Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2015)/Arbeitsblatt 13/latex

\setcounter{section}{13}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass das Bild unter einem \definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{} ein Unterring ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {Umkehrabbildung}{}{} eines \definitionsverweis {Ringisomorphismus}{}{} wieder ein \definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien
\mathl{R,S,T}{} \definitionsverweis {Ringe}{}{.} Zeige die folgenden Eigenschaften. \aufzaehlungdrei{Die Identität \maabb {\operatorname{Id}_{ R }} { R} {R } {} ist ein \definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{.} }{Sind \mathkor {} {\varphi:R \rightarrow S} {und} {\psi: S \rightarrow T} {} Ringhomomorphismen, so ist auch die Hintereinanderschaltung \maabb {\psi \circ \varphi} {R} {T } {} ein Ringhomomorphismus. }{Ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R }
{ \subseteq }{ S }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein Unterring, so ist die Inklusion
\mathl{R \hookrightarrow S}{} ein Ringhomomorphismus. }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und sei \maabb {\varphi} {\Z} {R } {} der \definitionsverweis {kanonische Homomorphismus}{}{.} Zeige, dass die \definitionsverweis {Charakteristik}{}{} von $R$ der eindeutig bestimmte nichtnegative Erzeuger des Kernideals
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{kern} \varphi }
{ \subseteq }{ \Z }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{} der \definitionsverweis {Charakteristik}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ \in }{ \N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass die \definitionsverweis {Ordnung}{}{} von jedem Element
\mathbed {x \in R} {}
{x \neq 0} {}
{} {} {} {,} ebenfalls $n$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{K[X]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$. Berechne das Bild des Polynoms $X^3+4X-3$ unter dem durch
\mathl{X \mapsto X^2+X-1}{} definierten \definitionsverweis {Einsetzungshomomorphismus}{}{} \maabb {} {K[X]} {K[X] } {.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{K[X]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ \in }{K }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein fixiertes Element. Bestimme den \definitionsverweis {Kern}{}{} des \definitionsverweis {Einsetzungshomomorphismus}{}{} \maabbeledisp {} {K[X]} {K } {X} {a } {.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{K[X]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ \in }{ K[X] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein nicht-konstantes Polynom. Zeige, dass der durch $X \mapsto P$ definierte \definitionsverweis {Einsetzungshomomorphismus}{}{} von $K[X]$ nach $K[X]$ injektiv ist und dass der durch $P$ erzeugte Unterring
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K[P] }
{ \subseteq }{ K[X] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {isomorph}{}{} zum Polynomring in einer Variablen ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und $0$ der \definitionsverweis {Nullring}{}{.} Bestimme die \definitionsverweis {Ringhomomorphismen}{}{} von $R$ nach $0$ und die Ringhomomorphismen von $0$ nach $R$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {komplexe Konjugation}{}{} ein \definitionsverweis {Körperautomorphismus}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zeige, dass es keinen \definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{} von $\Q$ nach $\Z$ gibt.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zeige, dass es keinen \definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{} von ${\mathbb C}$ nach $\R$ gibt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Körperautomorphismen}{}{} von $\R$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Ring}{}{} und seien \mathkor {} {L} {und} {M} {} zwei Mengen mit den in Aufgabe 2.9 konstruierten Ringen \mathkor {} {A=\operatorname{Abb} \, { \left( L , R \right) }} {und} {B=\operatorname{Abb} \, { \left( M , R \right) }} {.} Zeige, dass eine Abbildung \maabb {} {L} {M } {} einen \definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{} \maabbdisp {} {B} {A } {} induziert.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{,} $R$ ein \definitionsverweis {Ring}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 0 }
{ \neq }{ 1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und \maabbdisp {\varphi} {K} {R } {} ein \definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{.} Zeige, dass $\varphi$ injektiv ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $L$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei \maabbdisp {\varphi} {L} {L } {} ein \definitionsverweis {Körperautomorphismus}{}{.} Zeige, dass die Abbildung \maabbeledisp {} {L[X]} {L[X] } {\sum_{i = 0}^n a_iX^i } {\sum_{i = 0}^n \varphi(a_i)X^i } {,} ein \definitionsverweis {Ringautomorphismus}{}{} des Polynomrings $L[X]$ ist.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{2}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} der \definitionsverweis {Charakteristik}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ \in }{ \N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass die \definitionsverweis {Ordnung}{}{} von jedem Element
\mathbed {x \in R} {}
{x \neq 0} {}
{} {} {} {,} ein Teiler von $n$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{K[X]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$. Berechne das Bild des Polynoms $X^4-2X^2+5X-2$ unter dem durch
\mathl{X \mapsto 2X^3+X-1}{} definierten \definitionsverweis {Einsetzungshomomorphismus}{}{} \maabb {} {K[X]} {K[X] } {.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{2}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{K[X]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$. Zeige, dass ein Polynom
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ \in }{ K[X] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} genau dann \definitionsverweis {irreduzibel}{}{} ist, wenn das um
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a }
{ \in }{ K }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \anfuehrung{verschobene}{} Polynom \zusatzklammer {das entsteht, wenn man in $P$ die Variable $X$ durch
\mathl{X-a}{} ersetzt} {} {} irreduzibel ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Zeige, dass es keinen \definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{} von $\R$ nach $\Q$ gibt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{2}
{

Es sei $p$ eine \definitionsverweis {Primzahl}{}{.} Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \binom { p } { k } }
{ \equiv} { 0 \mod p }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ k }
{ = }{ 1 , \ldots , p-1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{,} der einen \definitionsverweis {Körper}{}{} der positiven \definitionsverweis {Charakteristik}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p }
{ > }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} enthalte \zusatzklammer {dabei ist $p$ eine Primzahl} {} {.} Zeige, dass die Abbildung \maabbeledisp {} {R} {R } {f} {f^p } {,} ein \definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{} ist, den man den \stichwort {Frobeniushomomorphismus} {} nennt.

}
{} {}