Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Arbeitsblatt 22/latex
\setcounter{section}{22}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $M$ eine
\definitionsverweis {berandete Mannigfaltigkeit}{}{}
und
\mathl{\partial M}{} sei der Rand. Zeige, dass der
\definitionsverweis {topologische Rand}{}{}
von
\mathl{M \setminus \partial M}{} gleich $\partial M$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Träger}{}{} der folgenden Funktionen von $\R$ nach $\R$. \aufzaehlungsieben{Eine Polynomfunktion. }{Die Sinusfunktion. }{Die Exponentialfunktion. }{Die Indikatorfunktion $e_{ \Z }$. }{Die Indikatorfunktion $e_{ \Q }$. }{Die Indikatorfunktion $e_{ [a,b] }$. }{Die Indikatorfunktion $e_{ ]a,b[ }$. }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabbdisp {f} {X} {\R
} {}
eine Funktion auf einem
\definitionsverweis {topologischen Raum}{}{}
$X$. Es gebe eine
\definitionsverweis {offene Teilmenge}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
die den
\definitionsverweis {Träger}{}{}
von $f$ umfasse. Zeige, dass $f$ genau dann
\definitionsverweis {stetig}{}{}
ist, wenn die Einschränkung
\mathl{f {{|}}_U}{} stetig ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $X$ ein
\definitionsverweis {topologischer Raum}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Teilmenge. Zeige, dass der
\definitionsverweis {Abschluss}{}{}
von $T$ gleich dem
\definitionsverweis {Träger}{}{}
der
\definitionsverweis {Indikatorfunktion}{}{}
\mathl{e_{ T }}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man gebe eine \definitionsverweis {kompakte Ausschöpfung}{}{} für die \definitionsverweis {reellen Zahlen}{}{} $\R$ an.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Man gebe eine \definitionsverweis {kompakte Ausschöpfung}{}{} für den $\R^d$ an.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $X$ ein \definitionsverweis {topologischer Raum}{}{.} Bestimme zur Überdeckung von $X$ durch $X$ eine \definitionsverweis {untergeordnete Partition der Eins}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $X$ ein
\definitionsverweis {topologischer Raum}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ X
}
{ = }{ \bigcup_{i \in I} U_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene Überdeckung}{}{.}
Wir betrachten die Familie der
\definitionsverweis {Indikatorfunktionen}{}{}
\mathbeddisp {e_{ P }} {}
{P \in X} {}
{} {} {} {.}
Welche Eigenschaften einer
\zusatzklammer {dieser Überdeckung} {} {}
\definitionsverweis {untergeordneten Partition der Eins}{}{}
erfüllt diese Familie?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten die
\definitionsverweis {kompakte Ausschöpfung}{}{}
\mathbed {A_n= [-n,n]} {}
{n \in \N} {}
{} {} {} {,} der
\definitionsverweis {reellen Zahlen}{}{}
und die offene Überdeckung
\mathbed {W_n= A_{n+1}^{o} \setminus A_{n-1}} {}
{n \in \N} {}
{} {} {} {,}
\zusatzklammer {es sei
\mathl{A_{-1}= \emptyset}{}} {} {.}
Finde eine Überdeckung von $\R$ mit
\definitionsverweis {offenen Intervallen}{}{,}
die die Eigenschaften
aus Lemma 22.9
\zusatzklammer {und seinem Beweis} {} {} erfüllt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man konstruiere eine Folge von
\definitionsverweis {stetigen Funktionen}{}{}
\maabbdisp {f_n} {[0,1]} {[0,1]
} {}
zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
die eine
\definitionsverweis {Partition der Eins}{}{}
bilden und die Eigenschaft erfüllen, dass $0$ zum
\definitionsverweis {Träger}{}{}
einer jeden Funktion $f_n$ gehört.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V
}
{ \subseteq }{ H
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene Menge}{}{}
im
\definitionsverweis {Halbraum}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ H
}
{ \subset }{ \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und sei
\maabbdisp {f} {V} {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {stetig differenzierbare Funktion}{}{.}
Zeige, dass es eine offene Menge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \tilde{V}
}
{ \subseteq }{ \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und eine
\definitionsverweis {stetig differenzierbare Funktion}{}{}
\maabbdisp {\tilde{f}} {\tilde{V}} { \R
} {}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \tilde{V} \cap H
}
{ = }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \tilde{f} {{|}}_{\tilde{V} }
}
{ = }{f
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabbdisp {f} {\R} {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {stetig differenzierbare Funktion}{}{}
mit
\definitionsverweis {kompaktem Träger}{}{.}
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Ableitung}{}{}
$f'$ ebenfalls kompakten Träger hat, und dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \int_\R f' d \lambda^1
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabbdisp {f} {\R_{\geq 0}} {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {stetig differenzierbare Funktion}{}{}
mit
\definitionsverweis {kompaktem Träger}{}{.}
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Ableitung}{}{}
$f'$ ebenfalls kompakten Träger hat, und dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \int_{\R_{\geq 0} } f' d \lambda^1
}
{ = }{ f(0)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist. Zeige, dass diese Aussage nicht gelten muss, wenn $f$ keinen kompakten Träger besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $X$ eine \definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeit}{}{} mit einer \definitionsverweis {abzählbaren Basis der Topologie}{}{.} Zeige, dass es eine \definitionsverweis {riemannsche Struktur}{}{} auf $X$ gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $X$ eine \definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeit}{}{} mit einer \definitionsverweis {abzählbaren Basis der Topologie}{}{} und sei \maabb {p} {E} {X } {} ein \definitionsverweis {differenzierbares Vektorbündel}{}{} über $X$. Zeige, dass man $E$ mit der Struktur eines \definitionsverweis {riemannschen Vektorbündels}{}{} versehen kann.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei
\mathbed {A_n} {}
{n \in \N} {}
{} {} {} {,}
eine
\definitionsverweis {kompakte Ausschöpfung}{}{} eines
\definitionsverweis {topologischen Raumes}{}{} $X$. Zeige, dass die Beziehung
\mathdisp {A_{n+1} \setminus A_n^{o} \subseteq A_{n+2}^{o} \setminus A_{n-1}} { }
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Man gebe zur
\definitionsverweis {offenen Überdeckung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \R
}
{ =} { \bigcup_{n \in \Z} ]n,n+3[
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine untergeordnete stetige
\definitionsverweis {Partition der Eins}{}{}
an.
}
{} {}
\inputaufgabe
{6}
{
Wir betrachten die
\definitionsverweis {kompakte Ausschöpfung}{}{}
\mathbeddisp {A_n = B \left( 0,n \right)} {}
{n \in \N} {}
{} {} {} {,}
des $\R^2$ und die
\definitionsverweis {offene Überdeckung}{}{}
\mathbeddisp {W_n= A_{n+1}^{o} \setminus A_{n-1}} {}
{n \in \N} {}
{} {} {} {,}
\zusatzklammer {es sei
\mathl{A_{-1}= \emptyset}{}} {} {.}
Finde eine Überdeckung des $\R^2$ mit
\definitionsverweis {offenen Kreisscheiben}{}{,}
die die Eigenschaften
aus Lemma 22.9
\zusatzklammer {und seinem Beweis} {} {}
erfüllt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Man gebe ein Beispiel für einen \definitionsverweis {topologischen Raum}{}{,} der keine \definitionsverweis {kompakte Ausschöpfung}{}{} besitzt.
}
{} {}