Kurs:Einführung in die mathematische Logik (Osnabrück 2021)/Arbeitsblatt 27/latex
\setcounter{section}{27}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass das \definitionsverweis {universelle modallogische Modell}{}{} zu einer einzigen Aussagenvariable $p$ bereits unendlich ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $T$ eine maximal widerspruchsfreie modallogische Ausdrucksmenge. Zeige, dass $T$ vollständig ist, dass also für jedes
\mathl{\alpha \in L}{} die Alternative \anfuehrung{Entweder
\mathl{\alpha \in T}{} oder
\mathl{\neg \alpha \in T}{}}{} gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $T$ eine maximal widerspruchsfreie modallogische Ausdrucksmenge, die die $K$-\definitionsverweis {Modallogik}{}{} umfasse und in der die Nezessisierungsregel gelte. Zeige, dass in $T$ entweder das \definitionsverweis {Leerheitsaxiom}{}{} oder das \definitionsverweis {Fatalismusaxiom}{}{} gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $T$ eine maximal widerspruchsfreie modallogische Ausdrucksmenge, die die $K$-\definitionsverweis {Modallogik}{}{} umfasse und in der es einen \definitionsverweis {paradoxen}{}{} Ausdruck gebe. Zeige, dass $T$ nicht unter der Nezessisierungsregel abgeschlossen ist.
}
{} {}
Die folgende Aufgabe kann man wegen
Aufgabe 25.7
insbesondere auf die Beweisbarkeitslogik anwenden.
\inputaufgabe
{}
{
Wir setzen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \bot
}
{ \defeq} { p \wedge \neg p
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Es sei $\Gamma$ eine
$K$-\definitionsverweis {Modallogik}{}{,}
in der
\mathdisp {\Gamma \vdash \Box \bot \leftrightarrow \Box \neg \Box \bot} { }
ableitbar ist. Zeige, dass es keine widerspruchsfreie Erweiterung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\Gamma
}
{ \subseteq} { \tilde{\Gamma}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt, die aussagenlogisch und unter der Nezessierungsregel abgeschlossen ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K=K^\vdash$ die
$K$-\definitionsverweis {Modallogik}{}{}
und sei $U$ das
\definitionsverweis {universelle modallogische Modell}{}{.}
Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{K
}
{ =} { \bigcap_{ W \in U} W
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Ist das \definitionsverweis {universelle modallogische Modell}{}{} symmetrisch, reflexiv, transitiv? Ist das universell symmetrische modallogische Modell reflexiv?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{(U,R,\nu)}{} das
\definitionsverweis {universelle modallogische Modell}{}{.}
Kann man auf
\mathl{(U,R)}{} auch eine andere Wahrheitsbelegung definieren?
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{2}
{
Man gebe ein Beispiel für ein
\definitionsverweis {modallogisches Modell}{}{}
\mathl{(M,R,\nu)}{,} eine Welt
\mathl{w \in M}{} und einen modallogischen Ausdruck
\mathl{\alpha \rightarrow \beta}{} mit
\mathdisp {(M,R,\nu,w) \vDash \alpha \rightarrow \beta} { , }
aber
\mathdisp {(M,R,\nu,w) \not \vDash \Box \alpha \rightarrow \Box \beta} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei
\mathl{(M,S,\mu)}{} ein
\definitionsverweis {modallogisches Modell}{}{}
und
\mathl{(U,R,\nu)}{} das
\definitionsverweis {universelle modallogische Modell}{}{.}
Zeige, dass durch
\maabbeledisp {} {M} {U
} {w} { (M,S,\mu,w)^\vDash
} {,}
eine Abbildung definiert ist, die ein
\definitionsverweis {Homomorphismus}{}{}
\zusatzklammer {bezüglich der zweistelligen Relationen
\mathkor {} {S} {und} {R} {}} {} {}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei
\mathl{(M,R,\mu)}{} ein
\definitionsverweis {modallogisches Modell}{}{}
für die
$S5$-\definitionsverweis {Modallogik}{}{.}
Zeige, dass für zueinander erreichbare Welten
\mathl{v,w \in M}{} die Gültigkeitsmengen verschieden sein können, dass aber für jeden Ausdruck
\mathl{(M,R,\mu,v) \vDash \Box \alpha}{} genau dann gilt, wenn
\mathl{(M,R,\mu,w) \vDash \Box \alpha}{} gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Es sei $\Gamma$ eine modallogische Ausdrucksmenge und
\mathl{\alpha}{} ein modallogischer Ausdruck. Es sei
\mathl{\Gamma \vDash \alpha}{.} Zeige, dass es eine endliche Teilmenge
\mathl{\Gamma_e \subseteq \Gamma}{} mit
\mathl{\Gamma_e \vDash \alpha}{} gibt.
}
{} {}