Kurs:Einführung in die mathematische Logik (Osnabrück 2014)/Arbeitsblatt 3/latex

\setcounter{section}{3}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Beweise mittels Wahrheitstabellen, dass die folgenden Aussagen Tautologien sind.\zusatzfussnote {Wir verzichten hier und im Folgenden häufig auf Klammern, um die Lesbarkeit zu erhöhen. Gemeint sind immer die korrekt geklammerten Aussagen} {.} {} \aufzaehlungfuenf{ $(\alpha \wedge \alpha) \leftrightarrow \alpha$. }{ $\alpha \wedge \beta \rightarrow \alpha$. }{ $\alpha \rightarrow ( \beta \rightarrow \alpha)$. }{ $(\alpha \rightarrow ( \beta \rightarrow \gamma)) \rightarrow ((\alpha \rightarrow \beta) \rightarrow ( \alpha \rightarrow \gamma))$. }{ $(\alpha \rightarrow \beta) \leftrightarrow (\neg \alpha \vee \beta)$. }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Man beweise mittels Wahrheitstabellen die \stichwort {Regeln von de Morgan} {,} nämlich dass
\mathdisp {\neg (\beta \vee \gamma) \leftrightarrow (\neg \beta \wedge \neg \gamma)} { }
und
\mathdisp {\neg (\beta \wedge \gamma) \leftrightarrow ( \neg \beta \vee \neg \gamma)} { }
\definitionsverweis {Tautologien}{}{} sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien
\mathl{p_1 , \ldots , p_n}{} \definitionsverweis {Aussagenvariablen}{}{} und
\mathl{\beta_1 , \ldots , \beta_n}{} Aussagen. Zeige, dass man, wenn man in einer allgemeingültigen Aussage $\alpha$ jedes Vorkommen von $p_i$ durch $\beta_i$ ersetzt, wieder eine allgemeingültige Aussage erhält. Zeige, dass die Umkehrung davon nicht gilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass eine Aussage
\mathl{\alpha \in L^V}{} genau dann eine \definitionsverweis {Kontradiktion}{}{} ist, wenn
\mathl{\neg \alpha}{} eine Tautologie ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Man gebe möglichst viele Beispiele für aussagenlogische Kontradiktionen an.

}
{} {}

Die folgenden Aufgaben verwenden den Begriff einer Äquivalenzrelation. Dieser ist für viele Konstruktionen in der Mathematik und in der mathematischen Logik entscheidend. Siehe den Anhang zu Äquivalenzrelationen.

Eine \definitionswort {Äquivalenzrelation}{} auf einer Menge $M$ ist eine \definitionsverweis {Relation}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R }
{ \subseteq }{ M \times M }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} die die folgenden drei Eigenschaften besitzt \zusatzklammer {für beliebige
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{x,y,z }
{ \in }{ M }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{}} {} {.} \aufzaehlungdrei{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ \sim }{x }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \zusatzklammer {\definitionswort {reflexiv}{}} {} {.} }{Aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ \sim }{y }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} folgt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y }
{ \sim }{x }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \zusatzklammer {\definitionswort {symmetrisch}{}} {} {.} }{Aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ \sim }{y }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y }
{ \sim }{z }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} folgt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ \sim }{z }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \zusatzklammer {\definitionswort {transitiv}{}} {} {.} } Dabei bedeutet
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ \sim }{y }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} dass das Paar
\mathl{(x,y)}{} zu $R$ gehört.

\inputaufgabe
{}
{

Auf den ganzen Zahlen $\Z$ lebe eine Kolonie von Flöhen, und jeder Flohsprung geht fünf Einheiten weit (in beide Richtungen). Wie viele Flohpopulationen gibt es? Wie kann man einfach charakterisieren, ob zwei Flöhe zur gleichen Population gehören oder nicht?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $B$ ein Blatt Papier \zusatzklammer {oder ein Taschentuch} {} {.} Man versuche, sich die folgenden \definitionsverweis {Äquivalenzrelationen}{}{} auf $B$ und die zugehörige \definitionsverweis {Identifizierungsabbildungen}{}{} vorzustellen \zusatzklammer {möglichst geometrisch} {} {.} \aufzaehlungacht{Die vier Eckpunkte sind untereinander äquivalent, ansonsten sind die Punkte nur zu sich selbst äquivalent. }{Alle Randpunkte sind untereinander äquivalent, ansonsten sind die Punkte nur zu sich selbst äquivalent. }{Jeder Punkt des linken Randes ist äquivalent zu seinem horizontal gegenüber liegenden Punkt am rechten Rand, ansonsten sind die Punkte nur zu sich selbst äquivalent. }{Jeder Punkt des linken Randes ist äquivalent zu seinem horizontal gegenüber liegenden Punkt am rechten Rand und jeder Punkt des oberen Randes ist äquivalent zu seinem vertikal gegenüber liegenden Punkt, ansonsten sind die Punkte nur zu sich selbst äquivalent. }{Jeder Punkt des Randes ist äquivalent zu seinem punktsymmetrisch \zusatzklammer {bezüglich des Mittelpunktes des Blattes} {} {} gegenüber liegenden Punkt, ansonsten sind die Punkte nur zu sich selbst äquivalent. }{Es sei $K$ ein Kreis \zusatzklammer {d.h. eine Kreislinie} {} {} auf dem Blatt. Alle Kreispunkte seien untereinander äquivalent, ansonsten sind die Punkte nur zu sich selbst äquivalent. }{Es gebe zwei Punkte $P \neq Q$, die untereinander äquivalent seien, ansonsten sind die Punkte nur zu sich selbst äquivalent. }{Es sei $H$ die horizontale Halbierungsgerade des Blattes. Zwei Punkte sind genau dann äquivalent, wenn sie achsensymmetrisch zu $H$ sind. }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die Beziehung
\mathdisp {\alpha \sim \beta , \text{ falls } (\alpha) \leftrightarrow (\beta) \text{ allgemeingültig ist}} { , }
eine \definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{} auf $L^V$ definiert. Zeige, dass sowohl alle \definitionsverweis {Tautologien}{}{} als auch alle Kontradiktionen eine \definitionsverweis {Äquivalenzklasse}{}{} bilden. Wie viele Äquivalenzklassen besitzt diese Äquivalenzrelation, falls $V$ $n$ Elemente besitzt?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $\sim$ die in Aufgabe 3.8 diskutierte Äquivalenzrelation auf $L^V$. Zeige, dass jede \definitionsverweis {Äquivalenzklasse}{}{} $[\alpha]$ einen Repräsentanten in \definitionsverweis {disjunktiver Normalform}{}{\zusatzfussnote {Unter einer disjunktiven Normalform versteht man einen Ausdruck, der eine $\vee$-Vereinigung von Ausdrücken der Form
\mathl{\pm p_1 \wedge \ldots \wedge \pm p_n}{} ist, wobei $\pm$ bedeutet, dass entweder die Aussagenvariable direkt oder in ihrer Negation genommen wird} {.} {}} besitzt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $\sim$ die in Aufgabe 3.8 diskutierte Äquivalenzrelation auf $L^V$ und sei $Q$ die zugehörige \definitionsverweis {Quotientenmenge}{}{.} Es sei $\lambda$ eine \definitionsverweis {Wahrheitsbelegung}{}{} auf $V$. Zeige, dass dies eine wohldefinierte Abbildung auf $Q$ induziert.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $V$ eine Menge von \definitionsverweis {Aussagenvariablen}{}{} und $\alpha$ eine Aussage in der zugehörigen formalen Sprache $L^V$. Es sei \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} eine \definitionsverweis {Abbildung}{}{} und es sei $\varphi(\alpha)$ diejenige Aussage, die entsteht, wenn man in $\alpha$ jede Aussagenvariable $p$ durch $\varphi(p)$ ersetzt. Zeige die folgenden Aussagen. \aufzaehlungvier{Wenn $\alpha$ eine \definitionsverweis {Tautologie}{}{} ist, so ist auch $\varphi(\alpha)$ eine Tautologie. }{Wenn $\varphi$ \definitionsverweis {injektiv}{}{} ist, so ist $\alpha$ genau dann eine Tautologie, wenn dies für $\varphi(\alpha)$ gilt. }{$\varphi(\alpha)$ kann eine Tautologie sein, auch wenn $\alpha$ keine Tautologie ist. }{Die Aussagen gelten ebenso, wenn man überall Tautologie durch \definitionsverweis {Kontradiktion}{}{} ersetzt. }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Interpretiere die Wahrheitstabellen zu den Junktoren $\neg, \wedge, \vee, \rightarrow, \leftrightarrow$ als Wertetabellen von Funktionen. Was sind die Definitions-, die Werte- und die Bildmengen dieser Funktionen?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die axiomatisch fixierten syntaktischen Grund\-tautologien \definitionsverweis {allgemeingültig}{}{} sind

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Beweise die aussagenlogische Tautologie
\mathdisp {\vdash \alpha\rightarrow (\beta \rightarrow \alpha \wedge \beta)} { }
aus den aussagenlogischen \definitionsverweis {Axiomen}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige das Assoziativgesetz für die Konjunktion, also
\mathdisp {\vdash { \left( \alpha \wedge \beta \right) } \wedge \gamma \rightarrow \alpha \wedge { \left( \beta \wedge \gamma \right) }} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien
\mathl{\alpha_1 , \ldots , \alpha_n}{} Ausdrücke und es seien
\mathl{i_1 , \ldots , i_k}{} Elemente aus
\mathl{\{1 , \ldots , n \}}{.} Zeige, dass
\mathdisp {\vdash \alpha_1 \wedge \ldots \wedge \alpha_n \rightarrow \alpha_{i_1} \wedge \ldots \wedge \alpha_{i_k}} { }
gilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass aus
\mathl{\vdash \alpha_1 , \ldots , \vdash \alpha_n}{} und
\mathl{\vdash \alpha_1 \wedge \ldots \wedge \alpha_n \rightarrow \beta}{} die Ableitbarkeit
\mathl{\vdash \beta}{} folgt.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zeige, dass eine Regel der Form

Wenn
\mathl{\vdash \alpha}{,} dann
\mathl{\vdash \beta}{} gelten kann, ohne dass
\mathl{\vdash \alpha \rightarrow \beta}{} gilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien
\mathl{p_1 , \ldots , p_n}{} \definitionsverweis {Aussagenvariablen}{}{} und
\mathl{\beta_1 , \ldots , \beta_n}{} Aussagen. Zeige, dass man, wenn man in einer \definitionsverweis {syntaktischen Tautologie}{}{} $\alpha$ jedes Vorkommen von $p_i$ durch $\beta_i$ ersetzt, wieder eine Tautologie erhält.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass in einer aussagenlogischen \definitionsverweis {Tautologie}{}{} \zusatzklammer {und ebenso in einer aussagenlogischen \definitionsverweis {Kontradiktion}{}{}} {} {} mindestens eine \definitionsverweis {Aussagenvariable}{}{} mehrfach vorkommen muss.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{\Gamma \subseteq L^V}{} eine \definitionsverweis {Aussagenmenge}{}{} derart, dass in keiner Aussage
\mathl{\alpha \in \Gamma}{} das Negationszeichen $\neg$ vorkommt. Zeige, dass dann die \definitionsverweis {Wahrheitsbelegung}{}{,} die jeder \definitionsverweis {Aussagenvariablen}{}{} den Wert $1$ zuweist, zu einer \definitionsverweis {Interpretation}{}{} $I$ mit
\mathl{\Gamma \subseteq I^\vDash}{} führt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die Aussage
\mathdisp {(\alpha \rightarrow \beta) \wedge (\beta \rightarrow \gamma) \wedge ( \neg \alpha \rightarrow \beta) \rightarrow \gamma} { }
\definitionsverweis {allgemeingültig}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige
\mathdisp {\vdash (\alpha \rightarrow \beta) \wedge (\beta \rightarrow \gamma) \wedge ( \neg \alpha \rightarrow \beta) \rightarrow \gamma} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Begründe die folgende Ableitungsregel: Aus
\mathl{\vdash \alpha}{} und
\mathl{\vdash \alpha \wedge \beta \rightarrow \gamma}{} folgt
\mathl{\vdash \beta \rightarrow \gamma}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass folgende rekursive Definition zur gleichen Menge an syntaktischen Tautologien führt:

Die Grundtautologien werden nur mit \definitionsverweis {Aussagenvariablen}{}{} formuliert.

Neben dem Modus ponens gibt es die Ersetzungsregel, d.h. wenn $\vdash \alpha$, so ist auch $\vdash \alpha'$, wobei $\alpha'$ ein Ausdruck ist, der entsteht, wenn man in $\alpha$ Aussagenvariablen durch beliebige Aussagen ersetzt.

Zeige, dass ohne diese Ersetzungsregel nicht die gleiche Menge beschrieben wird.

}
{} {}