Kurs:Elementare Algebra/19/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	${}\sum$
Punkte	3	3	2	3	2	3	3	3	2	8	2	4	3	4	2	6	3	4	60

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Der Betrag einer komplexen Zahl ${}z=a+b{\mathrm {i} }$.
2. Ein Primelement ${}p\in R,\,p\neq 0$, in einem kommutativen Ring ${}R$.
3. Ein Gruppenhomomorphismus zwischen Gruppen ${}(G,\circ ,e_{G})$ und ${}(H,\circ ,e_{H})$.
4. Die eulersche Funktion ${}\varphi (n)$ zu ${}n\in \mathbb {N}$.
5. Die Dimension eines ${}K$-Vektorraums ${}V$ (${}V$ besitze ein endliches Erzeugendensystem).
6. Der Zerfällungskörper zu einem Polynom ${}F\in K[X]$ über einem Körper ${}K$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Isomorphiesatz für Gruppen.
2. Die Formel für die Eulersche Funktion ${}{\varphi (p^{r})}$ für eine Primzahlpotenz.
3. Der Satz über den algebraischen Abschluss von ${}K$ zu einer Körpererweiterung ${}K\subseteq L$.

Aufgabe * (2 Punkte)

Es seien ${}(M,*)$ und ${}(N,\circ )$ Mengen mit Verknüpfungen und es sei

$\varphi \colon M\longrightarrow N$

eine mit den Verknüpfungen verträgliche surjektive Abbildung, es gelte also

${}\varphi (x*y)=\varphi (x)\circ \varphi (y)\,.$

Die Verknüpfung auf ${}M$ sei assoziativ. Zeige, dass auch die Verknüpfung auf ${}N$ assoziativ ist.

Aufgabe * (3 Punkte)

Beweise die Nichtnullteilereigenschaft für einen Körper ${}K$.

Aufgabe * (2 Punkte)

Beweise, dass der Polynomring ${}K[X]$ über einem Körper ${}K$ selbst kein Körper ist.

Aufgabe * (3 Punkte)

Man finde ein Polynom ${}f$ vom Grad ${}\leq 2$, für welches

$f(1)=10,\,f(-2)=1,\,f(3)=16$

gilt.

Aufgabe * (3 Punkte)

Beweise den Satz von Lagrange.

Aufgabe * (3 Punkte)

Wir betrachten die Gesamtmenge aller Finger und aller Zehen eines Menschen. Man gebe für jede Faktorzerlegung

${}20=a\cdot b\,$

eine möglichst natürliche Zerlegung dieser ${}20$ Körperteile in ${}a$ Teilmengen mit je ${}b$ Elemente an.

Aufgabe * (2 Punkte)

Es stehen zwei Eimer ohne Markierungen zur Verfügung, ferner eine Wasserquelle. Der eine Eimer hat ein Fassungsvermögen von ${}7$ und der andere ein Fassungsvermögen von ${}10$ Litern. Zeige, dass man allein durch Auffüllungen, Ausleerungen und Umschüttungen erreichen kann, dass in einem Eimer genau ein Liter Wasser enthalten ist.

Aufgabe * (8 (1+2+3+2) Punkte)

Wir betrachten eine (einfachere, aber langsamere) Variante des euklidischen Algorithmus zur Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers zu zwei gegebenen natürlichen Zahlen ${}a,b$.

Der Algorithmus geht folgendermaßen. Wenn ${}a\neq b$ ist, so ersetzte das Paar ${}(a,b)$ durch das Paar, das aus der kleineren Zahl und der Differenz zwischen der kleineren und der größeren Zahl besteht. Wiederhole dies rekursiv. Wenn ${}a=b$ ist, so ist man fertig und es wird das Ergebnis ${}a$ ausgegeben.

1. Führe diesen Algorithmus für das Paar ${}(7,3)$ durch.
2. Zeige, dass dieser Algorithmus nach endlich vielen Schritten aufhört.
3. Zeige, dass dieser Algorithmus korrekt ist, also wirklich den größten gemeinsmen Teiler ausgibt.
4. Man gebe für jedes ${}n$ ein Beispiel, wo der euklidische Algorithmus nach einem Schritt fertig ist, wo aber die Variante ${}n$ Schritte benötigt.

Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme die Primfaktorzerlegung von ${}10!$.

Aufgabe * (4 (2+2) Punkte)

Zu einer positiven natürlichen Zahl ${}n$ sei ${}a_{n}$ das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen ${}1,2,3,\ldots ,n$.

1. Bestimme ${}a_{n}$ für ${}n=1,2,3,4,5,6,7,8,9$.
2. Was ist die kleinste Zahl ${}n$ mit

   ${}a_{n}=a_{n+1}=a_{n+2}=a_{n+3}\,?$

Aufgabe * (3 (1+2) Punkte)

1. Finde eine quadratische Gleichung der Form

   ${}x^{2}+px+q=0\,$

   mit ${}p,q\in \mathbb {Z}$, für die ${}17$ die einzige Lösung ist.

2. Finde unendlich viele verschiedene quadratische Gleichungen der Form

   ${}x^{2}+px+q=0\,$

   mit ${}p,q\in \mathbb {Z}$, für die ${}17$ eine Lösung ist.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}n\geq 2$. Woran erkennt man am Kleinen Einmaleins im ${}n$-System (ohne die Nuller- und die Zehnerreihe), ob ${}n$ eine Primzahl ist.

Aufgabe * (2 Punkte)

Ersetze im Term ${}4x^{2}+3x+7$ die Variable ${}x$ durch den Term ${}y^{3}+5$ und vereinfache den entstehenden Ausdruck.

Aufgabe * (6 (1+4+1) Punkte)

Es sei

${}P=X^{3}-X^{2}-5X+6\,.$

1. Finde eine ganzzahlige Nullstelle von ${}P$.
2. Finde sämtliche reellen Nullstellen von ${}P$.
3. Bestimme eine Zerlegung von ${}P$ in Linearfaktoren.

Aufgabe * (3 (1+1+1) Punkte)

Es sei ${}p\colon \mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} /(2)$ und ${}q\colon \mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} /(5)$ die kanonischen Abbildungen in die Restklassenringe ${}\mathbb {Z} /(2)$ bzw. ${}\mathbb {Z} /(5)$. Wir betrachten die Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(5),\,x\longmapsto (p(x),q(x)).$

1. Berechne ${}\varphi (113)$.
2. Finde ein Urbild von ${}({\overline {1}},{\overline {0}})$ und eines von ${}({\overline {0}},{\overline {1}})$.
3. Zeige, dass ${}\varphi$ surjektiv ist.

Aufgabe * (4 Punkte)

Im ${}\mathbb {R} ^{3}$ sei durch

${\left\{{\begin{pmatrix}2\\4\\5\end{pmatrix}}+t{\begin{pmatrix}1\\-3\\4\end{pmatrix}}\mid t\in \mathbb {R} \right\}}$

eine Gerade ${}G$ gegeben. In der ${}x-y$-Ebene ${}E$ sei ${}K$ der Kreis mit dem Mittelpunkt ${}(0,0)$ und dem Radius ${}8$. Liegt der Durchstoßungspunkt der Geraden ${}G$ mit der Ebene ${}E$ innerhalb, außerhalb oder auf dem Kreis ${}K$?