Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2015)/Arbeitsblatt 21/latex

\setcounter{section}{21}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und $V$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} mit endlicher \definitionsverweis {Dimension}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ n }
{ =} { \dim_{ K } { \left( V \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Es seien $n$ Vektoren
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} in $V$ gegeben. Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind. \aufzaehlungdrei{
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} bilden eine \definitionsverweis {Basis}{}{} von $V$. }{
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} bilden ein \definitionsverweis {Erzeugendensystem}{}{} von $V$. }{
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} sind \definitionsverweis {linear unabhängig}{}{.} }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei $K[X]$ der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d }
{ \in }{ \N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass die Menge aller Polynome vom Grad
\mathl{\leq d}{} ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} \definitionsverweis {Untervektorraum}{}{} von
\mathl{K[X]}{} ist. Was ist seine \definitionsverweis {Dimension}{}{?}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die Menge aller reellen \definitionsverweis {Polynome}{}{} vom \definitionsverweis {Grad}{}{} $\leq 4$, für die $-2$ und $3$ Nullstellen sind, ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} \definitionsverweis {Untervektorraum}{}{} in
\mathl{\R[X]}{} ist. Bestimme die \definitionsverweis {Dimension}{}{} von diesem Vektorraum.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und es seien \mathkor {} {V} {und} {W} {} \definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektor\-räume}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \dim_{ K } { \left( V \right) } }
{ = }{ n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \dim_{ K } { \left( W \right) } }
{ = }{ m }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Welche Dimension besitzt der \definitionsverweis {Produktraum}{}{} $V \times W$?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} \definitionsverweis {Vektorraum}{}{} über den \definitionsverweis {komplexen Zahlen}{}{,} und sei $v_1 , \ldots , v_n$ eine \definitionsverweis {Basis}{}{} von $V$. Zeige, dass die Vektorenfamilie
\mathdisp {v_1 , \ldots , v_n \text{ und } { \mathrm i} v_1 , \ldots , { \mathrm i} v_n} { }
eine Basis von $V$, aufgefasst als reeller Vektorraum, ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei die Standardbasis
\mathl{e_1,e_2,e_3,e_4}{} im $\R^4$ gegeben und die drei Vektoren
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 \\3\\ 0\\-4 \end{pmatrix},\, \begin{pmatrix} 2 \\1\\ 5\\7 \end{pmatrix} \text{ und } \begin{pmatrix} -4 \\9\\ -5\\1 \end{pmatrix}} { . }
Zeige, dass diese Vektoren \definitionsverweis {linear unabhängig}{}{} sind und ergänze sie mit einem geeigneten Standardvektor gemäß Satz 21.2 zu einer \definitionsverweis {Basis}{}{.} Kann man jeden Standardvektor nehmen?

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Übergangsmatrizen}{}{} \mathkor {} {M^{ \mathfrak{ u } }_{ \mathfrak{ v } }} {und} {M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ u } }} {} für die \definitionsverweis {Standardbasis}{}{} $\mathfrak{ u }$ und die durch die Vektoren \mathlistdisp {v_1 = \begin{pmatrix} 0 \\0\\ 1\\0 \end{pmatrix}, \, v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\0\\ 0\\0 \end{pmatrix}} {} {v_3 = \begin{pmatrix} 0 \\0\\ 0\\1 \end{pmatrix}} {und} {v_4 = \begin{pmatrix} 0 \\1\\ 0\\0 \end{pmatrix}} {} gegebene Basis $\mathfrak{ v }$ im $\R^4$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Übergangsmatrizen}{}{} \mathkor {} {M^{ \mathfrak{ u } }_{ \mathfrak{ v } }} {und} {M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ u } }} {} für die \definitionsverweis {Standardbasis}{}{} $\mathfrak{ u }$ und die durch die Vektoren \mathlistdisp {v_1 = \begin{pmatrix} 3+5 { \mathrm i} \\1- { \mathrm i} \end{pmatrix}} {und} {v_2 = \begin{pmatrix} 2+3 { \mathrm i} \\4+ { \mathrm i} \end{pmatrix}} {} {} {} gegebene Basis $\mathfrak{ v }$ im ${\mathbb C}^2$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten die Vektorenfamilien
\mathdisp {\mathfrak{ v } = \begin{pmatrix} 7 \\-4 \end{pmatrix}, \, \begin{pmatrix} 8 \\1 \end{pmatrix} \text{ und } \mathfrak{ u } = \begin{pmatrix} 4 \\6 \end{pmatrix}, \, \begin{pmatrix} 7 \\3 \end{pmatrix}} { }
im $\R^2$.

a) Zeige, dass sowohl $\mathfrak{ v }$ als auch $\mathfrak{ u }$ eine \definitionsverweis {Basis}{}{} des $\R^2$ ist.

b) Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ \in }{ \R^2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} derjenige Punkt, der bezüglich der Basis $\mathfrak{ v }$ die Koordinaten
\mathl{(-2,5)}{} besitze. Welche Koordinaten besitzt der Punkt bezüglich der Basis $\mathfrak{ u }$?

c) Bestimme die \definitionsverweis {Übergangsmatrix}{}{,} die den \definitionsverweis {Basiswechsel}{}{} von $\mathfrak{ v }$ nach $\mathfrak{ u }$ beschreibt.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{4}
{

Zeige, dass die Menge aller reellen \definitionsverweis {Polynome}{}{} vom \definitionsverweis {Grad}{}{} $\leq 6$, für die $-1$, $0$ und $1$ Nullstellen sind, ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} \definitionsverweis {Untervektorraum}{}{} in
\mathl{\R[X]}{} ist. Bestimme die \definitionsverweis {Dimension}{}{} von diesem Vektorraum.

}
{} {}

\inputaufgabe
{2}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und $V$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Es sei $v_1 , \ldots , v_m$ eine Familie von $m$ Vektoren in $V$ und sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{U }
{ =} {\langle v_i ,\, i = 1 , \ldots , m \rangle }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} der davon \definitionsverweis {aufgespannte Untervektorraum}{}{.} Zeige, dass die Familie genau dann \definitionsverweis {linear unabhängig}{}{} ist, wenn die \definitionsverweis {Dimension}{}{} von $U$ gleich $m$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Übergangsmatrizen}{}{} \mathkor {} {M^{ \mathfrak{ u } }_{ \mathfrak{ v } }} {und} {M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ u } }} {} für die \definitionsverweis {Standardbasis}{}{} $\mathfrak{ u }$ und die durch die Vektoren \mathlistdisp {v_1 = \begin{pmatrix} 4 \\5\\ 1 \end{pmatrix}} {} {v_2 = \begin{pmatrix} 2 \\3\\ -8 \end{pmatrix}} {und} {v_3 = \begin{pmatrix} 5 \\7\\ -3 \end{pmatrix}} {} gegebene Basis $\mathfrak{ v }$ im $\R^3$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{6 (3+1+2)}
{

Wir betrachten die Vektorenfamilien
\mathdisp {\mathfrak{ v } = \begin{pmatrix} 1 \\2\\ 3 \end{pmatrix}, \, \begin{pmatrix} 4 \\7\\ 1 \end{pmatrix}, \, \begin{pmatrix} 0 \\2\\ 5 \end{pmatrix} \text{ und } \mathfrak{ u } = \begin{pmatrix} 0 \\2\\ 4 \end{pmatrix}, \, \begin{pmatrix} 6 \\6\\ 1 \end{pmatrix}, \, \begin{pmatrix} 3 \\5\\ -2 \end{pmatrix}} { }
im $\R^3$.

a) Zeige, dass sowohl $\mathfrak{ v }$ als auch $\mathfrak{ u }$ eine \definitionsverweis {Basis}{}{} des $\R^3$ ist.

b) Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ \in }{ \R^3 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} derjenige Punkt, der bezüglich der Basis $\mathfrak{ v }$ die Koordinaten
\mathl{(2,5,4)}{} besitze. Welche Koordinaten besitzt der Punkt bezüglich der Basis $\mathfrak{ u }$?

c) Bestimme die \definitionsverweis {Übergangsmatrix}{}{,} die den \definitionsverweis {Basiswechsel}{}{} von $\mathfrak{ v }$ nach $\mathfrak{ u }$ beschreibt.

}
{} {}