Kurs:Einführung in die Algebra (Osnabrück 2009)/1/Klausur/latex

\setcounter{section}{0}




\inputaufgabegibtloesung
{4}
{

Beweise mittels der Division mit Rest, dass jede Untergruppe $H$ von $\Z$ die Gestalt $H= \Z d$ mit einem $d \in \N$ besitzt.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4}
{

Es seien $n,m \in \Z$ ganze Zahlen. Zeige, dass $n$ genau dann ein Teiler von $m$ ist, wenn es einen Ringhomomorphismus \maabbdisp {} {\Z/(m) } { \Z/(n) } {} gibt. Zeige durch ein Beispiel, dass es einen injektiven Gruppenhomomorphismus \maabbdisp {} {\Z/(m) } { \Z/(n) } {} geben kann, ohne dass $n$ ein Teiler von $m$ ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

(a) Bestimme für die Zahlen $2$, $9$ und $25$ modulare Basislösungen, finde also die kleinsten positiven Zahlen, die in
\mathdisp {\Z/(2) \times \Z/(9) \times \Z/(25)} { }
die Restetupel $(1,0,0),\, (0,1,0)$ und $(0,0,1)$ repräsentieren.

(b) Finde mit den Basislösungen die kleinste positive Lösung $x$ der simultanen Kongruenzen
\mathdisp {x = 0 \!\! \mod 2 , \, \, \, \, x = 3 \!\! \mod 9 \text{ und } x = 5 \!\! \mod 25} { . }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Wie viele Elemente besitzt die von der Drehung um $45$ Grad, von der Drehung um $99$ Grad und von der Zwölfteldrehung \definitionsverweis {erzeugte Untergruppe}{}{} der Drehgruppe $\operatorname{SO}_{2}$?

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f }
{ \in }{ R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Charakterisiere mit Hilfe der Multiplikationsabbildung \maabbeledisp {\mu_f} {R} {R } {g} {fg } {,} wann $f$ ein \definitionsverweis {Nichtnullteiler}{}{} und wann $f$ eine \definitionsverweis {Einheit}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{6 (2+1+1+2)}
{

Betrachte den Würfel






\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Snijden_kruisen_evenwijdig.png} }
\end{center}
\bildtext {} }

\bildlizenz { Snijden kruisen evenwijdig.png } {} {MADe} {nl.wikipedia} {cc-by-sa 3.0} {}


Es sei $\alpha$ diejenige Drehung am Würfel um die Achse durch die Eckpunkte \mathkor {} {A} {und} {G} {,} die den Eckpunkt $B$ auf $D$ schickt, und es sei $\beta$ die Halbdrehung um die vertikale Achse \zusatzklammer {also die Gerade, die durch den Mittelpunkt der Seitenfläche $A,B,C,D$ und den Mittelpunkt der Seitenfläche $E,F,G,H$ läuft} {} {.}

a) Man gebe eine Wertetabelle für die Permutationen auf der Eckpunktmenge $\{A,B,C,D,E,F,G,H\}$, die durch $\alpha, \beta, \alpha \beta$ und $\beta \alpha$ bewirkt werden.

b) Bestimme die Drehachse von $\alpha \beta$ und von $\beta \alpha$ sowie die Ordnung dieser Drehungen.

c) Man gebe die Zykeldarstellung der von $\alpha^2$ bewirkten Permutation auf der Eckpunktmenge an. Was ist $\alpha^{1001}$?

d) Man betrachte die Permutation $\sigma$, die auf der Eckpunktmenge durch die Wertetabelle \wertetabelleachtausteilzeilen { $x$ }
{\mazeileundfuenf {A} {B} {C} {D} {E} }
{\mazeileunddrei {F} {G} {H } }
{ $\sigma(x)$ }
{\mazeileundfuenf {B} {C} {D} {A} {G} }
{\mazeileunddrei {H} {E} {F} } gegeben ist. Gibt es eine Drehung des Würfels, die diese Permutation bewirkt? Berechne das Signum von $\sigma$.

}
{} {}

Die nächste Aufgabe verwendet die folgende Definition.


Ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} heißt \definitionswort {angeordnet}{,} wenn es eine \definitionsverweis {totale Ordnung}{}{} $\geq$ auf $R$ gibt, die die beiden Eigenschaften \aufzaehlungzwei {Aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ \geq }{b }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} folgt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a+c }
{ \geq }{b+c }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für beliebige
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a,b,c }
{ \in }{R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} } {Aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ \geq }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b }
{ \geq }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} folgt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ab }
{ \geq }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für beliebige
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a,b }
{ \in }{R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} } erfüllt.


Die Schreibweise $a>b$ bedeutet $a \geq b$ und $a \neq b$. Die Schreibweise $a \leq b$ bedeutet $b \geq a$.




\inputaufgabegibtloesung
{10}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {angeordneter Integritätsbereich}{}{.}

a) Zeige, dass aus $ca \geq cb$ mit $c>0$ folgt, dass $a \geq b$ ist.

b) Zeige, dass $1>0$ in $R$ gilt.

c) Zeige, dass aus $a<0$ die Eigenschaft $-a>0$ folgt.

d) Es sei $K=Q(R)$ der \definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{} von $R$. Definiere eine Ordnungsrelation $\geq$ auf $K$, die auf $R \subseteq K$ mit der vorgegebenen Ordnung übereinstimmt, und die $K$ zu einem angeordneten Körper macht.

}
{} {(Tipp: es empfiehlt sich, die Nenner positiv anzusetzen).}




\inputaufgabegibtloesung
{5}
{

Bestimme die Primfaktorzerlegung des Polynoms $X^6-1$ über den \definitionsverweis {Körpern}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K }
{ = }{\Q, \R, {\mathbb C}, \Z/(7) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mathl{\Z/(5)}{.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Betrachte den Körper
\mathl{K=\mathbb F_4= \Z/(2)[U]/(U^2+U+1)}{.} Führe im Polynomring $K[X]$ die Polynomdivision
\mathdisp {X^4 +uX^3+ (u+1) X+1\text{ durch } uX^2+X+u+1} { }
aus, wobei $u$ die Restklasse von $U$ in $K$ bezeichnet.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{6}
{

Es sei $\mathbb F_q$ ein endlicher Körper der Charakteristik ungleich $2$. Zeige unter Verwendung der Isomorphiesätze, dass genau die Hälfte der Elemente aus $\mathbb F_q^{\times}$ ein Quadrat in $\mathbb F_q$ ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4}
{

Beschreibe den \definitionsverweis {Körper}{}{} mit neun Elementen $\mathbb F_9$ als einen \definitionsverweis {Restklassenkörper}{}{} von
\mathl{\Z/(3)[X]}{.} Man gebe eine \definitionsverweis {primitive Einheit}{}{} in $\mathbb F_9$ an.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Schreibe den \definitionsverweis {Restklassenring}{}{} $\Q[X]/(X^4-1)$ als ein Produkt von Körpern, wobei lediglich die Körper $\Q$ und $\Q[ { \mathrm i} ]$ vorkommen. Schreibe die Restklasse von $X^3+X$ als ein Tupel in dieser Produktzerlegung.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{7}
{

Formuliere und beweise die \anfuehrung{Gradformel}{} für eine Kette von \definitionsverweis {endlichen Kör\-pererweiterungen}{}{} $K \subseteq L \subseteq M$.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Es seien zwei verschiedene Punkte $M,P$ in der Ebene gegeben. Es bezeichne $K$ den Kreis mit Mittelpunkt $M$ durch den Punkt $P$. \definitionsverweis {Konstruiere}{}{} \zusatzklammer {ohne andere Konstruktionen zu verwenden} {} {} die Tangente an den Kreis $K$ durch $P$. Skizziere die Situation.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{2}
{

Charakterisiere mit Hilfe von Fermatschen Primzahlen \zusatzklammer {ohne Beweis} {} {} diejenigen natürlichen Zahlen $n$, für die das reguläre $n$-Eck konstruierbar ist. Wende diese Charakterisierung für $n$ zwischen $30$ und $40$ an.

}
{} {}



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