Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Arbeitsblatt 11/latex
\setcounter{section}{11}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass das
\definitionsverweis {Produkt}{}{}
\mathl{M \times N}{} von zwei
\definitionsverweis {differenzierbaren Mannigfaltigkeiten}{}{}
\mathkor {} {M} {und} {N} {}
selbst wieder eine differenzierbare Mannigfaltigkeit ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathkor {} {M_1 \subseteq N_1} {und} {M_2 \subseteq N_2} {}
\definitionsverweis {abgeschlossene Untermannigfaltigkeiten}{}{.} Zeige, dass ihr
\definitionsverweis {Produkt}{}{}
\mathl{M_1 \times M_2}{} eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit von
\mathl{N_1 \times N_2}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Beschreibe die Karten auf dem
\definitionsverweis {Torus}{}{}
\mathl{S^1 \times S^1}{,} die von den stereographischen Projektionen herrühren.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass
\mathl{\R^2 \setminus \{0\}}{}
\definitionsverweis {diffeomorph}{}{}
zu einem Produkt aus eindimensionalen
\definitionsverweis {Mannigfaltigkeiten}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass das
\definitionsverweis {Produkt}{}{}
\mathl{M \times N}{} von zwei
\definitionsverweis {wegzusammenhängenden}{}{} \definitionsverweis {differenzierbaren Mannigfaltigkeiten}{}{}
\mathkor {} {M} {und} {N} {}
wieder wegzusammenhängend ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $M$ eine
\definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeit}{}{}
und
\maabbeledisp {\varphi} {M} {M \times M
} {x} {(x,x)
} {,}
die
\definitionsverweis {Diagonalabbildung}{}{}
in das
\definitionsverweis {Produkt}{}{}
\mathl{M \times M}{.} Zeige, dass die
\definitionsverweis {Diagonale}{}{}
$\varphi(M)$ eine
\definitionsverweis {abgeschlossene Untermannigfaltigkeit}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $M$ eine \definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeit}{}{.} Zeige, dass die Vertauschungsabbildung \maabbeledisp {} {M \times M} { M \times M } {(P,Q)} {(Q,P) } {,} ein \definitionsverweis {Diffeomorphismus}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Beschreibe den Torus
\mathl{S^1 \times S^1}{} als
\definitionsverweis {Rotationsmenge}{}{}
im $\R^3$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{R>0}{} und betrachte die Abbildung
\maabbeledisp {} {\R^3} {\R
} {(x,y,z)} { { \left( \sqrt{x^2+y^2}- R \right) }^2 +z^2
} {.}
Bestimme die
\definitionsverweis {regulären Punkte}{}{}
der Abbildung und die Gestalt der Faser über
\mathl{s \in \R}{.} Wie ändert sich die Gestalt beim Übergang von
\mathl{\sqrt{s} < R}{} zu
\mathl{\sqrt{s} > R}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Erstelle eine Animation, die Aufgabe 11.9 illustriert.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Definiere die Abbildung
\maabbdisp {} {S^1 \times S^1} { S^2
} {,}
die zu einem Winkelpaar
\mathl{(\alpha, \beta)}{} die erste Komponente als Äquatorpunkt interpretiert und von dort aus mit der zweiten Komponente auf dem Großkreis Richtung Norden wandert. Ist die Abbildung
\definitionsverweis {differenzierbar}{}{?}
Wie sehen die Fasern der Abbildung aus?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man gebe ein heuristisches Argument, dass die Einheitssphäre
\mathl{S^2}{} und der Torus
\mathl{S^1 \times S^1}{} nicht
\definitionsverweis {homöomorph}{}{}
sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zu welcher
\definitionsverweis {differenzierbaren Mannigfaltigkeit}{}{}
ist
\mathl{S^1 \times S^1 \setminus \triangle}{,} also der Torus ohne die
\definitionsverweis {Diagonale}{}{,}
\definitionsverweis {diffeomorph}{}{?}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $X$ ein
\definitionsverweis {Torus}{}{.}
Man gebe eine surjektive
\definitionsverweis {differenzierbare Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\varphi} {\R^2} {X
} {}
derart an, dass auch die
\definitionsverweis {Tangentialabbildung}{}{}
\maabbdisp {T_P(\varphi)} { T_P\R^2 } { T_{\varphi(P)}X
} {}
in jedem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ \R^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
surjektiv ist.
}
{} {}
In den folgenden Aufgaben wird das relative Produkt von Mengen und topologischen Räumen eingeführt.
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathl{L_1,L_2,M}{} Mengen und
\maabbdisp {p_1} {L_1} {M
} {}
und
\maabbdisp {p_2} {L_2} {M
} {}
Abbildungen. Wir definieren
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{L_1 \times_M L_2
}
{ \defeq} { { \left\{ (x_1,x_2) \mid p_1(x_1) = p_2(x_2) \right\} }
}
{ \subseteq} { L_1 \times L_2
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\aufzaehlungzwei {Zeige, dass es ein kommutatives Diagramm
\mathdisp {\begin{matrix} L_1 \times_M L_2 & \stackrel{ }{\longrightarrow} & L_1 & \\ \downarrow & & \downarrow & \\ L_2 & \stackrel{ }{\longrightarrow} & M & \!\!\!\!\! \\ \end{matrix}} { }
gibt.
} {Es sei $T$ eine weitere Menge und
\maabb {\psi_1} {T} {L_1
} {}
und
\maabb {\psi_2} {T} {L_2
} {}
Abbildungen mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ p_1 \circ \psi_1
}
{ =} { p_2 \circ \psi_2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {}
}
{}{}{.}
Zeige, dass es eine eindeutig bestimmte Abbildung
\maabbdisp {\psi} {T} {L_1 \times_M L_2
} {}
derart gibt, dass die Projektionen auf
\mathkor {} {L_1} {bzw.} {L_2} {}
mit $\psi_1,\psi_2$ übereinstimmen.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathl{L_1,L_2,M}{}
\definitionsverweis {topologische Räume}{}{}
und
\maabbdisp {p_1} {L_1} {M
} {}
und
\maabbdisp {p_2} {L_2} {M
} {}
\definitionsverweis {stetige Abbildungen}{}{.}
Wir definieren
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{L_1 \times_M L_2
}
{ \defeq} { { \left\{ (x_1,x_2) \mid p_1(x_1) = p_2(x_2) \right\} }
}
{ \subseteq} { L_1 \times L_2
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit der
\definitionsverweis {induzierten Topologie}{}{.}
\aufzaehlungzwei {Zeige, dass es ein kommutatives Diagramm
\mathdisp {\begin{matrix} L_1 \times_M L_2 & \stackrel{ }{\longrightarrow} & L_1 & \\ \downarrow & & \downarrow & \\ L_2 & \stackrel{ }{\longrightarrow} & M & \!\!\!\!\! \\ \end{matrix}} { }
mit stetigen Abbildungen gibt.
} {Es sei $T$ ein weiterer topologischer Raum und
\maabb {\psi_1} {T} {L_1
} {}
und
\maabb {\psi_2} {T} {L_2
} {}
stetige Abbildungen mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ p_1 \circ \psi_1
}
{ =} { p_2 \circ \psi_2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {}
}
{}{}{.}
Zeige, dass es eine eindeutig bestimmte stetige Abbildung
\maabbdisp {\psi} {T} {L_1 \times_M L_2
} {}
derart gibt, dass die Projektionen auf
\mathkor {} {L_1} {bzw.} {L_2} {}
mit $\psi_1,\psi_2$ übereinstimmen.
}
}
{} {}
In der Situation der beiden vorstehenen Aufgaben bezeichnet man $L_1 \times_M L_2$
\zusatzklammer {mit der Projektion auf $L_2$} {} {}
auch als $p_2^*L_1$ bzw. als
\mathl{p_1^*L_2}{,} die Vorstellung ist dabei, dass man das Objekt
\maabb {p_1} {L_1} {M
} {}
längs $p_2$ auf die neue Basis $L_2$ zurückzieht.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabb {p} {Y} {X
} {}
eine
\definitionsverweis {stetige Abbildung}{}{}
zwischen den
\definitionsverweis {topologischen Räumen}{}{}
\mathkor {} {X} {und} {Y} {.}
Zeige, das für das
\definitionsverweis {relative Produkt}{}{}
die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ X \times_X Y
}
{ \cong} { Y
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt
\zusatzklammer {wobei
\maabb {} {X} {X
} {}
die Identität sei} {} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabb {p} {Y} {X
} {}
eine
\definitionsverweis {stetige Abbildung}{}{}
zwischen den
\definitionsverweis {topologischen Räumen}{}{}
\mathkor {} {X} {und} {Y} {.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Punkt mit der zugehörigen Abbildung
\maabbdisp {\iota} {\{x\}} { X
} {.}
Zeige, das für das
\definitionsverweis {relative Produkt}{}{}
die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \{x\} \times_X Y
}
{ \cong} { Y_x
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt, also das relative Produkt mit der
\definitionsverweis {Faser}{}{}
übereinstimmt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathkor {} {X,U} {und} {V} {}
\definitionsverweis {topologische Räume}{}{}
und seien
\maabb {p_1} {X \times U} {X
} {}
und
\maabb {p_2} {X \times V} {X
} {}
die kanonischen Projektionen nach $X$. Zeige, das für das
\definitionsverweis {relative Produkt}{}{}
die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( X \times U \right) } \times_X { \left( X \times V \right) }
}
{ \cong} { X \times U \times V
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\maabb {f,g} {\R} {\R
} {}
\definitionsverweis {stetige Funktionen}{}{.}
\aufzaehlungdrei{Zeige, dass für das
\definitionsverweis {relative Produkt}{}{}
\zusatzklammer {die Funktionen treten in der Notation nicht explizit auf} {} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \R \times_\R \R
}
{ =} { { \left\{ (x,y) \in \R^2 \mid f(x) = g(y) \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}{Skizziere
\mathl{\R \times_\R \R}{} für eine Auswahl an Funktionen
\mathl{(f,g)}{.}
}{Bestimme in (2), ob
\mathl{\R \times_\R \R}{}
\definitionsverweis {singuläre Punkte}{}{}
besitzt.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathkor {} {X,Y} {und} {Z} {}
\definitionsverweis {topologische Räume}{}{}
und seien
\maabb {\varphi} {Y} {X
} {}
und
\maabb {p} {Z} {X
} {}
\definitionsverweis {stetige Abbildungen}{}{.}
Es sei
\maabbdisp {p_Y} {Y \times_XZ } {Y
} {.}
Zeige, dass ein
\definitionsverweis {stetiger Schnitt}{}{}
\maabb {s} {Y} { Y \times_XZ
} {}
das gleiche ist wie eine stetige Abbildung
\maabb {t} {Y} {Z
} {}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ p \circ t
}
{ = }{ \varphi
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathl{X,Y,Z}{} und $X'$
\definitionsverweis {topologische Räume}{}{}
und es liege ein kommutatives Diagramm von
\definitionsverweis {stetigen Abbildungen}{}{}
\mathdisp {\begin{matrix} & Y& \stackrel{}{\longrightarrow} &Z \\ & & \searrow& \downarrow \\ & X' & \stackrel{\varphi}{ \longrightarrow } & X \end{matrix}} { }
vor. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Y'
}
{ = }{ \varphi^*Y
}
{ = }{ Y \times_X X'
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Z'
}
{ = }{ \varphi^*Z
}
{ = }{ Z \times_X X'
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass ein kommutatives Diagramm
\mathdisp {\begin{matrix} & Y' & \stackrel{}{\longrightarrow} & Z' \\ & & \searrow& \downarrow \\ & & & X' \end{matrix}} { }
vorliegt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathkor {} {X,Y,Z} {und} {W} {}
\definitionsverweis {topologische Räume}{}{}
und seien
\maabb {} {W} {X
} {}
und
\mathdisp {Z \stackrel{\varphi}{\longrightarrow} Y\stackrel{\psi}{\longrightarrow} X} { }
\definitionsverweis {stetige Abbildungen}{}{.}
Zeige, dass das
\definitionsverweis {relative Produkt}{}{}
\zusatzklammer {beziehungsweise der Rückzug} {} {}
die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi^* { \left( \psi^*W \right) }
}
{ =} { Z \times_Y { \left( Y \times_X W \right) }
}
{ =} { Z \times_XW
}
{ =} { ( \psi \circ \varphi)^*W
}
{ } {
}
}
{}{}{}
erfüllt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Betrachte die
\definitionsverweis {Kreislinie}{}{}
$S^1$. Definiere eine \stichwort {differenzierbare Gruppenstruktur} {} auf $S^1$, also ein neutrales Element
\mathl{P \in S^1}{,} eine
\definitionsverweis {differenzierbare Abbildung}{}{}
\maabbeledisp {\alpha} {S^1} {S^1
} {x} { \alpha (x)
} {,}
und eine differenzierbare Abbildung
\maabbeledisp {} {T = S^1 \times S^1} {S^1
} {(x,y)} { \varphi(x,y)
} {,}
derart, dass $S^1$ mit diesen Daten zu einer
\definitionsverweis {kommutativen Gruppe}{}{}
wird.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Betrachte die
\definitionsverweis {allgemeine lineare Gruppe}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G
}
{ = }{\operatorname{GL}_{ n } \! { \left( \R \right) }
}
{ \subseteq }{ \R^{n^2}
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
als
\definitionsverweis {offene Untermannigfaltigkeit}{}{}
des $\R^{n^2}$. Definiere eine \stichwort {differenzierbare Gruppenstruktur} {} auf $G$, also ein neutrales Element
\mathl{P \in G}{,} eine
\definitionsverweis {differenzierbare Abbildung}{}{}
\maabbeledisp {\alpha} {G} {G
} {x} { \alpha (x)
} {,}
und eine differenzierbare Abbildung
\maabbeledisp {\varphi} {G \times G} {G
} {(x,y)} { \varphi(x,y)
} {,}
derart, dass $G$ mit diesen Daten zu einer
\definitionsverweis {Gruppe}{}{}
wird.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabbeledisp {\varphi} {S^1 \times \R } {S^1 \times \R } {(x_1 , x_2;t)} {(-x_1 , -x_2; -t) } {,} ein \definitionsverweis {fixpunktfreier}{}{} \definitionsverweis {Diffeomorphismus}{}{} ist, der zu sich selbst invers ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ D
}
{ = }{ x^2 \partial_x + { \left( x-y^2 \right) } \partial_y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Berechne
\mathdisp {D { \left( 4x^2-xy+5y^3 \right) }} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ D
}
{ = }{ \sum_{j = 1}^n g_j \partial_j
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Differentialoperator auf einer offenen Menge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Die Auswertung von $D$ an welchen differenzierbaren Funktionen gibt die Koeffizientenfunktionen $g_j$ aus?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ D
}
{ = }{ \sum_{j = 1}^n g_j \partial_j
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Differentialoperator auf einer offenen Menge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass $D$ ein Differentialoperator im Sinne der
Definition 11.4
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $M$ eine
\definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeit}{}{}
und $D$ ein differenzierbares
\definitionsverweis {Vektorfeld}{}{}
auf $M$. Zeige
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ [ D,D]
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $M$ eine
$C^3$-\definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeit}{}{.}
Zeige, dass für
$C^2$-\definitionsverweis {Vektorfelder}{}{}
$D,E,F$ auf $M$ die sogenannte \stichwort {Jacobi-Identität} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ [ [D,E],F] + [ [E,F],D] + [ [F,D],E]
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
über einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$ und sei
\maabbeledisp {} {V \times V} { V
} {(f,g)} { [f,g]
} {,}
eine
\definitionsverweis {Verknüpfung}{}{}
auf $V$. Man nennt
\mathl{(V, [-,-])}{} eine
\definitionswort {Lie-Algebra}{,}
wenn die folgenden drei Bedingungen erfüllt sind.
\aufzaehlungdrei{$[-,-]$ ist
\definitionsverweis {bilinear}{}{.}
}{$[-,-]$ erfüllt die sogenannte \stichwort {Jacobi-Identität} {,} d.h. für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u,v,w
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ [ [u,v],w] + [ [v,w],u] + [ [w,u],v]
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ [v,v]
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $M$ eine $C^\infty$-\definitionsverweis {Mannigfaltigkeit}{}{} und sei $V$ der Raum aller $C^\infty$-\definitionsverweis {Vektorfelder}{}{} auf $M$. Zeige, dass $V$ mit der \definitionsverweis {Lie-Klammer}{}{} von Vektorfeldern eine \definitionsverweis {Lie-Algebra}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
über einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$ und sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ L
}
{ =} { \operatorname{End}_{ } \, (V)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die Menge aller linearen
$K$-\definitionsverweis {Endomorphismen}{}{}
von $V$ nach $V$. Zeige, dass $L$, versehen mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ [f,g]
}
{ \defeq} { f \circ g -g \circ f
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
eine
\definitionsverweis {Lie-Algebra}{}{}
ist.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{5}
{
Es sei
\mathl{0 < r < R}{} und sei
\mathdisp {T = { \left\{ (x,y,z) \in \R^3 \mid { \left( \sqrt{x^2+y^2} -R \right) }^2 +z^2 = r^2 \right\} }} { . }
Zeige, dass die Abbildung
\maabbeledisp {} {S^1 \times S^1} {T
} {( \varphi, \psi) } {( (R +r \cos \psi) \cos \varphi, (R+ r \cos \psi ) \sin \varphi , r \sin \psi )
} {}
eine
\definitionsverweis {Bijektion}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{6}
{
Es sei $T$ ein
\definitionsverweis {Torus}{}{}
und seien
\mathl{P,Q \in T}{} zwei Punkte. Zeige, dass es eine gemeinsame Kartenumgebung
\mathl{P,Q \in U \subseteq T}{} derart gibt, dass die Kartenabbildung
\maabbdisp {\alpha} {U} {V
} {}
eine
\definitionsverweis {Homöomorphie}{}{}
mit
\mathl{V= {]0,1[} \times {]0,1[}}{} ergibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Zeige, dass das \definitionsverweis {relative Produkt}{}{} $\R \times_\R \R$ für stetig differenzierbare Funktionen \maabbdisp {f,g} {\R} {\R } {} keine \definitionsverweis {topologische Mannigfaltigkeit}{}{} sein muss.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ D
}
{ =} { { \left( xy^2- \sin z \right) } \partial_x + { \left( e^{x+y+z} \right) } \partial_y+ { \left( xy^3z \right) } \partial_z
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Berechne
\mathdisp {D { \left( 7e^{xy}- \cos \left( z^3+y^5 \right) -x^4y^3 + y^2z^3e^{z} \right) }} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ W
}
{ \subseteq }{\R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {offen}{}{,}
\maabb {h} {W} { \R
} {}
eine
\definitionsverweis {stetig differenzierbare Funktion}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Y
}
{ = }{ h^{-1}(0)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die
\definitionsverweis {Faser}{}{}
zu $0$, wobei $h$ in jedem Punkt von $Y$
\definitionsverweis {regulär}{}{}
sei und somit eine diffferenzierbare Mannigfaltigkeit definiere. Es sei $D$ ein Differentialoperator erster Ordnung zu einem stetigen Vektorfeld auf $Y$. Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ D(gh)
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für jede differenzierbare Funktion $g$ auf $Y$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4 (1+1+1+1)}
{
Wir betrachten auf dem $\R^3$ die
\definitionsverweis {Vektorfelder}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ D
}
{ =} { -y \partial_x + z\partial_y -x \partial_z
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ E
}
{ =} { 5 \partial_x - 3\partial_y + \cos \left( xy \right) \partial_z
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ F
}
{ =} { 4e^{xyz} \partial_y -z^3 \partial_z
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\aufzaehlungvier{Berechne
\mathl{[D,E]}{.}
}{Berechne
\mathl{[D,F]}{.}
}{Berechne
\mathl{[E,F]}{.}
}{Berechne
\mathl{[ [D,E], F]}{.}
}
}
{} {}