Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2015)/Arbeitsblatt 22/latex

\setcounter{section}{22}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Berechne im Körper $\Q[\sqrt{7}]$ das Produkt
\mathdisp {(-2 + \sqrt{7} ) \cdot (4- \sqrt{7})} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme in $\Q[\sqrt{ 7 }]$ das \definitionsverweis {Inverse}{}{} von $2 +5 \sqrt{ 7 }$.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme in $\Q[X]/(X^3+4X^2-7)$ das \definitionsverweis {Inverse}{}{} von ${ \frac{ 1 }{ 3 } } x+5$ \zusatzklammer {$x$ bezeichnet die Restklasse von $X$} {} {.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme das \definitionsverweis {Inverse}{}{} von
\mathdisp {1 +\sqrt{2}

+3 \sqrt{10}} { }
im \definitionsverweis {Körper}{}{} $\Q[\sqrt{2}, \sqrt{5}]$.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme den \definitionsverweis {Grad}{}{} der \definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \R }
{ \subseteq }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K }
{ \subseteq }{ L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{.} Zeige, dass $L$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K }
{ \subseteq }{ L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{} und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f }
{ \in }{ L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein Element. Zeige, dass dann
\mathl{K(f)}{} der \definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{} von $K[f]$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien $K$ und $L$ Körper, es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K }
{ \subseteq }{ L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{} und sei $A$,
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K }
{ \subseteq }{ A }
{ \subseteq }{ L }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} ein Zwischenring. Zeige, dass dann $A$ ebenfalls ein Körper ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K }
{ \subseteq }{ L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f }
{ \in }{ L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein nicht algebraisches Element. Zeige, dass dann eine Isomorphie \maabbdisp {} {K(X)} {K(f) } {} von Körpern vorliegt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien \mathkor {} {p} {und} {q} {} zwei verschiedene \definitionsverweis {Primzahlen}{}{.} Zeige, dass $\Q[\sqrt{p}, \sqrt{q}]$ ein \definitionsverweis {Unterkörper}{}{} von $\R$ ist, der über $\Q$ den \definitionsverweis {Grad}{}{} vier besitzt.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {endlicher Körper}{}{.} Zeige, dass die Anzahl der Elemente von $K$ die Potenz einer \definitionsverweis {Primzahl}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zeige, dass es zu jeder natürlichen Zahl $n$ eine Körpererweiterung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Q }
{ \subseteq }{ L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} vom Grad $n$ gibt.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{2}
{

Bestimme in $\Q[\sqrt{ 11 }]$ das \definitionsverweis {Inverse}{}{} von $3 +5 \sqrt{ 11 }$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{5 (1+1+2+1)}
{

Betrachte den \definitionsverweis {Körper}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Z/(13) }
{ = }{ \{0,1,2,...,12\} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit $13$ Elementen. \aufzaehlungvier{Zeige, dass $5$ kein Quadrat in $\Z/(13)$ ist und folgere, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Z/(13)[X]/(X^2-5) }
{ \defeqr} { \Z/(13)[{\sqrt{ 5 } }] }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ein Körper ist. }{Betrachte die \definitionsverweis {quadratische Körpererweiterung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Z/(13) }
{ \subset} { \Z/(13)[{\sqrt{ 5 } } ] }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und berechne
\mathdisp {(2+3{\sqrt{ 5 } }) (1+11{\sqrt{ 5 } } ) (10+7{\sqrt{ 5 } } )} { }
}{Finde das Inverse zu $7+3{\sqrt{ 5 } }$ in $\Z/(13) [{\sqrt{ 5 } }]$. }{Zeige, dass $-5$ kein Quadrat in $\Z/(13)$ ist, dafür aber in $\Z/(13) [{\sqrt{ 5 } } ]$. }

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Bestimme das \definitionsverweis {Inverse}{}{} von
\mathdisp {2 +3 \sqrt{5} +\sqrt{7} +3 \sqrt{35}} { }
im \definitionsverweis {Körper}{}{} $\Q[\sqrt{5}, \sqrt{7}]$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Führe in $(\Q[\sqrt{3}])[X]$ die \definitionsverweis {Division mit Rest}{}{} \anfuehrung{$P$ durch $T$}{} für die beiden \definitionsverweis {Polynome}{}{} \mathkor {} {P=3X^3-(2+\sqrt{3})X^2+5\sqrt{3}X+1+2\sqrt{3}} {und} {T=\sqrt{3}X^2-X+2+7\sqrt{3}} {} durch.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Bestimme das \definitionsverweis {Minimalpolynom}{}{} von
\mathdisp {\sqrt{3}+ \sqrt{5}} { }
über $\Q$.

}
{} {}