Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2020)/Woche 3/Rückmeldung

Rückmeldung zur dritten Woche

5.29: Die Multiplikation mit Elementen aus ${}\mathbb {Z}$ ist nur eine Abkürzung für die Addition und darf somit an den Anfang des Terms gezogen werden, auch wenn der Ring nicht kommutativ ist, also Zahlen darf man immer vorbeiziehen. Beispielsweise ist

{}3x\cdot 2y=(x+x+x)(y+y)=(xy+xy+xy+xy+xy+xy)=6xy\,.

5.30: wurde selten bearbeitet. Lösungshinweis zur Dimensionsbestimmung: Man kann $v$ zu einer Basis ergänzen und die Elemente aus $R(v)$ als Matrizen bzgl. dieser Basis darstellen.

5.31: Es wurde häufiger durch $a$ geteilt. Da in einem Ring (insb. $\Z$) i.d.R. keine Inverse bzgl $\cdot$ existiert, ist dies aber nicht möglich. Stattdessen kann man in dieser Aufgabe die Nullteilerfreiheit von $\Z$ ausnutzen, um zur Lösung zu kommen. In einem gewissen Sinn hängen die Sachen aber zusammen. Zu einem nullteilerfreien Ring kann man stets einen Körper konstruieren, in den man den Ring als Unterring realisieren kann (das haben wir aber nicht behandelt). In dem Körper kann man dann dividieren und daraus Rückschlüsse auf den Ring selbst machen.

5.32: Wurde sehr häufig bearbeitet und richtig gelöst, allerdings waren die Begründungen teilweise unklar oder unvollständig.

5.33: Lief sehr gut.

5.34: Wurde erstaunlicherweise selten bearbeitet. Wenn sie bearbeitet wurde, dann auch fast immer richtig. Das ist eine direkte Anwendung zu Lemma 5.3, nur etwas anders, nämlich als Abbildung, formuliert.

6.33-36: Liefen sehr gut.

6.36: Lief gut. Teilweise wurde bei 2. $y\leq 1$ statt $\vert{ y }\vert \leq 1$ gefolgert.

6.37: Selten bearbeitet, aber wenn, dann gut.

6.38: Wurde häufig falsch verstanden, die Aufgabe ist wie Aufgabe 6.32 zu verstehen, siehe den kommentar dort. Die Lösungen sahen bspw. so aus: "Papier schlägt Stein und verliert gegen Schere etc.". Gefordert waren charakterisierende Ausdrücke ohne direkte Benennungen. Wenn $xRy$ bedeutet, dass $x$ gegen $y$ gewinnt, wäre eine mögliche Charakterisierung von Papier $\exists a,b,c:a\neq b\land xRa\land xRb\land aRc\land bRc$ . Nochmal zur Idee dahinter: Malen Sie die Objekte hin, dann die Gewinnstruktur (das Gewinnpfeildiagramm) hin und dann löschen Sie die Objekte. Können Sie aus dem Gewinndiagramm rekonstruieren, wo welches Objekt steht?

6.39: Wurde fast nie bearbeitet, nur weil zur Zeit kein Fußball ist. Manchmal wurde ein Unentschieden als möglicher Ausgang vergessen.