mathfrak {p}}\in U}\in \prod _{{\mathfrak {p}}\in U}R_{({\mathfrak {p}})}\mid {\text{ für alle }}{\mathfrak {p}}\in U{\text{ gibt es homogene Elemente }}a,b\in R{\text{ mit }}{\mathfrak {p}}\in D_{+}(b)\subseteq U{\text{ und }}s_{\mathfrak {q}}={\frac {a}{b}}{\text{ in }}R_{({\mathfrak {q}})}{\text{ für alle }}{\mathfrak {q}}\in D_{+}(b)\right\}}\,

und jeder Inklusion ${}U\subseteq V$ die natürliche Projektion zuordnet.

Definition:Projektives Spektrum

Es sei ${}R$ ein ${}\mathbb {Z}$ - graduierter Ring. Unter dem projektiven Spektrum ${}Y=\operatorname {Proj} {\left(R\right)}$ versteht man das mit der Zariski-Topologie und der Strukturgarbe versehene projektive Spektrum von ${}R$ .

Definition:Abgeschlossene Einbettung

Ein Schema ${}{\left(X,{\mathcal {O}}_{X}\right)}$ über einem kommutativen Ring ${}R$ heißt projektiv, wenn es eine Faktorisierung

X{\stackrel {i}{\longrightarrow }}{\mathbb {P} }_{R}^{n}\longrightarrow \operatorname {Spek} {\left(R\right)}

gibt, bei der ${}i$ eine abgeschlossene Einbettung ist.

Definition:Projektive Hyperflächen

Zu einem homogenen Polynom ${}F\in K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]$ über einem Körper ${}K$ nennt man

{}V_{+}(F)=\operatorname {Proj} {\left(K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]/(F)\right)}\subset {\mathbb {P} }_{K}^{n}\,

die projektive Hyperfläche zu ${}F$ .

Definition:Grad der Hyperfläche

Zu einer projektiven Hyperfläche

{}V_{+}(F)=\operatorname {Proj} {\left(K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]/(F)\right)}\subset {\mathbb {P} }_{K}^{n}\,

zu einem homogenen Polynom ${}F\in K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]$ nennt man den Grad von ${}F$ auch den Grad der Hyperfläche.

Definition:Homogenisierung eines Ideals

Es sei ${}R$ ein ${}\mathbb {Z}$ - graduierter Ring. Dann nennt man zu einem Ideal ${}{\mathfrak {a}}$ das von allen homogenen Elementen aus ${}{\mathfrak {a}}$ erzeugte Ideal die Homogenisierung von ${}{\mathfrak {a}}$ . Sie wird mit ${}{\mathfrak {a}}^{h}$ bezeichnet.

Definition:Kegelabbildung

Es sei ${}R$ ein ${}\mathbb {Z}$ - graduierter Ring. Dann versteht man unter der Kegelabbildung den Schemamorphismus

D(R_{+})\longrightarrow \operatorname {Proj} {\left(R\right)},\,{\mathfrak {p}}\longmapsto {\mathfrak {p}}^{h},

der auf den offenen Mengen zu homogenen Elementen ${}f\in R_{+}$ durch die Spektrumsabbildung zu ${}{\left(R_{f}\right)}_{0}\rightarrow R_{f}$ gegeben ist.

Definition:Modulgarbe

Eine Garbe ${}{\mathcal {M}}$ auf einem beringten Raum ${}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ heißt ${}{\mathcal {O}}_{X}$ -Modul, wenn es für jede offene Menge ${}U\subseteq X$ auf ${}\Gamma {\left(U,{\mathcal {M}}\right)}$ eine ${}\Gamma {\left(U,{\mathcal {O}}_{X}\right)}$ - Modulstruktur gegeben ist, die mit den Restriktionsabbildungen zu ${}U\subseteq V$ verträglich ist.

Definition:Untermodul

Es sei ${}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ ein beringter Raum und ${}{\mathcal {M}}$ ein ${}{\mathcal {O}}_{X}$ - Modul. Eine Untergarbe ${}{\mathcal {N}}\subseteq {\mathcal {M}}$ derart, dass ${}\Gamma {\left(U,{\mathcal {N}}\right)}$ für jede offene Teilmenge ${}U\subseteq X$ ein ${}\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})$ - Untermodul von ${}\Gamma {\left(U,{\mathcal {M}}\right)}$ ist, heißt ${}{\mathcal {O}}_{X}$ -Untermodul von ${}{\mathcal {M}}$ .

Definition:Idealgarbe

Es sei ${}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ ein beringter Raum. Ein ${}{\mathcal {O}}_{X}$ - Untermodul ${}{\mathcal {I}}\subseteq {\mathcal {O}}_{X}$ heißt Idealgarbe.

Definition:Faser

Es sei ${}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ ein lokal beringter Raum und ${}{\mathcal {M}}$ ein ${}{\mathcal {O}}_{X}$ - Modul. Zu einem Punkt ${}P\in X$ nennt man

{}{\mathcal {M}}(P):={\mathcal {M}}_{P}\otimes _{{\mathcal {O}}_{X,P}}\kappa (P)\,

die Faser von ${}{\mathcal {M}}$ im Punkt ${}P$ .

Definition:Modulgarbenhomomorphismus

Es sei ${}{\left(X,{\mathcal {O}}_{X}\right)}$ ein beringter Raum und seien ${}{\mathcal {M}}$ und ${}{\mathcal {N}}$ ${}{\mathcal {O}}_{X}$ - Moduln auf ${}X$ . Ein Garbenhomomorphismus ${}\varphi \colon {\mathcal {M}}\rightarrow {\mathcal {N}}$ heißt ${}{\mathcal {O}}_{X}$ -Modulhomomorphismus, wenn für jede offene Menge ${}U\subseteq X$ die Abbildung

\Gamma {\left(U,{\mathcal {M}}\right)}\longrightarrow \Gamma {\left(U,{\mathcal {N}}\right)}

ein ${}\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})$ - Modulhomomorphismus ist.

Definition:Homomorphismenmodul (Garben)

Es sei ${}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ ein beringter Raum und seien ${}{\mathcal {M}}$ und ${}{\mathcal {N}}$ Modulgarben auf ${}X$ . Dann nennt man

{}\operatorname {Hom} {\left({\mathcal {M}},{\mathcal {N}}\right)}={\left\{\varphi :{\mathcal {M}}\rightarrow {\mathcal {N}}\mid \varphi {\text{ Modulhomomorphismus}}\right\}}\,

mit der natürlichen ${}\Gamma {\left(X,{\mathcal {O}}_{X}\right)}$ - Modulstruktur den (globalen) Homomorphismenmodul zu ${}{\mathcal {M}}$ und ${}{\mathcal {N}}$ .

Definition:Homomorphismenmodul (Garben)

Es sei ${}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ ein beringter Raum und seien ${}{\mathcal {M}}$ und ${}{\mathcal {N}}$ Modulgarben auf ${}X$ . Dann nennt man die Zuordnung

U\longmapsto \operatorname {Hom} {\left({\mathcal {M}}{|}_{U},{\mathcal {N}}{|}_{U}\right)}={\left\{\varphi :{\mathcal {M}}{|}_{U}\rightarrow {\mathcal {N}}{|}_{U}\mid \varphi {\text{ Modulhomomorphismus}}\right\}}

die Homomorphismengarbe zu ${}{\mathcal {M}}$ und ${}{\mathcal {N}}$ . Sie wird mit ${}{{\mathcal {H}}om}{\left({\mathcal {M}},{\mathcal {N}}\right)}$ bezeichnet.

Definition:Duale Modulgarbe

Es sei ${}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ ein beringter Raum und sei ${}{\mathcal {M}}$ eine Modulgarbe auf ${}X$ . Dann nennt man

{}{\mathcal {M}}^{*}={{\mathcal {H}}om}{\left({\mathcal {M}},{\mathcal {O}}_{X}\right)}\,

mit der natürlichen ${}{\mathcal {O}}_{X}$ - Modulstruktur den dualen Modul zu ${}{\mathcal {M}}$ .

Definition:Tensorprodukt von Modulgarben

Es sei ${}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ ein beringter Raum und seien ${}{\mathcal {F}},{\mathcal {G}}$ Modulgarben auf ${}X$ . Dann nennt man die Vergarbung der Prägarbe

U\longmapsto \Gamma {\left(U,{\mathcal {F}}\right)}\otimes _{\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})}\Gamma {\left(U,{\mathcal {G}}\right)}

das Tensorprodukt der Moduln. Sie wird mit ${}{\mathcal {F}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}{\mathcal {G}}$ bezeichnet.

Definition:Invertierbare Garbe

Ein ${}{\mathcal {O}}_{X}$ - Modul ${}{\mathcal {L}}$ auf einem beringten Raum ${}{\left(X,{\mathcal {O}}_{X}\right)}$ heißt invertierbar, wenn es eine offene Überdeckung ${}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ derart gibt, dass die Einschränkungen ${}{\mathcal {L}}{|}_{U_{i}}$ isomorph zu ${}{\mathcal {O}}_{X}{|}_{U_{i}}$ sind.

Definition:Invertierbarkeitsort

Zu einem lokal beringten Raum ${}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ , einer invertierbaren Garbe ${}{\mathcal {L}}$ auf ${}X$ und einem globalen Schnitt ${}s\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {L}}\right)}$ nennt man

{}X_{s}:={\left\{P\in X\mid s_{P}\notin {\mathfrak {m}}_{P}{\mathcal {L}}_{P}\right\}}\,

den Invertierbarkeitsort von ${}s$ .

Definition:Modulgarbe (affines Schema)

Es sei ${}{\left(X,{\mathcal {O}}_{X}\right)}=\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ das affine Schema eines kommutativen Ringes ${}R$ und sei ${}M$ ein ${}R$ - Modul. Unter dem zu ${}M$ gehörenden ${}{\mathcal {O}}_{X}$ -Modul ${}{\widetilde {M}}$ auf ${}X$ versteht man die Zuordnung, die jeder offenen Menge ${}U\subseteq X$ die kommutative Gruppe

\Gamma {\left(U,{\widetilde {M}}\right)}={\left\{{\left(s_{\mathfrak {p}}\right)}_{{\mathfrak {p}}\in U}\in \prod _{{\mathfrak {p}}\in U}M_{\mathfrak {p}}\mid {\text{ für alle }}{\mathfrak {p}}\in U{\text{ gibt es }}m\in M{\text{ und }}f\in R{\text{ mit }}{\mathfrak {p}}\in D(f)\subseteq U{\text{ und }}s_{\mathfrak {q}}={\frac {m}{f}}{\text{ in }}M_{\mathfrak {q}}{\text{ für alle }}{\mathfrak {q}}\in D(f)\right\}}\,

zusammen mit der Skalarmultiplikation

\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})\times \Gamma {\left(U,{\widetilde {M}}\right)}\longrightarrow \Gamma {\left(U,{\widetilde {M}}\right)},\,{\left({\left(g_{\mathfrak {p}}\right)}_{{\mathfrak {p}}\in U},{\left(s_{\mathfrak {p}}\right)}_{{\mathfrak {p}}\in U}\right)}\longmapsto {\left(g_{\mathfrak {p}}s_{\mathfrak {p}}\right)}_{{\mathfrak {p}}\in U},

zuordnet, und wobei jeder Inklusion ${}U\subseteq V$ die natürliche Projektion zugeordnet wird.

Definition:Quasikohärenter Modul

Ein ${}{\mathcal {O}}_{X}$ - Modul ${}{\mathcal {M}}$ auf einem Schema ${}{\left(X,{\mathcal {O}}_{X}\right)}$ heißt quasikohärent, wenn es eine offene affine Überdeckung ${}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ mit ${}U_{i}=\operatorname {Spek} {\left(R_{i}\right)}$ und ${}R_{i}$ - Moduln ${}M_{i}$ derart gibt, dass ${}{\mathcal {M}}{|}{U_{i}}={\widetilde {M_{i}}}$ ist.

Definition:Kohärenter Modul

Ein quasikohärenter ${}{\mathcal {O}}_{X}$ - Modul ${}{\mathcal {M}}$ auf einem Schema ${}{\left(X,{\mathcal {O}}_{X}\right)}$ heißt kohärent, wenn es eine offene affine Überdeckung ${}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ derart gibt, dass ${}\Gamma {\left(U_{i},{\mathcal {M}}\right)}$ ein endlich erzeugter ${}\Gamma (U_{i},{\mathcal {O}}_{X})$ - Modul ist.

Definition:Modulgarbe auf projektivem Spektrum

Es sei ${}R$ ein ${}\mathbb {Z}$ - graduierter kommutativer Ring und ${}M$ ein ${}\mathbb {Z}$ - graduierter ${}R$ - Modul. Es sei ${}Y=\operatorname {Proj} {\left(R\right)}$ das projektive Spektrum zu ${}R$ . Die ${}{\mathcal {O}}_{Y}$ -Modulgarbe ${}{\widehat {M}}$ zu ${}M$ wird folgendermaßen festgelegt: Zu jeder offenen Menge ${}V=D_{+}({\mathfrak {a}})\subseteq Y$ zu einem homogenen Ideal ${}{\mathfrak {a}}$ setzt man

{}\Gamma {\left(V,{\widehat {M}}\right)}:=\Gamma {\left(D({\mathfrak {a}}),{\widetilde {M}}\right)}_{0}\,

und versieht dies mit den natürlichen Restriktionsabbildungen und der natürlichen ${}{\mathcal {O}}_{Y}$ -Modulstruktur.

Definition:Getwistete Strukturgarbe

Es sei ${}R$ ein ${}\mathbb {Z}$ - graduierter kommutativer Ring und ${}R(n)$ der um ${}n$ verschobene graduierte Ring. Dann bezeichnet man mit

{}{\mathcal {O}}_{Y}(n):={\widehat {R(n)}}\,

den zugehörigen ${}{\mathcal {O}}_{Y}$ - Modul auf ${}Y=\operatorname {Proj} {\left(R\right)}$ . Man spricht von den getwisteten Strukturgarben.

Definition:Twist einer Garbe

Es sei ${}R$ ein standard-graduierter Ring, es sei ${}{\mathcal {F}}$ ein quasikohärenter Modul auf ${}Y=\operatorname {Proj} {\left(R\right)}$ und ${}n\in \mathbb {Z}$ . Dann nennt man

{}{\mathcal {F}}(n):={\mathcal {F}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{Y}}{\mathcal {O}}_{Y}(n)\,

den ${}n$ -ten Twist von ${}{\mathcal {F}}$ .

Definition:Von globalen Schnitten erzeugte Garbe

Es sei ${}{\left(X,{\mathcal {O}}_{X}\right)}$ ein beringter Raum und es sei ${}{\mathcal {M}}$ ein ${}{\mathcal {O}}_{X}$ - Modul auf ${}X$ . Man sagt, dass ${}{\mathcal {M}}$ von globalen Schnitten erzeugt wird, wenn es eine Familie ${}s_{i}\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {M}}\right)}$ ( ${}i\in I$ ) derart gibt, dass für jeden Punkt ${}x\in X$ der Halm ${}{\mathcal {M}}_{x}$ als ${}{\mathcal {O}}_{X,x}$ - Modul von den (Einschränkungen der) ${}s_{i}$ erzeugt wird.

Definition:Lokal freie Garbe

Ein ${}{\mathcal {O}}_{X}$ - Modul ${}{\mathcal {F}}$ auf einem beringten Raum ${}X$ heißt lokal frei vom Rang ${}r$ , wenn es eine offene Überdeckung ${}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ und ${}{\mathcal {O}}_{U_{i}}$ - Modulisomorphismen ${}{\mathcal {F}}{|}_{U_{i}}\cong {\left({\mathcal {O}}_{U_{i}}\right)}^{r}$ für jedes ${}i\in I$ gibt.

Definition:Projektiver Modul

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}M$ ein ${}R$ - Modul. Der Modul ${}M$ heißt projektiv, wenn es zu jedem surjektiven ${}R$ - Modulhomomorphismus

\theta \colon A\longrightarrow B

und jedem Modulhomomorphismus

\varphi \colon M\longrightarrow B

einen Modulhomomorphismus

\psi \colon M\longrightarrow A

mit

{}\varphi =\theta \circ \psi \,

gibt.

Definition:Determinantengarbe

Zu einer lokal freien Garbe ${}{\mathcal {G}}$ auf einem beringten Raum ${}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ vom Rang ${}r$ nennt man die Vergarbung der Prägarbe ${}U\mapsto \bigwedge ^{r}\Gamma {\left(U,{\mathcal {G}}\right)}$ die Determinantengarbe von ${}{\mathcal {G}}$ . Sie wird mit ${}\operatorname {Det} {\mathcal {G}}$ bezeichnet.

Definition:Geometrisches Vektorbündel

Es sei ${}X$ ein Schema. Ein Schema ${}V$ zusammen mit einem Morphismus ${}p\colon V\rightarrow X$ heißt geometrisches Vektorbündel vom Rang ${}r$ über ${}X$ , wenn es eine offene Überdeckung ${}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ und ${}U_{i}$ - Isomorphismen

\psi _{i}\colon U_{i}\times {{\mathbb {A} }_{}^{r}}={{\mathbb {A} }_{U_{i}}^{r}}\longrightarrow V{|}_{U_{i}}=p^{-1}(U_{i})

derart gibt, dass für jede offene affine Teilmenge ${}U\subseteq U_{i}\cap U_{j}$ die Übergangsabbildungen

\psi _{j}^{-1}\circ \psi _{i}\colon {{\mathbb {A} }_{U_{i}}^{r}}{|}_{U}\longrightarrow {{\mathbb {A} }_{U_{j}}^{r}}{|}_{U}

lineare Automorphismen sind, also durch einen Automorphismus des Polynomringes ${}\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})[T_{1},\ldots ,T_{r}]$ der Form ${}T_{i}\mapsto \sum _{j=1}^{r}a_{ij}T_{j}$ induziert sind.

Definition:Homomorphismus von Vektorbündeln

Es seien ${}V$ und ${}W$ Vektorbündel über einem Schema ${}X$ . Ein Homomorphismus von Vektorbündeln ${}\varphi \colon V\rightarrow W$ ist ein Schemamorphismus von ${}V$ nach ${}W$ über ${}X$ derart, dass es zu jedem Punkt ${}P\in X$ eine offene affine Umgebung ${}P\in U\subseteq X$ gibt, die die vorgegebenen Trivialisierungsumgebungen der Bündel verfeinern (also ${}U\subseteq U_{i},U'_{j}$ für geeignete ${}i,j$ ) und für die die Hintereinanderschaltungen

{{\mathbb {A} }_{U}^{r}}{\stackrel {\psi _{i}{|}_{U}}{\longrightarrow }}V{|}_{U}{\stackrel {\varphi {|}_{U}}{\longrightarrow }}W{|}_{U}{\stackrel {\theta _{j}^{-1}{|}_{U}}{\longrightarrow }}{{\mathbb {A} }_{U}^{s}}

auf der Ringebene durch einen linearen Einsetzungshomomorphismus gegeben sind.

Definition:Garbe der Schnitte

Zu einem geometrischen Vektorbündel ${}p\colon V\rightarrow X$ auf einem Schema ${}X$ nennt man die zu einer offenen Teilmenge ${}U\subseteq X$ durch

{}\Gamma (U,{\mathcal {F}})={\left\{s:U\rightarrow V{|}_{U}{\text{ Schemamorphismus}}\mid p\circ s=\operatorname {Id} _{U}\right\}}\,

definierte Garbe ${}{\mathcal {F}}$ die Garbe der Schnitte in ${}V$ .

Definition:Derivation

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, ${}A$ eine kommutative ${}R$ - Algebra und ${}M$ ein ${}A$ - Modul. Dann heißt eine ${}R$ - lineare Abbildung

\delta \colon A\longrightarrow M

mit

{}\delta (ab)=a\delta (b)+b\delta (a)\,

für alle ${}a,b\in A$ eine ${}R$ -Derivation (mit Werten in ${}M$ ).

Definition:Modul der Kähler-Differentiale

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}A$ eine kommutative ${}R$ - Algebra. Der von allen Symbolen ${}d(a)$ , ${}a\in A$ , erzeugte ${}A$ - Modul, modulo den Identifizierungen

d(ab)=ad(b)+bd(a){\text{ für alle }}a,b\in A

und

d(ra+sb)=rd(a)+sd(b){\text{ für alle }}r,s\in R{\text{ und }}a,b\in A,

heißt Modul der Kähler-Differentiale von ${}A$ über ${}R$ . Er wird mit

\Omega _{A{|}R}

bezeichnet.

Definition:Glatter Punkt

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien ${}F_{1},\ldots ,F_{s}\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ Polynome mit der zugehörigen affin-algebraischen Menge

{}Y=V(F_{1},\ldots ,F_{s})\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\,.

Es sei ${}P\in Y$ ein Punkt von ${}Y$ mit der Eigenschaft, dass ${}Y$ im Punkt ${}P$ die Dimension ${}d$ besitze. Dann heißt ${}P$ ein glatter Punkt von ${}Y$ , wenn der Rang der Matrix

{\left({\frac {\partial F_{i}}{\partial X_{j}}}\right)}_{i,j}

im Punkt ${}P$ mindestens ${}n-d$ ist. Andernfalls heißt der Punkt singulär.

Definition:Regulärer lokaler Ring

Ein noetherscher lokaler Ring ${}(R,{\mathfrak {m}})$ der Dimension ${}n$ heißt regulär, wenn es ${}n$ Elemente ${}f_{1},\ldots ,f_{n}\in {\mathfrak {m}}$ gibt, die das maximale Ideal ${}{\mathfrak {m}}$ erzeugen.

Definition:Garbe der Kähler-Differentiale

Es sei ${}p\colon X\rightarrow S$ ein Schema über einem Basisschema ${}S$ . Dann versteht man unter der Garbe der Kähler-Differentiale ${}\Omega _{X{|}S}$ denjenigen quasikohärenten ${}{\mathcal {O}}_{X}$ - Modul auf ${}X$ zusammen mit einer Derivation über ${}p^{-1}{\mathcal {O}}_{S}$

d\colon {\mathcal {O}}_{X}\longrightarrow \Omega _{X{|}S}

derart, dass für jeden Punkt ${}P\in X$ die Bedingung

{}{\left({\left(\Omega _{X{|}S}\right)}_{P},d_{P}\right)}={\left(\Omega _{{\mathcal {O}}_{X,P}{|}{\mathcal {O}}_{S,p(P)}},d\right)}\,

erfüllt ist.

Definition:Tangentialgarbe

Es sei ${}p\colon X\rightarrow S$ ein Schema über einem Basisschema ${}S$ . Dann versteht man unter der Tangentialgarbe ${}{\mathcal {T}}_{X,S}$ den Dualmodul

{}{\mathcal {T}}_{X,S}=\Omega _{X{|}S}^{*}\,.

Definition:Kanonische Garbe

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es sei ${}X$ ein zusammenhängendes glattes Schema von endlichem Typ über ${}K$ der Dimension ${}d$ . Dann nennt man

{}\omega _{X}:=\operatorname {Det} \Omega _{X{|}K}=\bigwedge ^{d}\Omega _{X{|}K}\,

die kanonische Garbe von ${}X$ .

Definition:Picardgruppe

Zu einem beringten Raum ${}{\left(X,{\mathcal {O}}_{X}\right)}$ nennt man die Menge der Isomorphieklassen von invertierbaren Garben auf ${}X$ mit der Tensorierung als Verknüpfung, der dualen Garbe als inverses Element und der Strukturgarbe als neutralem Element die Picardgruppe von ${}X$ . Sie wird mit ${}\operatorname {Pic} {\left(X\right)}$ bezeichnet.

Definition:Totaler Quotientenring

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}S\subseteq R$ die Menge der Nichtnullteiler von ${}R$ . Dann nennt man die Nenneraufnahme ${}R_{S}$ den totalen Quotientenring von ${}R$ . Er wird mit ${}Q(R)$ bezeichnet.

Definition:Normaler Ring

Ein kommutativer Ring heißt normal, wenn er ganz-abgeschlossen in seinem totalen Quotientenring ist.

Definition:Normalisierung

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}Q(R)$ sein totaler Quotientenring. Dann nennt man den ganzen Abschluss von ${}R$ in ${}Q(R)$ die Normalisierung von ${}R$ .

Definition:Diskreter Bewertungsring

Ein diskreter Bewertungsring ${}R$ ist ein Hauptidealbereich mit der Eigenschaft, dass es bis auf Assoziiertheit genau ein Primelement in ${}R$ gibt.

Definition:Ordnung (diskreter Bewertungsring)

Zu einem Element $f\in R,\,f\neq 0$ , in einem diskreten Bewertungsring mit Primelement ${}p$ heißt die Zahl ${}n\in \mathbb {N}$ mit der Eigenschaft ${}f=up^{n}$ , wobei ${}u$ eine Einheit bezeichnet, die Ordnung von ${}f$ . Sie wird mit ${}\operatorname {ord} \,(f)$ bezeichnet.

Definition:Normales Schema

Ein Schema heißt normal, wenn jeder lokale Ring ${}{\mathcal {O}}_{x}$ zu ${}x\in X$ ein normaler Ring ist.

Definition:Hauptdivisor

Es sei ${}X$ ein normales noethersches integres Schema mit Funktionenkörper ${}K$ und sei ${}f\in K$ , ${}f\neq 0$ . Dann heißt die formale Summe

\operatorname {div} {\left(f\right)}=\sum _{Y{\text{ Primdivisor }}}\operatorname {ord} _{Y}\,(f)\cdot Y\,,

wobei ${}\operatorname {ord} _{Y}\,(f)$ die Ordnung von ${}f$ im lokalen Ring zu ${}Y$ bezeichnet, der durch ${}f$ definierte Hauptdivisor.

Definition:Weildivisor

Es sei ${}X$ ein normales noethersches integres Schema. Dann nennt man eine formale Summe ${}\sum _{Y}n_{Y}\cdot Y$ , wobei ${}Y$ die Primdivisoren von ${}X$ durchläuft und nur endlich viele der ${}n_{Y}$ von ${}0$ verschieden sind, einen Weildivisor auf ${}X$ .

Definition:Weildivisorengruppe

Es sei ${}X$ ein normales noethersches integres Schema. Dann nennt die Gruppe aller Weildivisoren mit komponentenweiser Addition die Weildivisorengruppe von ${}X$ . Sie wird mit ${}\operatorname {Div} \,(X)$ bezeichnet.

Definition:Divisorenklassengruppe

Es sei ${}X$ ein normales noethersches integres Schema mit Funktionenkörper ${}K$ . Dann nennt man die Restklassengruppe

{}\operatorname {DKG} {\left(X\right)}=\operatorname {Div} \,(X)/\operatorname {HDiv} \,(X)\,

die Divisorenklassengruppe von ${}X$ .

Definition:Injektiver Modul

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring. Ein ${}R$ - Modul ${}I$ heißt injektiv, wenn es für jeden ${}R$ -Modul ${}M$ , jeden Untermodul ${}N\subseteq M$ und jeden ${}R$ - Modul-Homomorphismus ${}\varphi \colon N\rightarrow I$ eine Fortsetzung

{\tilde {\varphi }}\colon M\longrightarrow I

gibt.

Definition:Divisible Gruppe

Eine kommutative Gruppe ${}G$ heißt divisibel, wenn es zu jedem ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ und jedem ${}g\in G$ ein ${}h\in G$ mit ${}g=nh$ gibt.

Definition:Injektive Auflösung (Moduln)

Eine injektive Auflösung eines ${}R$ - Moduls ${}M$ über einem kommutativen Ring ${}R$ ist ein exakter Komplex

0\longrightarrow M\longrightarrow I_{0}\longrightarrow I_{1}\longrightarrow I_{2}\longrightarrow \ldots

von ${}R$ -Moduln, wobei die ${}I_{n}$ , ${}n\geq 0$ , injektive Moduln sind.

Definition:Welke Garbe

Eine Garbe ${}{\mathcal {G}}$ auf einem topologischen Raum ${}X$ heißt welk, wenn für offene Teilmengen ${}U\subseteq V$ die Einschränkungsabbildungen

{\mathcal {G}}{\left(V\right)}\longrightarrow {\mathcal {G}}{\left(U\right)}

surjektiv sind.

Definition:Genügend viele injektive Objekte

Man sagt, dass eine abelsche Kategorie ${}{\mathcal {A}}$ genügend viele injektive Objekte enthält, wenn es zu jedem Objekt ${}M\in {\mathcal {A}}$ ein injektives Objekt ${}I$ und einen Monomorphismus ${}M\rightarrow I$ gibt.

Definition:Additiver Funktor

Es seien ${}{\mathcal {A}}$ und ${}{\mathcal {B}}$ additive Kategorien. Ein kovarianter Funktor ${}F\colon {\mathcal {A}}\rightarrow {\mathcal {B}}$ heißt additiv, wenn für Objekte ${}G,H\in {\mathcal {A}}$ die Abbildungen

\operatorname {Mor} {\left(G,H\right)}\longrightarrow \operatorname {Mor} {\left(F(G),F(H)\right)},\,\varphi \longmapsto F(\varphi ),

Gruppenhomomorphismen sind.

Definition:Linksexakter Funktor

Es seien ${}{\mathcal {A}}$ und ${}{\mathcal {B}}$ abelsche Kategorien. Ein kovarianter Funktor ${}F\colon {\mathcal {A}}\rightarrow {\mathcal {B}}$ heißt linksexakt, wenn er additiv ist und wenn für jede kurze exakte Sequenz

0\longrightarrow A\longrightarrow B\longrightarrow C\longrightarrow 0

in ${}{\mathcal {A}}$ die Sequenz

0\longrightarrow F(A)\longrightarrow F(B)\longrightarrow F(C)

in ${}{\mathcal {B}}$ exakt ist.

Definition:Rechtsabgeleiteter Funktor

Es seien ${}{\mathcal {A}}$ und ${}{\mathcal {B}}$ abelsche Kategorien und ${}{\mathcal {A}}$ habe genügend viele injektive Objekte. Es sei

F\colon {\mathcal {A}}\longrightarrow {\mathcal {B}}

ein kovarianter additiver linksexakter Funktor. Der ${}n$ -te rechtsabgeleitete Funktor

R^{n}F\colon {\mathcal {A}}\longrightarrow {\mathcal {B}}

( ${}n\in \mathbb {N}$ ) ist folgendermaßen definiert: Für ein Objekt ${}M\in {\mathcal {A}}$ nimmt man eine injektive Auflösung ${}I^{\bullet }$ von ${}M$ und setzt

{}R^{n}F(M):=H^{n}(F(I^{\bullet }))\,,

und für einen Homomorphismus ${}\varphi \colon M\rightarrow N$ in ${}{\mathcal {A}}$ nimmt man eine Fortsetzung ${}{\tilde {\varphi }}\colon I^{\bullet }\rightarrow J^{\bullet }$ (wobei ${}J^{\bullet }$ eine injektive Auflösung von ${}N$ ist) und setzt

{}R^{n}F(\varphi ):=(H^{n}({\tilde {\varphi }}):H^{n}(F(I^{\bullet }))\rightarrow H^{n}(F(J^{\bullet })))\,

mit dem induzierten Homomorphismus auf der Homologie im Sinne von Lemma Anhang 8.5.

Definition:Azyklisches Objekt

Es seien ${}{\mathcal {A}}$ und ${}{\mathcal {B}}$ abelsche Kategorien und ${}{\mathcal {A}}$ habe genügend viele injektive Objekte. Es sei ${}F\colon {\mathcal {A}}\rightarrow {\mathcal {B}}$ ein kovarianter additiver linksexakter Funktor. Ein Objekt ${}Z$ aus ${}{\mathcal {A}}$ heißt azyklisch (bezüglich ${}F$ ), wenn für jedes ${}n\geq 1$ für die rechtsabgeleiteten Funktoren die Beziehung ${}R^{n}F(Z)=0$ gilt.

Definition:Ext-Modul

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}M$ ein ${}R$ - Modul. Dann nennt man den rechtsabgeleiteten Funktor zum Funktor ${}N\mapsto \operatorname {Hom} _{R}{\left(M,N\right)}$ (von der Kategorie der ${}R$ -Moduln in sich) den Ext-Funktor. Er wird mit ${}\operatorname {Ext} ^{n}(M,N)$ bezeichnet.

Definition:Garbenkohomologie

Zu einer Garbe ${}{\mathcal {G}}$ von kommutativen Gruppen auf einem topologischen Raum ${}X$ nennt man den rechtsabgeleiteten Funktor zum globalen Auswertungsfunktor ${}\Gamma (X,-)$ die ${}n$ -te Garbenkohomologie von ${}{\mathcal {G}}$ auf ${}X$ . Sie wird mit

{}H^{n}(X,{\mathcal {G}}):=R^{n}\Gamma (X,{\mathcal {G}})\,

bezeichnet.

Definition:Čech-Komplex

Es sei ${}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ eine offene Überdeckung eines topologischen Raumes ${}X$ und ${}{\mathcal {G}}$ eine Garbe von kommutativen Gruppen auf ${}X$ . Zu ${}k\in \mathbb {N}$ setzt man

{}{\check {C}}^{k}({\mathcal {U}},{\mathcal {G}})=\prod _{\left\{J\mid {\#\left(J\right)}=k+1\right\}}{\mathcal {G}}{\left(U_{J}\right)}\,

und definiert Gruppenhomomorphismen

\delta _{k}\colon {\check {C}}^{k}({\mathcal {U}},{\mathcal {G}})\longrightarrow {\check {C}}^{k+1}({\mathcal {U}},{\mathcal {G}}),\,s={\left(s_{J}\right)}_{J}\longmapsto \delta _{k}(s)={\left(\delta _{k}(s)_{L}\right)}_{L},

durch

{}{\left(\delta _{k}(s)\right)}_{L}=\sum _{\ell =0}^{k+1}(-1)^{\ell }s{|}_{L\setminus \{i_{\ell }\}}\,,

wobei man ${}L=\{i_{0},i_{1},\ldots ,i_{k+1}\}$ gemäß der Ordnung auf ${}I$ schreibt. Der Komplex

{}{\check {C}}^{\bullet }({\mathcal {U}},{\mathcal {G}})={\left({\check {C}}^{k}({\mathcal {U}},{\mathcal {G}}),k\geq 0,\,\delta _{k}\right)}\,

heißt Čech-Komplex (zur Garbe ${}{\mathcal {G}}$ und zur Überdeckung).

Definition:Čech-Kohomologie

Es sei ${}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ eine offene Überdeckung ${}{\mathcal {U}}$ eines topologischen Raumes ${}X$ und ${}{\mathcal {G}}$ eine Garbe von kommutativen Gruppen auf ${}X$ . Zu ${}k\in \mathbb {N}$ definiert man die ${}k$ -te Čech-Kohomologie ${}{\check {H}}^{k}({\mathcal {U}},{\mathcal {G}})$ als die ${}k$ -te Homologie des Čech-Komplexes ${}{\check {C}}^{\bullet }({\mathcal {U}},{\mathcal {G}})$ .

Definition:Euler-Charakteristik

Es sei ${}X$ ein projektives Schema über einem Körper ${}K$ . Zu einer kohärenten Garbe ${}{\mathcal {G}}$ nennt man

{}\chi {\left({\mathcal {G}}\right)}:=\sum _{i=0}^{\operatorname {dim} {\left(X\right)}}(-1)^{i}h^{i}(X,{\mathcal {G}})\,

die Euler-Charakteristik von ${}{\mathcal {G}}$ .

Definition:Morphismus zu linearem System

Es sei ${}X$ ein Schema über einem kommutativen Ring ${}R$ , es sei ${}{\mathcal {L}}$ eine invertierbare Garbe auf ${}X$ und es seien ${}s_{0},s_{1},\ldots ,s_{n}\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {L}}\right)}$ globale Schnitte auf ${}X$ . Dann nennt man den nach Lemma 28.1 auf ${}U=\bigcup _{i=0}^{n}X_{s_{i}}$ definierten Morphismus

U\longrightarrow {\mathbb {P} }_{R}^{n},\,x\longmapsto \left(s_{0}(x),\,s_{1}(x),\,\ldots ,\,s_{n}(x)\right),

den durch die Schnitte ${}s_{0},\ldots ,s_{n}$ gegebenen oder den durch das lineare System ${}s_{0},\ldots ,s_{n}$ gegebenen Morphismus. Er wird mit ${}\varphi _{s_{0},\ldots ,s_{n}}$ oder mit ${}\varphi _{{\mathcal {L}};s_{0},\ldots ,s_{n}}$ bezeichnet.

Definition:Lineares System

Es sei ${}X$ ein Schema über einem kommutativen Ring ${}R$ und es sei ${}{\mathcal {L}}$ eine invertierbare Garbe auf ${}X$ . Man nennt einen ${}R$ - Untermodul ${}T\subseteq \Gamma {\left(X,{\mathcal {L}}\right)}$ ein lineares System auf ${}X$ .

Definition:Basispunktfreies lineares System

Es sei ${}X$ ein Schema über einem kommutativen Ring ${}R$ und es sei ${}{\mathcal {L}}$ eine invertierbare Garbe auf ${}X$ . Ein lineares System ${}T\subseteq \Gamma {\left(X,{\mathcal {L}}\right)}$ heißt basispunktfrei, wenn es zu jedem Punkt ${}x\in X$ ein ${}s\in T$ mit ${}x\in X_{s}$ gibt.

Definition:Sehr ample Garbe

Es sei ${}X$ ein Schema über einem kommutativen Ring ${}R$ und sei ${}{\mathcal {L}}$ eine invertierbare Garbe auf ${}X$ . Man nennt ${}{\mathcal {L}}$ sehr ampel, wenn es eine Einbettung ${}\varphi \colon X\rightarrow {\mathbb {P} }_{R}^{n}$ (für ein gewisses ${}n$ ) derart gibt, dass

{}\varphi ^{*}({\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{R}^{n}}(1))\cong {\mathcal {L}}\,

ist.

Definition:Ample invertierbare Garbe

Es sei ${}X$ ein Schema über einem kommutativen Ring ${}R$ und sei ${}{\mathcal {L}}$ eine invertierbare Garbe auf ${}X$ . Man nennt ${}{\mathcal {L}}$ ampel, wenn ${}{\mathcal {L}}^{n}$ für ein ${}n\geq 1$ sehr ampel ist.

Definition:Geschlecht

Zu einer glatten projektiven Kurve ${}C$ über einem algebraisch abgeschlossenen Körper ${}K$ nennt man

{}g:=\dim _{K}{\left(H^{1}{\left(C,{\mathcal {O}}_{C}\right)}\right)}\,

das Geschlecht der Kurve.

Definition:Elliptische Kurve

Eine glatte projektive Kurve ${}C$ über einem algebraisch abgeschlossenen Körper ${}K$ vom Geschlecht ${}1$ nennt man elliptische Kurve.

Definition:Verzweigungsindex

Zu einem injektiven Ringhomomorphismus ${}R\subseteq S$ zwischen diskreten Bewertungsringen nennt man die Ordnung einer Ortsuniformisierenden von ${}R$ in ${}S$ die Verzweigungsindex der Erweiterung.

Definition:Zurückgezogener Weildivisor

Zu einem nichtkonstanten Morphismus

\varphi \colon C_{1}\longrightarrow C_{2}

zwischen glatten Kurven über einem algebraisch abgeschlossenen Körper und einem Weildivisor ${}D=\sum _{P}a_{P}\cdot P$ auf ${}C_{2}$ nennt man

{}\varphi ^{*}D:=\sum _{Q\in C_{1}}\operatorname {Verz} {\left(Q{|}\varphi (Q)\right)}a_{\varphi (Q)}\cdot Q\,

den zurückgezogenen Weildivisor.

Definition:Grad eines Weildivisors

Es sei ${}C$ eine glatte projektive Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper ${}K$ . Zu einem Weildivisor ${}D=\sum _{P\in C}n_{P}P$ auf ${}C$ ist der Grad als

{}\operatorname {deg} {\left(D\right)}:=\sum _{P\in C}n_{P}\,

definiert.

Definition:Grad einer invertierbaren Garbe auf Kurve

Es sei ${}C$ eine glatte projektive Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper ${}K$ . Zu einer invertierbaren Garbe ${}{\mathcal {L}}$ auf ${}C$ definiert man den Grad durch den Grad eines zugehörigen Weildivisors.

Definition:Grad einer lokal freien Garbe auf Kurve

Es sei ${}C$ eine glatte projektive Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper ${}K$ . Zu einer lokal freien Garbe ${}{\mathcal {G}}$ auf ${}C$ vom Rang ${}r$ definiert man den Grad durch den Grad der Determinantengarbe ${}\bigwedge ^{r}{\mathcal {G}}$ .