Kurs:Einführung in die mathematische Logik (Osnabrück 2011-2012)/Arbeitsblatt 4/latex
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\inputaufgabe
{}
{
Es sei das arithmetische Alphabet
\mathl{\{0,1,+,\cdot\}}{} zusammen mit der Variablenmenge
\mathl{\{x,y\}}{} gegeben. Interpretiere den Term
\mathdisp {((0+1)+x) \cdot (1+(y+1))} { }
unter den folgenden Interpretationen.
\aufzaehlungfuenf{
\mathl{M=\N}{} mit der Standardinterpretation und der Variablenbelegung
\mathl{I(x)=5}{} und
\mathl{I(y)=3}{.}
}{
\mathl{M= \operatorname{Mat}_{ 2 } (\R)}{} mit der Standardinterpretation
\mathdisp {I(0)= \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \, I(1)= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}} { }
und der üblichen Matrizenaddition und Matrizenmultiplikation und der Variablenbelegung
\mathl{I(x)= \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}}{} und
\mathl{I(y)=\begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 0 & 5 \end{pmatrix}}{.}
}{
\mathl{M=\N}{,} mit
\mathdisp {I(0)=1,\, I(1) =4,\, I(x)=2, \, I(y)=1} { , }
und wo $+$ als Multiplikation und $\cdot$ als Addition interpretiert wird.
}{
\mathl{M=\Z}{,} mit
\mathdisp {I(0)=5,\, I(1) =-1,\, I(x)=0, \, I(y)=0} { , }
und wo sowohl $+$ als auch $\cdot$ als Subtraktion interpretiert werden.
}{
\mathl{M=}{}
\definitionsverweis {Potenzmenge}{}{} von
\mathl{\{1,2,3,4,5\}}{} mit
\mathdisp {I(0)=\emptyset ,\, I(1) = \{1,2,3,4,5\} ,\, I(x) = \emptyset , \, I(y)=\{2,4\}} { , }
und wo $+$ als $\cup$ und $\cdot$ als $\cap$ interpretiert wird.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei das arithmetische Alphabet
\mathl{\{0,1,+,\cdot\}}{} zusammen mit der Variablenmenge
\mathl{\{x,y\}}{} gegeben. Interpretiere den Ausdruck
\mathdisp {\forall x \exists y ( x = y+y \vee x+1 = y+y )} { }
unter den in
Aufgabe 4.1
angeführten Interpretationen und überprüfe die Gültigkeit.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Erstelle einen prädikatenlogischen Ausdruck $\alpha$, der in einer Struktur genau dann gilt, wenn die Grundmenge der Struktur genau $7$ Elemente besitzt.
}
{} {}
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