Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2015)/Arbeitsblatt 17/latex

\setcounter{section}{17}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{} und $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R }
{ \subseteq }{ K }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass dann auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Q(R) }
{ \subseteq }{ K }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei ${\mathfrak a}$ ein \definitionsverweis {Ideal}{}{} in einem \definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{} $R$. Zeige, dass ${\mathfrak a}$ genau dann ein \definitionsverweis {Primideal}{}{} ist, wenn ${\mathfrak a}$ der \definitionsverweis {Kern}{}{} eines \definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{} \maabb {\varphi} {R} {K } {} in einen \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Berechne in
\mathl{\Q(X)}{} die folgenden Ausdrücke. \aufzaehlungdrei{Das Produkt
\mathdisp {{ \frac{ 2X^3-5X^2+X-1 }{ X^2-2X+6 } } \cdot { \frac{ X^2+3 }{ 5X^3-4X^2-7 } }} { . }
}{Die Summe
\mathdisp {{ \frac{ 4X^3-X^2+6X-2 }{ X^2-4X-3 } } + { \frac{ X^2-3 }{ 3X^2 +5 } }} { . }
}{Das Inverse von
\mathdisp {{ \frac{ 6X^3-9X^2+5X-1 }{ X^4-4X^3+3X^2-8X-3 } }} { . }
}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 3X^4+2X^3+4X^2+1 }{ X^3+X+1 } } }
{ =} { X^2+ 3X+ 1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} als Funktion von
\mathl{\Z/(5)}{} nach
\mathl{\Z/(5)}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Skizziere die \definitionsverweis {Graphen}{}{} der folgenden \definitionsverweis {rationalen Funktionen}{}{}
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ x } } \, , { \frac{ 1 }{ x-1 } } \, , { \frac{ 1 }{ x^2 } } \, , { \frac{ 1 }{ x(x-1) } } \, , { \frac{ x-1 }{ x^2 } } \, .} { }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Erstelle eine Wertetabelle für die \definitionsverweis {rationale Funktion}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \frac{ X^2+4X+3 }{ X^3+X+2 } } }
{ \in }{ { \left( \Z/(7) \right) } (X) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{G }
{ =} { \langle { \frac{ 2 }{ 3 } } , { \frac{ 4 }{ 5 } } \rangle }
{ \subseteq} {(\Q,0,+) }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} die von \mathkor {} {{ \frac{ 2 }{ 3 } }} {und} {{ \frac{ 4 }{ 5 } }} {} erzeugte Untergruppe. Zeige, dass $G$ auch von einem Element erzeugt wird. Von welchem?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a,b }
{ \in }{ \N_+ }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{G }
{ =} { \langle { \frac{ 1 }{ a } } , { \frac{ 1 }{ b } } \rangle }
{ \subseteq} {(\Q,0,+) }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} die von \mathkor {} {{ \frac{ 1 }{ a } }} {und} {{ \frac{ 1 }{ b } }} {} erzeugte Untergruppe. Zeige, dass $G$ von
\mathl{{ \frac{ 1 }{ {\operatorname{KgV} \, \left( a , b \right) } } }}{} erzeugt wird.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Betrachte die rationalen Zahlen
\mathl{(\mathbb Q, +, 0)}{} als \definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{.} Zeige, dass sie nicht endlich erzeugt ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Betrachte die rationalen Zahlen
\mathl{(\Q, +, 0)}{} als \definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{.} Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G }
{ \subseteq }{ \Q }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {endlich erzeugte}{}{} \definitionsverweis {Untergruppe}{}{.} Zeige, dass $G$ \definitionsverweis {zyklisch}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T }
{ \subseteq }{ {\mathbb P} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine Teilmenge der \definitionsverweis {Primzahlen}{}{.} Zeige, dass die Menge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ R_T }
{ =} { { \left\{ q \in \Q \mid q \text{ lässt sich mit einem Nenner schreiben, in dem nur Primzahlen aus } T \text{ vorkommen} \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Unterring}{}{} von $\Q$ ist. Was ergibt sich bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T }
{ = }{ \emptyset }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T }
{ = }{ \{3 \} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T }
{ = }{ \{2,5 \} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{}
} {}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T }
{ = }{ {\mathbb P} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{}
} {}{}{?}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{{\mathbb P}}{} die Menge der \definitionsverweis {Primzahlen}{}{} und \maabbdisp {\alpha} {{\mathbb P}} { \Z } {} eine Abbildung. Zeige, dass die Menge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{G_\alpha }
{ =} { { \left\{ q \in \Q^{\times} \mid \operatorname{ exp}_{ p } ^{ } { \left( q \right) } \geq \alpha(p) \text{ für alle } p \right\} } \cup \{0\} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {Untergruppe}{}{} von $(\Q,0,+)$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $p$ eine \definitionsverweis {Primzahl}{}{.} Man gebe einen Körper der \definitionsverweis {Charakteristik}{}{} $p$ an, der unendlich viele Elemente besitzt.

}
{} {}

Die folgende Definition wird in den nächsten Aufgaben verwendet.

Ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} heißt \definitionswort {angeordnet}{,} wenn es eine \definitionsverweis {totale Ordnung}{}{} $\geq$ auf $R$ gibt, die die beiden Eigenschaften \aufzaehlungzwei {Aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ \geq }{b }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} folgt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a+c }
{ \geq }{b+c }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für beliebige
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a,b,c }
{ \in }{R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} } {Aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ \geq }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b }
{ \geq }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} folgt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ab }
{ \geq }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für beliebige
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a,b }
{ \in }{R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} } erfüllt.

Die ganzen Zahlen bilden einen angeordneten Ring. Die Anordnung überträgt sich auf den Quotientenkörper, die rationalen Zahlen bilden also einen angeordneten Körper.


\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass $\Q$ mit der durch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \frac{ a }{ b } } }
{ \geq }{ { \frac{ c }{ d } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \zusatzklammer {bei \mathlk{b,d \in \N_+}{}} {} {,} falls
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ ad }
{ \geq }{cb }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} in $\Z$ gilt, definierten Beziehung ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{} ist \zusatzklammer {dabei dürfen nur Eigenschaften der Ordnung auf $\Z$ verwendet werden} {} {.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Man gebe fünf \definitionsverweis {rationale Zahlen}{}{} an, die \zusatzklammer {echt} {} {} zwischen \mathkor {} {{ \frac{ 3 }{ 8 } }} {und} {{ \frac{ 7 }{ 8 } }} {} liegen.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Person $A$ wird $80$ Jahre alt und Person $B$ wird $70$ Jahre alt. Vergleiche die Gesamtlebenswachzeit und die Gesamtlebensschlafzeit der beiden Personen bei folgendem Schlafverhalten. \aufzaehlungzwei {$A$ schläft jede Nacht $7$ Stunden und $B$ schläft jede Nacht $8$ Stunden. } {$A$ schläft jede Nacht $8$ Stunden und $B$ schläft jede Nacht $7$ Stunden. }

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Eine Bahncard $25$, mit der man ein Jahr lang $25$ Prozent des Normalpreises einspart, kostet $62$ Euro und eine Bahncard $50$, mit der man ein Jahr lang $50$ Prozent des Normalpreises einspart, kostet $255$ Euro. Für welchen Jahresgesamtnormalpreis ist keine Bahncard, die Bahncard $25$ oder die Bahncard $50$ die günstigste Option?

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zwei Fahrradfahrer, \mathkor {} {A} {und} {B} {,} fahren auf ihren Fahrrädern eine Straße entlang. Fahrer $A$ macht pro Minute $40$ Pedalumdrehungen, hat eine Übersetzung von Pedal zu Hinterrad von $1$ zu $6$ und Reifen mit einem Radius von $39$ Zentimetern. Fahrer $B$ braucht für eine Pedaldrehung $2$ Sekunden, hat eine Übersetzung von $1$ zu $7$ und Reifen mit einem Radius von $45$ Zentimetern.

Wer fährt schneller?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Man gebe die Antworten als Bruch \zusatzklammer {bezogen auf das angegebene Vergleichsmaß} {} {:} Um wie viel ist eine Dreiviertelstunde länger als eine halbe Stunde, und um wie viel ist eine halbe Stunde kürzer als eine Dreiviertelstunde?

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{3}
{

Bestimme einen Erzeuger für die \definitionsverweis {Untergruppe}{}{} $H \subseteq ( \Q,+,0)$, die durch die rationalen Zahlen
\mathdisp {\frac{8}{7}, \, \frac{5}{11}, \, \frac{7}{10}\,} { }
erzeugt wird.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a,b,c,d }
{ \in }{ \N_+ }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ G }
{ =} { \langle { \frac{ a }{ b } } , { \frac{ c }{ d } } \rangle }
{ \subseteq} {(\Q,0,+) }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} die von \mathkor {} {{ \frac{ a }{ b } }} {und} {{ \frac{ c }{ d } }} {} erzeugte Untergruppe. Zeige, dass $G$ von
\mathl{{ \frac{ \operatorname{ GgT}_{ } ^{ } { \left( a,c \right) } }{ \operatorname{ KgV}_{ } ^{ } { \left( b,d \right) } } }}{} erzeugt wird.

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {faktorieller Bereich}{}{} mit \definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K }
{ = }{ Q(R) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass jedes Element
\mathbed {f \in K} {}
{f \neq 0} {}
{} {} {} {,} eine im Wesentlichen eindeutige Produktzerlegung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f }
{ =} { up_1^{r_1} { \cdots } p_n^{r_n} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit einer \definitionsverweis {Einheit}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u }
{ \in }{ R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und ganzzahligen Exponenten $r_i$ besitzt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {faktorieller Bereich}{}{} mit \definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K }
{ = }{ Q(R) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a }
{ \in }{ K }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein Element mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a^n }
{ \in }{ R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für eine natürliche Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ \geq }{ 1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass dann schon $a$ zu $R$ gehört.

}
{Was bedeutet dies für $R=\Z$?} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Zeige, dass die beiden \definitionsverweis {kommutativen Gruppen}{}{} \mathkor {} {(\Q,0,+)} {und} {(\Q_+,1, \cdot)} {} nicht \definitionsverweis {isomorph}{}{} sind.

}
{} {}