Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Definitionsabfrage

Definition:Tangentiale Beschleunigung

Es sei ${}W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, ${}h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetig differenzierbare Funktion und ${}Y=h^{-1}(c)$ die Faser zu ${}c\in \mathbb {R}$, wobei ${}h$ in jedem Punkt von ${}Y$ regulär sei. Es sei

$\gamma \colon I\longrightarrow Y$

eine (als Abbildung nach ${}\mathbb {R} ^{n}$) zweimal stetig differenzierbare Kurve. Dann nennt man die Abbildung

$I\longrightarrow TY,\,t\longmapsto \pi _{P}(\gamma ^{\prime \prime }(t)),$

wobei ${}\pi _{P}$ die orthogonale Projektion

$\mathbb {R} ^{n}\longrightarrow T_{P}Y$

bezeichnet, die zweite tangentiale Ableitung (oder die tangentiale Beschleunigung) von ${}\gamma$.

Definition:Geodätische Kurve

Es sei ${}W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, ${}h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetig differenzierbare Funktion und ${}Y=h^{-1}(c)$ die Faser zu ${}c\in \mathbb {R}$, wobei ${}h$ in jedem Punkt von ${}Y$ regulär sei. Eine (als Abbildung nach ${}\mathbb {R} ^{n}$) zweimal stetig differenzierbare Kurve

$\gamma \colon I\longrightarrow Y$

heißt Geodätische (oder geodätische Kurve auf ${}Y$), wenn ihre tangentiale Beschleunigung überall gleich ${}0$ ist.

Definition:Großkreis

Der Durchschnitt einer Kugeloberfläche ${}S$ mit einer durch den Kugelmittelpunkt verlaufenden Ebene heißt ein Großkreis auf ${}S$.

Definition:Normalenfeld

Es sei ${}W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, ${}h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetig differenzierbare Funktion und ${}Y=h^{-1}(c)$ die Faser zu ${}c\in \mathbb {R}$, wobei ${}h$ in jedem Punkt von ${}Y$ regulär sei. Ein auf einer offenen Umgebung ${}Y\subseteq U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ definiertes stetiges Vektorfeld ${}F\colon U\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$ mit

${}F(P)\in N_{P}Y\,$

für alle ${}P\in Y$ heißt Normalenfeld auf ${}Y$.

Definition:Orientierung (Hyperfläche)

Es sei ${}W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, ${}h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetig differenzierbare Funktion und ${}Y=h^{-1}(c)$ die Faser zu ${}c\in \mathbb {R}$, wobei ${}h$ in jedem Punkt von ${}Y$ regulär sei. Dann nennt man die Fixierung eines Einheitsnormalenfeldes auf ${}Y$ eine Orientierung von ${}Y$.

Definition:Gauß-Abbildung

Es sei ${}W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, ${}h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetig differenzierbare Funktion und ${}Y=h^{-1}(c)$ die Faser zu ${}c\in \mathbb {R}$, wobei ${}h$ in jedem Punkt von ${}Y$ regulär sei. Es sei eine Orientierung auf ${}Y$ fixiert. Dann heißt die Abbildung

$Y\longrightarrow S^{n-1},$

die jeden Punkt ${}P\in Y$ auf seinen durch die Orientierung fixierten Einheitsnormalenvektor abbildet, die Gauß-Abbildung zu ${}Y$.

Definition:Bogenparametrisierte Kurve

Eine differenzierbare Kurve

$f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ^{n},\,t\longmapsto f(t)=\left(f_{1}(t),\,\ldots ,\,f_{n}(t)\right),$

heißt bogenparametrisiert, wenn ${}f_{1}'(t)^{2}+\cdots +f_{n}'(t)^{2}=1$ für alle ${}t$ gilt.

Definition:Krümmungskreis

Es sei

$\gamma \colon I\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$

eine zweifach stetig differenzierbare bogenparametrisierte Kurve und ${}t_{0}\in I$, wobei die zweite Ableitung ${}\gamma ^{\prime \prime }(t_{0})$ nicht ${}0$ sei. Dann nennt man den Kreis mit dem Radius

${}r={\frac {1}{\vert {\gamma _{1}'(t_{0})\gamma _{2}^{\prime \prime }(t_{0})-\gamma _{2}'(t_{0})\gamma _{1}^{\prime \prime }(t_{0})}\vert }}\,$

und dem Mittelpunkt

${}M=\gamma (t_{0})+{\frac {1}{\gamma _{1}'(t_{0})\gamma _{2}^{\prime \prime }(t_{0})-\gamma _{2}'(t_{0})\gamma _{1}^{\prime \prime }(t_{0})}}{\begin{pmatrix}-\gamma _{2}'(t_{0})\\\gamma _{1}'(t_{0})\end{pmatrix}}\,$

den Krümmungskreis zu ${}\gamma$ in ${}t_{0}$.

Definition:Krümmung (ebene Kurve)

Es sei

$\gamma \colon I\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$

eine zweifach stetig differenzierbare bogenparametrisierte Kurve und ${}t_{0}\in I$. Dann nennt man

${}\kappa (t_{0})=\gamma _{1}'(t_{0})\gamma _{2}^{\prime \prime }(t_{0})-\gamma _{2}'(t_{0})\gamma _{1}^{\prime \prime }(t_{0})\,$

die Krümmung der Kurve in ${}t_{0}$.

Definition:Evolute

Es sei ${}\gamma \colon I\rightarrow \mathbb {R} ^{2}$ eine zweifach stetig differenzierbare Kurve mit ${}\gamma '(t)\neq 0$ für alle ${}t\in I$. Dann nennt man die Abbildung

$I\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto M(t),$

die ${}t$ auf den Mittelpunkt des Krümmungskreises zu ${}\gamma$ in ${}t$ abbildet, die Evolute zu ${}\gamma$.

Definition:Weingartenabbildung

Es sei ${}W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, ${}h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine zweifach stetig differenzierbare Funktion und ${}Y=h^{-1}(c)$ die Faser zu ${}c\in \mathbb {R}$, wobei ${}h$ in jedem Punkt von ${}Y$ regulär sei. Es sei ${}N$ ein Einheitsnormalenfeld und sei ${}P\in Y$. Dann nennt man

$L_{P}\colon T_{P}Y\longrightarrow T_{P}Y,\,v\longmapsto -{\left(D_{v}N\right)}{\left(P\right)},$

die Weingartenabbildung in ${}T_{P}Y$.

Definition:Hauptkrümmung

Es sei ${}W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, ${}h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetig differenzierbare Funktion und ${}Y=h^{-1}(c)$ die Faser zu ${}c\in \mathbb {R}$, wobei ${}h$ in jedem Punkt von ${}Y$ regulär sei. Es sei ${}P\in Y$. Dann nennt man jeden Eigenwert der Weingartenabbildung

$L_{P}\colon T_{P}Y\longrightarrow T_{P}Y,\,v\longmapsto -{\left(D_{v}N\right)}{\left(P\right)},$

eine Hauptkrümmung von ${}Y$ in ${}P$.

Definition:Hauptkrümmungsrichtung

Es sei ${}W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, ${}h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetig differenzierbare Funktion und ${}Y=h^{-1}(c)$ die Faser zu ${}c\in \mathbb {R}$, wobei ${}h$ in jedem Punkt von ${}Y$ regulär sei. Es sei ${}P\in Y$. Dann nennt man jeden Eigenvektor der Weingartenabbildung

$L_{P}\colon T_{P}Y\longrightarrow T_{P}Y,\,v\longmapsto -{\left(D_{v}N\right)}{\left(P\right)},$

eine Hauptkrümmungsrichtung von ${}Y$ in ${}P$.

Definition:Mittlere Krümmung

Es sei ${}W\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ offen, ${}h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine zweifach stetig differenzierbare Funktion und ${}Y=h^{-1}(c)$ die Faser zu ${}c\in \mathbb {R}$, wobei ${}h$ in jedem Punkt von ${}Y$ regulär sei und sei ${}P\in Y$. Dann nennt man das arithmetische Mittel ${}{\frac {\kappa _{1}+\kappa _{2}}{2}}$ der beiden Hauptkrümmungen in ${}P$ die mittlere Krümmung der Fläche ${}Y$ in ${}P$.

Definition:Gaußkrümmung

Es sei ${}W\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ offen, ${}h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine zweifach stetig differenzierbare Funktion und ${}Y=h^{-1}(c)$ die Faser zu ${}c\in \mathbb {R}$, wobei ${}h$ in jedem Punkt von ${}Y$ regulär sei und sei ${}P\in Y$. Dann nennt man das Produkt ${}\kappa _{1}\cdot \kappa _{2}$ der beiden Hauptkrümmungen in ${}P$ die Gaußkrümmung der Fläche ${}Y$ in ${}P$.

Definition:Normalkrümmung

Es sei ${}W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, ${}h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine zweimal stetig differenzierbare Funktion und ${}Y=h^{-1}(c)$ die Faser zu ${}c\in \mathbb {R}$, wobei ${}h$ in jedem Punkt von ${}Y$ regulär sei. Es sei ${}P\in Y$. Zu einem normierten Tangentialvektor ${}v\in T_{P}Y$ nennt man ${}\left\langle v,L_{P}(v)\right\rangle$ die Normalkrümmung von ${}Y$ in ${}P$ in Richtung ${}v$. Sie wird mit ${}\kappa (P,v)=\kappa (v)$ bezeichnet.

Definition:Normalebene

Es sei ${}W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, ${}h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine zweimal stetig differenzierbare Funktion und ${}Y=h^{-1}(c)$ die Faser zu ${}c\in \mathbb {R}$, wobei ${}h$ in jedem Punkt von ${}Y$ regulär sei. Es sei ${}P\in Y$. Es sei ${}v\in T_{P}Y$ ein von ${}0$ verschiedener Tangentenvektor und sei ${}u\in N_{P}Y$ ein von ${}0$ verschiedener Normalenvektor. Dann nennt man die Ebene ${}\mathbb {R} u+\mathbb {R} v$ eine Normalenebene zu ${}Y$ durch ${}P$.

Definition:Topologische Mannigfaltigkeit

Ein topologischer Hausdorff-Raum ${}M$ heißt eine topologische Mannigfaltigkeit der Dimension ${}n$, wenn es eine offene Überdeckung ${}M=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ derart gibt, dass jedes ${}U_{i}$ homöomorph zu einer offenen Teilmenge des ${}\mathbb {R} ^{n}$ ist.

Definition:Karte

Es sei ${}M$ eine topologische Mannigfaltigkeit. Dann nennt man jede Homöomorphie

$\varphi \colon U\longrightarrow V,$

wobei ${}U\subseteq M$ und ${}V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen sind, eine (topologische) Karte für ${}M$.

Definition:Übergangsabbildung

Es sei ${}M$ eine topologische Mannigfaltigkeit, es seien ${}U_{1},U_{2}\subseteq M$ offene Teilmengen und ${}\alpha _{1}\colon U_{1}\rightarrow V_{1}$ und ${}\alpha _{2}\colon U_{2}\rightarrow V_{2}$ seien Karten (mit $V_{1},V_{2}\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen). Dann heißt die Abbildung

$\alpha _{2}\circ \alpha _{1}^{-1}\colon \alpha _{1}(U_{1}\cap U_{2})\longrightarrow \alpha _{2}(U_{1}\cap U_{2})$

die Übergangsabbildung zu diesen Karten.

Definition:Differenzierbare Mannigfaltigkeit

Es seien ${}n\in \mathbb {N}$ und ${}k\in {\overline {\mathbb {N} }}_{+}$. Ein topologischer Hausdorff-Raum ${}M$ zusammen mit einer offenen Überdeckung ${}M=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ und Karten

$\alpha _{i}\colon U_{i}\longrightarrow V_{i}$

mit ${}V_{i}\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen derart, dass die Übergangsabbildungen

$\alpha _{j}\circ (\alpha _{i})^{-1}\colon V_{i}\cap \alpha _{i}(U_{i}\cap U_{j})\longrightarrow V_{j}\cap \alpha _{j}(U_{i}\cap U_{j})$

${}C^{k}$- Diffeomorphismen für alle ${}i,j\in I$ sind, heißt ${}C^{k}$-Mannigfaltigkeit oder differenzierbare Mannigfaltigkeit (der Dimension ${}n$ vom Differenzierbarkeitsgrad ${}k$). Die Menge der Karten ${}(U_{i},\alpha _{i})$, ${}i\in I$, nennt man auch den ${}C^{k}$-Atlas der Mannigfaltigkeit.

Definition:Offene Untermannigfaltigkeit

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Eine offene Teilmenge ${}U\subseteq M$, die mit den eingeschränkten Karten versehen ist, heißt offene Untermannigfaltigkeit.

Definition:Zusammenhängender topologischer Raum

Ein topologischer Raum ${}X$ heißt zusammenhängend, wenn es in ${}X$ genau zwei Teilmengen gibt (nämlich ${}\emptyset$ und der Gesamtraum $X\neq \emptyset$), die sowohl offen als auch abgeschlossen sind.

Definition:Differenzierbare Abbildung (Mannigfaltigkeit)

Es seien ${}L$ und ${}M$ zwei ${}C^{k}$-Mannigfaltigkeiten mit Atlanten ${}(U_{i},U_{i}',\alpha _{i},i\in I)$ und ${}(V_{j},V_{j}',\beta _{j},j\in J)$. Es sei ${}1\leq \ell \leq k$. Eine stetige Abbildung

$\varphi \colon L\longrightarrow M$

heißt eine ${}C^{\ell }$-differenzierbare Abbildung, wenn für alle ${}i\in I$ und alle ${}j\in J$ die Abbildungen

$\beta _{j}\circ \varphi \circ (\alpha _{i})^{-1}\colon \alpha _{i}(\varphi ^{-1}(V_{j})\cap U_{i})\longrightarrow V_{j}'$

${}C^{\ell }$-differenzierbar sind.

Definition:Diffeomorphismus (Mannigfaltigkeit)

Es seien ${}L$ und ${}M$ zwei ${}C^{k}$- Mannigfaltigkeiten. Ein Homöomorphismus

$\varphi \colon L\longrightarrow M$

heißt ein ${}C^{k}$-Diffeomorphismus, wenn sowohl ${}\varphi$ als auch ${}\varphi ^{-1}$ ${}C^{k}$- Abbildungen sind.

Definition:Diffeomorphe Mannigfaltigkeiten

Zwei ${}C^{k}$- Mannigfaltigkeiten ${}L$ und ${}M$ heißen ${}C^{k}$-diffeomorph, wenn es zwischen ihnen einen ${}C^{k}$- Diffeomorphismus gibt.

Definition:Tangential äquivalente Kurven

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und ${}P\in M$ ein Punkt. Es seien

$\gamma _{1}\colon I_{1}\longrightarrow M$

und

$\gamma _{2}\colon I_{2}\longrightarrow M$

zwei auf offenen Intervallen ${}0\in I_{1},I_{2}\subseteq \mathbb {R}$ definierte differenzierbare Kurven mit ${}\gamma _{1}(0)=P=\gamma _{2}(0)$. Dann heißen ${}\gamma _{1}$ und ${}\gamma _{2}$ tangential äquivalent in ${}P$, wenn es eine offene Umgebung ${}P\in U$ und eine Karte

$\alpha \colon U\longrightarrow V$

mit ${}V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ derart gibt, dass

${}{\left(\alpha \circ {\left(\gamma _{1}{|}_{\gamma _{1}^{-1}(U)}\right)}\right)}'(0)={\left(\alpha \circ {\left(\gamma _{2}{|}_{\gamma _{2}^{-1}(U)}\right)}\right)}'(0)\,$

gilt.

Definition:Tangentialvektor

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und ${}P\in M$ ein Punkt. Unter einem Tangentialvektor an ${}P$ versteht man eine Äquivalenzklasse von tangential äquivalenten differenzierbaren Kurven durch ${}P$. Die Menge dieser Tangentialvektoren wird mit

$T_{P}M$

bezeichnet.

Definition:Tangentialraum

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und ${}P\in M$ ein Punkt. Unter dem Tangentialraum an ${}P$, geschrieben ${}T_{P}M$, versteht man die Menge der Tangentialvektoren an ${}P$ versehen mit der durch eine beliebige Karte gegebenen reellen Vektorraumstruktur.

Definition:Kotangentialraum

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und ${}P\in M$ ein Punkt. Den Dualraum des Tangentialraumes

${}T_{P}M$ an ${}P$ nennt man den Kotangentialraum an ${}P$. Er wird mit

$T_{P}^{*}M$

bezeichnet.

Definition:Tangentialabbildung (in einem Punkt)

Es seien ${}M$ und ${}N$ differenzierbare Mannigfaltigkeiten und es sei

$\varphi \colon M\longrightarrow N$

eine differenzierbare Abbildung. Es sei ${}P\in M$ und ${}Q=\varphi (P)$. Dann nennt man die Abbildung

$T_{P}M\longrightarrow T_{\varphi (P)}N,\,[\gamma ]\longmapsto [\varphi \circ \gamma ],$

die zugehörige Tangentialabbildung im Punkt ${}P$. Sie wird mit ${}T_{P}(\varphi )$ bezeichnet.

Definition:Kotangentialabbildung

Es seien ${}M$ und ${}N$ differenzierbare Mannigfaltigkeiten und

$\varphi \colon M\longrightarrow N$

eine differenzierbare Abbildung. Es sei ${}P\in M$ und ${}Q=\varphi (P)$. Dann nennt man die zur Tangentialabbildung

$T_{P}(\varphi )\colon T_{P}M\longrightarrow T_{Q}N$

duale Abbildung

$T_{Q}^{*}N\longrightarrow T_{P}^{*}M,\,h\longmapsto h\circ T_{P}(\varphi ),$

die Kotangentialabbildung im Punkt ${}P$. Sie wird mit ${}T_{P}^{*}(\varphi )$ bezeichnet.

Definition:Regulärer Punkt

Es seien ${}L$ und ${}M$ differenzierbare Mannigfaltigkeiten und sei

$\varphi \colon L\longrightarrow M$

eine differenzierbare Abbildung. Dann heißt ${}\varphi$ im Punkt ${}Q\in L$ regulär (und ${}Q$ ein regulärer Punkt für ${}\varphi$), wenn die Tangentialabbildung

$T_{Q}(\varphi )\colon T_{Q}L\longrightarrow T_{\varphi (Q)}M$

im Punkt ${}Q$ maximalen Rang besitzt.

Definition:Abgeschlossene Untermannigfaltigkeit

Es sei ${}N$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit der Dimension ${}n$ und ${}M\subseteq N$ eine abgeschlossene Teilmenge. Dann heißt ${}M$ eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit der Dimension ${}m$ von ${}N$, wenn es zu jedem Punkt ${}P\in M$ eine Karte

$\theta \colon W\longrightarrow W'$

gibt mit ${}P\in W\subseteq N$ offen, ${}W'\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen und mit

${}M\cap W=\theta ^{-1}((\mathbb {R} ^{m}\times \{0\})\cap W')\,.$

Definition:Tangentialbündel

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Dann nennt man die Menge

${}TM=\biguplus _{P\in M}T_{P}M\,,$

versehen mit der Projektionsabbildung

$\pi \colon TM\longrightarrow M,\,(P,v)\longmapsto P,$

das Tangentialbündel von ${}M$.

Definition:Tangentialabbildung

Es seien ${}M$ und ${}N$ differenzierbare Mannigfaltigkeiten und

$\varphi \colon M\longrightarrow N$

eine differenzierbare Abbildung. Es seien ${}TM$ und ${}TN$ die zugehörigen Tangentialbündel. Dann versteht man unter der Tangentialabbildung

$T(\varphi )\colon TM\longrightarrow TN$

die disjunkte Vereinigung der Tangentialabbildungen in den einzelnen Punkten, also

${}T(\varphi )=\biguplus _{P\in M}T_{P}(\varphi )\,.$

Definition:Tangentialbündel (mit Topologie)

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit der Dimension ${}n$ und

${}TM=\biguplus _{P\in M}T_{P}M\,$

das Tangentialbündel, versehen mit der Projektionsabbildung

$\pi \colon TM\longrightarrow M,\,(P,v)\longmapsto P.$

Das Tangentialbündel wird mit derjenigen Topologie versehen, bei der eine Teilmenge ${}W\subseteq TM$ genau dann offen ist, wenn für jede Karte

$\alpha \colon U\longrightarrow V$

die Menge ${}(T(\alpha )){\left(W\cap \pi ^{-1}(U)\right)}$ offen in ${}V\times \mathbb {R} ^{n}$ ist.

Definition:Vektorfeld (Mannigfaltigkeit)

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Eine Abbildung

$F\colon M\longrightarrow TM$

mit der Eigenschaft, dass ${}F(P)\in T_{P}M$ für jeden Punkt ${}P\in M$ ist, heißt (zeitunabhängiges) Vektorfeld.

Definition:Kotangentialbündel

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Dann nennt man die Menge

${}T^{*}M=\biguplus _{P\in M}T_{P}^{*}M\,,$

versehen mit der Projektionsabbildung

$\pi \colon T^{*}M\longrightarrow M,\,(P,u)\longmapsto P,$

und derjenigen Topologie, bei der eine Teilmenge ${}W\subseteq T^{*}M$ genau dann offen ist, wenn für jede Karte

$\alpha \colon U\longrightarrow V$

die Menge ${}(T^{*}(\alpha ))^{-1}{\left(W\cap \pi ^{-1}(U)\right)}$ offen in ${}V\times (\mathbb {R} ^{n})^{*}$ ist, das Kotangentialbündel von ${}M$.

Definition:Produkt von Mannigfaltigkeiten

Es seien ${}M$ und ${}N$ zwei differenzierbare Mannigfaltigkeiten mit den Atlanten ${}(U_{i},U_{i}',\alpha _{i},i\in I)$ und ${}(V_{j},V_{j}',\beta _{j},j\in J)$. Dann nennt man den Produktraum ${}M\times N$ mit den Karten

$\alpha _{i}\times \beta _{j}\colon U_{i}\times V_{j}\longrightarrow U_{i}'\times V_{j}'$

(mit ${}(i,j)\in I\times J$ und ${}U_{i}'\times V_{j}'\subseteq \mathbb {R} ^{m}\times \mathbb {R} ^{n}$) das Produkt der Mannigfaltigkeiten ${}M$ und ${}N$.

Definition:Äußere Potenz

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum. Man nennt den (in Konstruktion Anhang 2.1 konstruierten) ${}K$-Vektorraum ${}\bigwedge ^{n}V$ die ${}n$-te äußere Potenz (oder das ${}n$-te Dachprodukt) von ${}V$. Die Abbildung

$V^{n}\longrightarrow \bigwedge ^{n}V,\,(v_{1},\ldots ,v_{n})\longmapsto v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{n},$

nennt man die universelle alternierende Abbildung.

Definition:Differentialoperator erster Ordnung

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Eine Abbildung

$D\colon C^{1}(M,\mathbb {R} )\longrightarrow C^{0}(M,\mathbb {R} )$

heißt Differentialoperator erster Ordnung, wenn sie folgende Eigenschaften erfüllt.

1. ${}D$ ist ${}\mathbb {R}$- linear.
2. Es ist ${}D(fg)=fD(g)+gD(f)$.

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Definition:Orientierungsgleiche Basen

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum. Man nennt zwei Basen ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ und ${}w_{1},\ldots ,w_{n}$ orientierungsgleich, wenn die Determinante ihrer Übergangsmatrix positiv ist.

Definition:Orientierung (Vektorraum)

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum. Eine Orientierung auf ${}V$ ist eine Äquivalenzklasse von Basen von ${}V$ unter der Äquivalenzrelation, orientierungsgleich zu sein.

Definition:Orientierter Vektorraum

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum. Er heißt orientiert, wenn auf ihm eine Orientierung erklärt ist.

Definition:Orientierungstreue lineare Abbildung

Es seien ${}V$ und ${}W$ zwei endlichdimensionale orientierte reelle Vektorräume. Eine bijektive lineare Abbildung

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

heißt orientierungstreu, wenn für jede Basis ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$, die die Orientierung auf ${}V$ repräsentiert, die Bildvektoren ${}\varphi (v_{1}),\ldots ,\varphi (v_{n})$ die Orientierung auf ${}W$ repräsentieren.

Definition:Orientierte Karte

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Eine Karte

$\alpha \colon U\longrightarrow V$

mit ${}U\subseteq M$ und ${}V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen heißt orientiert, wenn der ${}\mathbb {R} ^{n}$ orientiert ist.

Definition:Orientierungstreuer Kartenwechsel

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und es seien ${}(U_{1},V_{1},\alpha _{1})$ und ${}(U_{2},V_{2},\alpha _{2})$ orientierte Karten. Dann heißt der zugehörige Kartenwechsel

$\psi =\alpha _{2}\circ \alpha _{1}^{-1}\colon \alpha _{1}(U_{1}\cap U_{2})\longrightarrow \alpha _{2}(U_{1}\cap U_{2})$

orientierungstreu, wenn für jeden Punkt ${}Q\in \alpha _{1}(U_{1}\cap U_{2})$ das totale Differential

$\left(D\psi \right)_{Q}\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

orientierungstreu ist.

Definition:Orientierte Mannigfaltigkeit

Eine differenzierbare Mannigfaltigkeit ${}M$ mit einem Atlas ${}(U_{i},V_{i},\alpha _{i})$ heißt orientiert, wenn jede Karte orientiert ist und wenn sämtliche Kartenwechsel orientierungstreu sind.

Definition:Kompakt (Überdeckungskompakt)

Ein topologischer Raum ${}X$ heißt kompakt (oder überdeckungskompakt), wenn es zu jeder offenen Überdeckung

$X=\bigcup _{i\in I}U_{i}\,\,\,{\text{ mit }}U_{i}{\text{ offen und einer beliebigen Indexmenge }}I$

eine endliche Teilmenge ${}J\subseteq I$ derart gibt, dass

${}X=\bigcup _{i\in J}U_{i}\,$

ist.

Definition:Differentialform vom Grad ${}k$

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Eine ${}k$-Differentialform (oder ${}k$-Form oder Form vom Grad ${}k$) ist ein Schnitt im ${}k$-fachen Dachprodukt des Kotangentialbündels, also eine Abbildung

$\omega \colon M\longrightarrow \bigwedge ^{k}T^{*}M,\,P\longmapsto \omega (P),$

mit ${}\omega (P)\in \bigwedge ^{k}T_{P}^{*}M$.

Definition:Zurückgezogene Form

Es seien ${}L$ und ${}M$ differenzierbare Mannigfaltigkeiten und es sei

$\varphi \colon L\longrightarrow M$

eine differenzierbare Abbildung. Es sei ${}\omega$ eine ${}k$-Differentialform auf ${}M$. Dann nennt man die ${}k$-Form auf ${}L$, die der durch

$(P,v_{1},\ldots ,v_{k})\longmapsto \omega (\varphi (P),T_{P}(\varphi )(v_{1}),\ldots ,T_{P}(\varphi )(v_{k}))$

gegebenen alternierenden Abbildung entspricht, die mit ${}\varphi$ zurückgezogene ${}k$-Form. Sie wird mit

$\varphi ^{*}\omega$

bezeichnet.

Definition:Positive Volumenform

Es sei ${}M$ eine ${}n$- dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit und ${}\omega$ eine messbare ${}n$- Differentialform auf ${}M$. Dann heißt ${}\omega$ eine positive Volumenform, wenn für jede Karte (eines gegebenen Atlases)

$\alpha \colon U\longrightarrow V$

(mit ${}V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ und Koordinatenfunktionen $x_{1},\ldots ,x_{n}$) in der lokalen Darstellung der Differentialform

${}\alpha _{*}\omega =fdx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}\,$

die Funktion ${}f$ überall positiv ist.

Definition:Volumenmaß zu positiver Form

Es sei ${}M$ eine ${}n$- dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit mit einer abzählbaren Basis der Topologie und es sei ${}\omega$ eine positive Volumenform auf ${}M$. Dann heißt die für jede Borelmenge ${}T\subseteq M$ durch eine abzählbare Zerlegung ${}T=\biguplus _{i\in I}T_{i}$ (wobei ${}T_{i}\subseteq U_{i}$ ein offenes Kartengebiet und ${}\alpha _{i*}\omega =f_{i}dx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}$ ist) definierte Zahl

${}\int _{T}\omega =\sum _{i\in I}\int _{\alpha _{i}(T_{i})}f_{i}\,d\lambda ^{n}\,$

(aus ${}{\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}$) das Maß von ${}T$ zu ${}\omega$ oder das Integral von ${}\omega$ über ${}T$.

Definition:Wegintegral

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und ${}\omega \in {\mathcal {E}}^{1}(M)$ eine ${}1$- Differentialform. Es sei

$\gamma \colon [a,b]\longrightarrow M$

eine stetig differenzierbare Kurve. Dann heißt

${}\int _{\gamma }\omega :=\int _{[a,b]}\gamma ^{*}\omega =\int _{a}^{b}\omega (\gamma (t);\gamma '(t))\,dt\,$

das Wegintegral von ${}\omega$ längs ${}\gamma$.

Definition:Riemannsche Mannigfaltigkeit

Eine differenzierbare Mannigfaltigkeit ${}M$ heißt riemannsche Mannigfaltigkeit, wenn auf jedem Tangentialraum ${}T_{P}M$, ${}P\in M$, ein Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle _{P}$ erklärt ist derart, dass für jede Karte

$\alpha \colon U\longrightarrow V$

mit ${}V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ die Funktionen (für ${}1\leq i,j\leq n$)

$g_{ij}\colon V\longrightarrow \mathbb {R} ,\,Q\longmapsto g_{ij}(Q)=\left\langle T(\alpha ^{-1})(e_{i}),T(\alpha ^{-1})(e_{j})\right\rangle _{\alpha ^{-1}(Q)},$

${}C^{1}$- differenzierbar sind.

Definition:Kanonische Volumenform

Es sei ${}M$ eine orientierte riemannsche Mannigfaltigkeit der Dimension ${}n$. Zu ${}P\in M$ sei ${}\omega _{P}$ diejenige alternierende Form auf ${}T_{P}M$ (bzw. das entsprechende Element aus $\bigwedge ^{n}T_{P}^{*}M$), die jeder die Orientierung repräsentierenden Orthonormalbasis den Wert ${}1$ zuordnet. Dann heißt die ${}n$- Differentialform

$M\longrightarrow \bigwedge ^{n}T^{*}M,\,P\longmapsto \omega _{P},$

die kanonische Volumenform auf ${}M$.

Definition:Lokale Isometrie

Es seien ${}L$ und ${}M$ riemannsche Mannigfaltigkeiten. Eine differenzierbare Abbildung ${}\varphi \colon L\rightarrow M$ heißt lokale Isometrie, wenn für jeden Punkt ${}P\in L$ die Tangentialabbildung

$T_{P}\varphi \colon T_{P}L\longrightarrow T_{\varphi (P)}M$

eine Isometrie bezüglich der gegebenen Skalarprodukte ist.

Definition:Isometrie (riemannsche Mannigfaltigkeit)

Es seien ${}L$ und ${}M$ riemannsche Mannigfaltigkeiten. Eine differenzierbare Abbildung ${}\varphi \colon L\rightarrow M$ heißt Isometrie, wenn sie ein Diffeomorphismus ist und wenn sie lokal eine Isometrie ist.

Definition:Zweite Fundamentalmatrix

Es sei ${}W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, ${}f\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine zweifach stetig differenzierbare Funktion und ${}Y=f^{-1}(c)$ die Faser zu ${}c\in \mathbb {R}$, wobei ${}f$ in jedem Punkt von ${}Y$ regulär sei. Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow Y,$

${}V\subseteq \mathbb {R} ^{n-1}$, eine zweifach differenzierbare Parametrisierung einer offenen Menge ${}U\subseteq Y$ mit den Parametern ${}u_{1},\ldots ,u_{n-1}$. Es sei ${}Y$ durch ein Einheitsnormalenfeld ${}N$ orientiert, wobei wir ${}N$ als Feld auf ${}V$ auffassen. Dann setzt man

${}h_{ij}=\left\langle \partial _{i}\partial _{j}\varphi ,N\right\rangle \,.$

Die zweite Fundamentalmatrix zu ${}\varphi$ ist die (von ${}Q\in V$) abhängige Matrix

${}H={\left(h_{ij}\right)}_{1\leq i,j\leq n-1}\,.$

Definition:Äußere Ableitung von Differentialformen (lokaler Fall)

Es sei ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen und es sei ${}\omega \in {\mathcal {E}}^{k}(U)$ eine stetig differenzierbare ${}k$- Differentialform mit der Darstellung

${}\omega =\sum _{I\subseteq \{1,\ldots ,n\},\,{\#\left(I\right)}=k}f_{I}dx_{I}\,$

mit stetig differenzierbaren Funktionen

$f_{I}\colon U\longrightarrow \mathbb {R} .$

Dann nennt man die ${}(k+1)$-Form

${}d\omega =\sum _{I\subseteq \{1,\ldots ,n\},\,{\#\left(I\right)}=k}df_{I}\wedge dx_{I}=\sum _{I\subseteq \{1,\ldots ,n\},\,{\#\left(I\right)}=k}{\left(\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial f_{I}}{\partial x_{j}}}dx_{j}\right)}\wedge dx_{I}\,$

die äußere Ableitung von ${}\omega$.

Definition:Äußere Ableitung (Mannigfaltigkeit)

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Dann definiert man zu einer differenzierbaren Differentialform ${}\omega \in {\mathcal {E}}_{1}^{k}(M)$ die äußere Ableitung ${}d\omega \in {\mathcal {E}}_{0}^{k+1}(M)$ unter Bezugnahme auf den lokalen Fall und Karten

$\alpha \colon U\longrightarrow V$

(${}U\subseteq M$ und ${}V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen) durch

${}(d\omega ){|}_{U}=d{\left(\omega {|}_{U}\right)}=\alpha ^{*}{\left(d{\left(\alpha ^{-1*}{\left(\omega {|}_{U}\right)}\right)}\right)}\,.$

Definition:Geschlossene Differentialform

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Eine differenzierbare Differentialform ${}\omega$ auf ${}M$ heißt geschlossen, wenn ihre äußere Ableitung ${}d\omega =0$ ist.

Definition:Exakte Differentialform

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Eine ${}k$- Differentialform ${}\omega$ auf ${}M$ heißt exakt, wenn es eine differenzierbare ${}(k-1)$-Differentialform ${}\sigma$ auf ${}M$ mit ${}d\sigma =\omega$ gibt.

Definition:Euklidischer Halbraum

Unter dem euklidischen Halbraum der Dimension ${}n$ versteht man die Menge

${}H={\left\{x\in \mathbb {R} ^{n}\mid x_{1}\geq 0\right\}}\,$

mit der induzierten Topologie.

Definition:Stetig differenzierbare Abbildung (Halbraum)

Es sei ${}U\subseteq H$ eine offene Teilmenge in einem euklidischen Halbraum ${}H\subseteq \mathbb {R} ^{n}$, ${}P\in U$ sei ein Punkt und es sei

$\varphi \colon U\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}$

eine Abbildung. Dann heißt ${}\varphi$ stetig differenzierbar in ${}P$, wenn es eine offene Umgebung ${}P\in V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ und eine stetig differenzierbare Funktion

${\tilde {\varphi }}\colon V\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}$

mit ${}{\tilde {\varphi }}{|}_{U\cap V}=\varphi {|}_{U\cap V}$ gibt.

Definition:Differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Rand

Es seien ${}n\in \mathbb {N}$ und ${}k\in {\overline {\mathbb {N} }}_{+}$. Ein topologischer Hausdorff-Raum ${}M$ zusammen mit einer offenen Überdeckung ${}M=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ und Karten

$\alpha _{i}\colon U_{i}\longrightarrow V_{i},$

wobei die ${}V_{i}\subseteq H\subset \mathbb {R} ^{n}$ offene Mengen im euklidischen Halbraum ${}H$ der Dimension ${}n$ sind, und mit der Eigenschaft, dass die Übergangsabbildungen

$\alpha _{j}\circ \alpha _{i}^{-1}\colon V_{i}\cap \alpha _{i}(U_{i}\cap U_{j})\longrightarrow V_{j}\cap \alpha _{j}(U_{i}\cap U_{j})$

${}C^{k}$-Diffeomorphismen sind, heißt ${}C^{k}$-Mannigfaltigkeit mit Rand oder differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Rand (vom Grad ${}k$), oder berandete Mannigfaltigkeit. Die Menge der Karten ${}(U_{i},\alpha _{i})$, ${}i\in I$, nennt man auch den ${}C^{k}$-Atlas der berandeten Mannigfaltigkeit.

Definition:Rand einer berandeten Mannigfaltigkeit

Es sei ${}M$ eine Mannigfaltigkeit mit Rand. Dann ist der Rand von ${}M$, geschrieben ${}\partial M$, durch

${}\partial M={\left\{x\in M\mid \alpha _{i}(x)\in \partial H\cap V_{i}{\text{ für }}{\text{ein }}i\in I\right\}}\,$

definiert, wobei ${}\alpha _{i}$ Karten sind.

Definition:Offenes Innere

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum und ${}T\subseteq X$ eine Teilmenge. Dann heißt

${}T^{o}=\bigcup _{U{\text{ offen}},\,U\subseteq T}U\,$

das offene Innere (oder Innere) von ${}T$.

Definition:Topologischer Abschluss

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum und ${}T\subseteq X$ eine Teilmenge. Dann heißt

${}{\overline {T}}=\bigcap _{A{\text{ abgeschlossen}},\,T\subseteq A}A\,$

der Abschluss (oder topologische Abschluss) von ${}T$.

Definition:Träger einer Funktion

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum und

$f\colon X\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion. Dann heißt der topologische Abschluss

${\overline {\left\{x\in X\mid f(x)\neq 0\right\}}}$

der Träger von ${}f$.

Definition:Kompakte Ausschöpfung

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum. Eine kompakte Ausschöpfung ${}A_{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$, von ${}X$ ist eine Folge von kompakten Teilmengen ${}A_{n}\subseteq X$ mit

$A_{n}\subseteq A_{n+1}^{o}{\text{ und }}\bigcup _{n=0}^{\infty }A_{n}=X.$

Definition:Einer Überdeckung untergeordnete Partition der Eins

Es sei ${}X=\bigcup _{i\in I}W_{i}$ eine offene Überdeckung eines topologischen Raumes ${}X$. Eine Partition der Eins

$h_{j}\colon X\longrightarrow \mathbb {R}$

mit ${}j\in J$ heißt eine der Überdeckung untergeordnete Partition der Eins, wenn es für jedes ${}j\in J$ eine offene Menge ${}W_{i(j)}$ aus der Überdeckung derart gibt, dass der Träger von ${}h_{j}$ in ${}W_{i(j)}$ liegt.

Definition:Vertikalbündel

Es sei ${}p\colon E\rightarrow X$ ein differenzierbares Vektorbündel auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit ${}X$. Das Kernbündel des surjektiven Bündelhomomorphismus

$T(p)\colon TE\longrightarrow p^{*}TX$

über ${}E$ heißt Vertikalbündel. Es wird mit ${}V$ bezeichnet.

Definition:Zusammenhang (Vektorbündel)

Es sei ${}X$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und ${}E$ ein differenzierbares Vektorbündel auf ${}X$. Unter einem Zusammenhang auf ${}E$ versteht man eine direkte Summenzerlegung des Tangentialbündels ${}TE=V\oplus H$ in zwei Untervektorbündel ${}V$ und ${}H$, wobei ${}V\subseteq TE$ das Vertikalbündel ist. Das Unterbündel ${}H\subseteq TE$ nennt man das Horizontalbündel des Zusammenhangs.

Definition:Vertikale Ableitung

Es sei ${}X$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und ${}E$ ein differenzierbares Vektorbündel auf ${}X$, das mit einem Zusammenhang versehen sei. Unter der vertikalen Ableitung ${}\nabla$ versteht man die Abbildung

$\nabla \colon C^{1}(E)\longrightarrow C^{0}(E\otimes T^{*}X),\,s\longmapsto \nabla (s)=\pi _{\text{vert}}\circ T(s).$