Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2015)/Arbeitsblatt 3/latex

\setcounter{section}{3}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} mit Elementen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x,y,z,w }
{ \in }{ R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} wobei $z$ und $w$ \definitionsverweis {Einheiten}{}{} seien. Beweise die folgenden Bruchrechenregeln. \aufzaehlungacht{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ x }{ 1 } } }
{ =} { x }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} }{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{{ \frac{ 1 }{ x } } }
{ =} { x^{-1} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} }{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 1 }{ -1 } } }
{ =} { -1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} }{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 0 }{ z } } }
{ =} {0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} }{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ z }{ z } } }
{ =} { 1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} }{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ x }{ z } } }
{ =} { { \frac{ xw }{ zw } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} }{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ x }{ z } } \cdot { \frac{ y }{ w } } }
{ =} { { \frac{ xy }{ zw } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} }{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ x }{ z } } + { \frac{ y }{ w } } }
{ =} { { \frac{ xw+yz }{ zw } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} } Gilt die zu (8) analoge Formel, die entsteht, wenn man die Addition mit der Multiplikation vertauscht, also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (x-z) \cdot (y-w) }
{ =} { (x+w)(y+z)-(z+w) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{?} Zeige, dass die \anfuehrung{beliebte Formel}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ x }{ z } } + { \frac{ y }{ w } } }
{ =} {{ \frac{ x+y }{ z+w } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} nicht gilt, außer im Nullring.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f }
{ \in }{ R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Charakterisiere mit Hilfe der Multiplikationsabbildung \maabbeledisp {\mu_f} {R} {R } {g} {fg } {,} wann $f$ ein \definitionsverweis {Nichtnullteiler}{}{} und wann $f$ eine \definitionsverweis {Einheit}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass ein \definitionsverweis {Unterring}{}{} eines \definitionsverweis {Körpers}{}{} ein \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass in einem \definitionsverweis {Körper}{}{} das \anfuehrung{umgekehrte Distributivgesetz}{,} also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a+(bc) }
{ =} { (a+b) \cdot (a+c) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} nicht gilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{2 }
{ \neq }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f,g }
{ \in }{K }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{fg }
{ =} { { \frac{ 1 }{ 4 } } { \left( { \left( f+g \right) }^2 - { \left( f-g \right) }^2 \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige für einen \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$ die folgenden Eigenschaften.

(1) Für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a }
{ \in }{ K }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist die \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabbeledisp {\alpha_a} {K} {K } {x} {x+a } {,} \definitionsverweis {bijektiv}{}{.}

(2) Für jedes
\mathbed {b \in K} {}
{b \neq 0} {}
{} {} {} {,} ist die Abbildung \maabbeledisp {\mu_b} {K} {K } {x} {bx } {,} bijektiv.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die einelementige Menge $\{0\}$ alle Körperaxiome erfüllt mit der einzigen Ausnahme, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 0 }
{ = }{ 1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist.

}
{} {}

Bei den Rechenaufgaben zu den komplexen Zahlen muss das Ergebnis immer in der Form $a+bi$ mit reellen Zahlen $a,b$ angegeben werden, wobei diese so einfach wie möglich sein sollen.


\inputaufgabe
{}
{

Berechne die folgenden Ausdrücke innerhalb der \definitionsverweis {komplexen Zahlen}{}{.} \aufzaehlungsechs{$(5+4 { \mathrm i})(3-2 { \mathrm i})$. }{$(2+3 { \mathrm i})(2-4 { \mathrm i} ) +3(1- { \mathrm i} )$. }{$(2 { \mathrm i}+3)^2$. }{${ \mathrm i}^{1011}$. }{$(-2+5 { \mathrm i})^{-1}$. }{$\frac{4-3 { \mathrm i}}{2+ { \mathrm i} }$. }

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {inversen Elemente}{}{} der folgenden \definitionsverweis {komplexen Zahlen}{}{.} \aufzaehlungdrei{$3$. }{$5 { \mathrm i}$. }{$3+5 { \mathrm i}$. }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass für reelle Zahlen die Addition und die Multiplikation als reelle Zahlen und als komplexe Zahlen übereinstimmen.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {komplexen Zahlen}{}{} einen \definitionsverweis {Körper}{}{} bilden.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ = }{ \R^2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit der \definitionsverweis {komponentenweisen}{}{} Addition und der komponentenweisen Multiplikation kein \definitionsverweis {Körper}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Skizziere die folgenden Teilmengen. \aufzaehlungdrei{
\mathl{{ \left\{ z \in {\mathbb C} \mid \operatorname{Re} \, { \left( z \right) } \geq -3 \right\} }}{,} }{
\mathl{{ \left\{ z \in {\mathbb C} \mid \operatorname{Im} \, { \left( z \right) } \leq 2 \right\} }}{,} }{
\mathl{{ \left\{ z \in {\mathbb C} \mid \betrag { z } \leq 5 \right\} }}{.} }

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

a) Berechne
\mathdisp {(4-7 { \mathrm i})(5+3 { \mathrm i})} { . }

b) Bestimme das inverse Element
\mathl{z^{-1}}{} zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ z }
{ =} { 3+4 { \mathrm i} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

c) Welchen Abstand hat $z^{-1}$ aus Teil (b) zum Nullpunkt?

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Löse die lineare Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(2+5 { \mathrm i}) z }
{ =} {(3-7 { \mathrm i}) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} über ${\mathbb C}$ und berechne den Betrag der Lösung.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Beweise die folgenden Aussagen zu \definitionsverweis {Real}{}{-} und \definitionsverweis {Imaginärteil}{}{} von \definitionsverweis {komplexen Zahlen}{}{.} \aufzaehlungfuenf{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z }
{ = }{ \operatorname{Re} \, { \left( z \right) } + \operatorname{Im} \, { \left( z \right) } { \mathrm i} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{Re} \, { \left( z+w \right) } }
{ = }{ \operatorname{Re} \, { \left( z \right) } + \operatorname{Re} \, { \left( w \right) } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{Im} \, { \left( z+w \right) } }
{ = }{ \operatorname{Im} \, { \left( z \right) } + \operatorname{Im} \, { \left( w \right) } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r }
{ \in }{\R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist
\mathdisp {\operatorname{Re} \, { \left( rz \right) } =r \operatorname{Re} \, { \left( z \right) } \text{ und } \operatorname{Im} \, { \left( rz \right) } =r \operatorname{Im} \, { \left( z \right) }} { . }
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z }
{ = }{ \operatorname{Re} \, { \left( z \right) } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} genau dann, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z }
{ \in }{\R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist, und dies ist genau dann der Fall, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{Im} \, { \left( z \right) } }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist. }

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zeige, dass innerhalb der \definitionsverweis {komplexen Zahlen}{}{} folgende Rechenregeln gelten. \aufzaehlungfuenf{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { z } }
{ = }{ \sqrt{ z \ \overline{ z } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{Re} \, { \left( z \right) } }
{ = }{ \frac{z+ \overline{ z } }{2} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{Im} \, { \left( z \right) } }
{ = }{ \frac{z - \overline{ z } }{2 { \mathrm i} } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \overline{ z } }
{ = }{ \operatorname{Re} \, { \left( z \right) } - { \mathrm i} \operatorname{Im} \, { \left( z \right) } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z }
{ \neq }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z^{-1} }
{ = }{ { \frac{ \overline{ z } }{ \betrag { z }^2 } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige die folgenden Regeln für den \definitionsverweis {Betrag}{}{} von \definitionsverweis {komplexen Zahlen}{}{.} \aufzaehlungsieben{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { z } }
{ = }{ \sqrt{ z \ \overline{ z } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Für reelles $z$ stimmen reeller und komplexer Betrag überein. }{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { z } }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} genau dann, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist. }{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { z } }
{ =} { \betrag { \overline{ z } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { zw } }
{ =} { \betrag { z } \betrag { w } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }{Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z }
{ \neq }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { 1/z } }
{ = }{ 1/ \betrag { z } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { \operatorname{Re} \, { \left( z \right) } }, \betrag { \operatorname{Im} \, { \left( z \right) } } }
{ \leq} { \betrag { z } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{2}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Einheiten}{}{} von
\mathl{\Z/(8)}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} mit endlich vielen Elementen. Zeige, dass $R$ genau dann ein \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{} ist, wenn $R$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{2}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f }
{ \in }{ R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {nilpotentes Element}{}{.} Zeige, dass $1+f$ eine \definitionsverweis {Einheit}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Berechne die \definitionsverweis {komplexen Zahlen}{}{}
\mathdisp {(1+ { \mathrm i})^n} { }
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ = }{ 1,2,3,4,5 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{2}
{

Löse die lineare Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(4- { \mathrm i}) z }
{ =} {(6+5 { \mathrm i}) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} über ${\mathbb C}$ und berechne den Betrag der Lösung.

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Zeige, dass für die \definitionsverweis {komplexe Konjugation}{}{} die folgenden Rechenregeln gelten. \aufzaehlungsechs{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \overline{ z+w } }
{ = }{ \overline{ z } + \overline{ w } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \overline{ -z } }
{ = }{ - \overline{ z } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \overline{ z \cdot w } }
{ = }{ \overline{ z } \cdot \overline{ w } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z }
{ \neq }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \overline{ 1/z } }
{ = }{ 1/\overline{ z } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \overline{ \overline{ z } } }
{ = }{ z }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \overline{ z } }
{ = }{ z }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} genau dann, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z }
{ \in }{\R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist. }

}
{} {}