Kurs:Elementare Algebra/3/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	${}\sum$
Punkte	3	3	2	5	4	3	2	3	2	2	3	3	3	6	5	8	5	2	64

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Die Ordnung einer endlichen Gruppe ${}G$.
2. Der Binomialkoeffizient ${}{\binom {n}{k}}$.
3. Eine Körpererweiterung.
4. Ein Hauptideal in einem kommutativen Ring ${}R$.
5. Ein über einem Körper ${}K$ algebraisches Element ${}f\in A$ einer ${}K$- Algebra ${}A$.
6. Eine Fermatsche Primzahl.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die Lösbarkeit von Gleichungen in einer Gruppe ${}G$.
2. Das Lemma von Euklid für einen Hauptidealbereich.
3. Der Satz über endliche Körpererweiterungen von ${}\mathbb {R}$ .

Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei ${}R$ ein Integritätsbereich und ${}R[X]$ der Polynomring über ${}R$. Zeige, dass die Einheiten von ${}R[X]$ genau die Einheiten von ${}R$ sind.

Aufgabe * (5 Punkte)

Zeige, dass die komplexen Zahlen einen Körper bilden.

Aufgabe * (4 Punkte)

Finde im Polynomring ${}\mathbb {Z} /(2)[X]$ ein irreduzibles Polynom vom Grad vier.

Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige, dass im Polynomring ${}K[X,Y]$ über einem Körper ${}K$ das Ideal ${}(X,Y)$ kein Hauptideal ist.

Aufgabe * (2 Punkte)

Es seien ${}G$ und ${}H$ Gruppen und sei

$\varphi \colon G\longrightarrow H$

ein Gruppenisomorphismus. Zeige, dass auch die Umkehrabbildung

$\varphi ^{-1}\colon H\longrightarrow G,\,h\longmapsto \varphi ^{-1}(h),$

ein Gruppenisomorphismus ist.

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme das kleinste gemeinsame Vielfache und den größten gemeinsamen Teiler der drei Zahlen

$3^{4}\cdot 5^{2},\,2^{4}\cdot 3^{3}\cdot 5^{1}\cdot 7^{1},\,2^{5}\cdot 3^{2}\cdot 5^{2}.$

Die Ergebnisse sollen ausgerechnet vorliegen.

Aufgabe * (2 Punkte)

Stifte einen surjektiven Gruppenhomomorphismus von der Gruppe der komplexen Zahlen ohne null ${}({\mathbb {C} }\setminus \{0\},\cdot ,1)$ in die multiplikative Gruppe der positiven reellen Zahlen ${}(\mathbb {R} _{+},\cdot ,1)$.

Aufgabe * (2 Punkte)

Zeige, dass es in der Restklassengruppe ${}\mathbb {Q} /\mathbb {Z}$ zu jedem ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ Elemente gibt, deren Ordnung gleich ${}n$ ist.

Aufgabe * (3 Punkte)

Beweise den Homomorphiesatz für Ringe unter Bezug auf den Homomorphiesatz für Gruppen.

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme in ${}\mathbb {Q} [X]/(X^{3}+4X^{2}-7)$ das Inverse von ${}{\frac {1}{3}}x+5$ (${}x$ bezeichnet die Restklasse von ${}X$).

Aufgabe * (3 Punkte)

Beweise den kleinen Satz von Fermat.

Aufgabe * (6 (1+1+2+2) Punkte)

In dieser Aufgabe geht es um den Restklassenring ${}\mathbb {Z} /(360)$.

a) Schreibe ${}\mathbb {Z} /(360)$ als Produktring (im Sinne des chinesischen Restsatzes).

b) Wie viele Einheiten besitzt ${}\mathbb {Z} /(360)$?

c) Schreibe das Element ${}239$ in komponentenweiser Darstellung. Begründe, warum es sich um eine Einheit handelt und finde das Inverse in komponentenweiser Darstellung.

d) Berechne die Ordnung von ${}239$ in ${}\mathbb {Z} /(360)$.

Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum. Es seien ${}s_{1},\ldots ,s_{k}\in K$ und ${}v_{1},\ldots ,v_{n}\in V$. Zeige

${}{\left(\sum _{i=1}^{k}s_{i}\right)}\cdot {\left(\sum _{j=1}^{n}v_{j}\right)}=\sum _{1\leq i\leq k,\,1\leq j\leq n}s_{i}\cdot v_{j}\,.$

Aufgabe * (8 Punkte)

Es sei ${}x={\sqrt {2}}+{\sqrt {5}}\in \mathbb {R}$ und betrachte die Körpererweiterung

$\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} (x)=L.$

Zeige, dass diese Körpererweiterung algebraisch ist und bestimme den Grad der Körpererweiterung, das Minimalpolynom von ${}x$ und das Inverse von ${}x$. (Man darf dabei verwenden, dass ${}{\sqrt {2}},{\sqrt {5}},{\sqrt {10}}$ irrationale Zahlen sind.)

Aufgabe * (5 Punkte)

Berechne die Schnittpunkte der beiden Kreise ${}K_{1}$ und ${}K_{2}$, wobei ${}K_{1}$ den Mittelpunkt ${}(3,4)$ und den Radius ${}6$ und ${}K_{2}$ den Mittelpunkt ${}(-8,1)$ und den Radius ${}7$ besitzt.

Aufgabe * (2 Punkte)

Es seien ${}z,w\in {\mathbb {C} }$ konstruierbare Zahlen. Bestimme, ob die Zahl

$z^{2}-3z{\sqrt {w}}+{\sqrt {z+w^{2}}}-{\frac {5}{7}}+4{\sqrt {{\sqrt {z}}+w}}+{\sqrt {11}}$

konstruierbar ist.