Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2015)/Arbeitsblatt 8/latex

\setcounter{section}{8}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Finde eine Darstellung der $1$  \zusatzklammer {im Sinne des Lemmas von Bezout} {} {} für die folgenden Zahlenpaare: \mathkor {} {5} {und} {7} {;} \mathkor {} {20} {und} {27} {;} \mathkor {} {23} {und} {157} {.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Die Wasserspedition \anfuehrung{Alles im Eimer}{} verfügt über einen $7$- und einen $10$-Liter-Eimer, die allerdings keine Markierungen haben. Sie erhält den Auftrag, insgesamt genau einen Liter Wasser von der Nordsee in die Ostsee zu transportieren. Kann sie diesen Auftrag erfüllen?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Alle Flöhe leben auf einem unendlichen Zentimeter-Band. Ein Flohmännchen springt bei jedem Sprung $78$ cm und die deutlich kräftigeren Flohweibchen springen mit jedem Sprung
\mathl{126}{} cm. Die Flohmännchen Florian, Flöhchen und Carlo sitzen in den Positionen
\mathl{-123, 55}{} und $-49$. Die Flohweibchen Flora und Florentina sitzen in Position $17$ bzw.
\mathl{109}{.} Welche Flöhe können sich treffen?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien $a$ und $b$ \definitionsverweis {natürliche Zahlen}{}{,} deren Produkt $ab$ von einer natürlichen Zahl $n$ geteilt werde. Die Zahlen \mathkor {} {n} {und} {a} {} seien \definitionsverweis {teilerfremd}{}{.} Zeige, dass $b$ von $n$ geteilt wird.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien $r$ und $s$ \definitionsverweis {teilerfremde Zahlen}{}{.} Zeige, dass jede Lösung
\mathl{(x,y)}{} der Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ rx+sy }
{ =} { 0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} die Gestalt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (x,y) }
{ = }{ v(s,-r) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit einer eindeutig bestimmten Zahl $v$ besitzt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien \mathkor {} {a} {und} {d} {} \definitionsverweis {teilerfremde}{}{} ganze Zahlen. Zeige, dass es eine Potenz $a^i$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ i }
{ \geq }{ 1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gibt, deren Rest bei Division durch $d$ gleich $1$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ p }
{ \neq} { 2,5 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {Primzahl}{}{.} Zeige, dass es eine natürliche Zahl der Form \zusatzklammer {im Dezimalsystem} {} {}
\mathdisp {111 \ldots 111} { }
gibt, die ein \definitionsverweis {Vielfaches}{}{} von $p$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass in einem \definitionsverweis {Hauptidealbereich}{}{} $R$ zu beliebigen Elementen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a_1 , \ldots , a_n }
{ \in }{ R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} sowohl ein \definitionsverweis {größter gemeinsame Teiler}{}{} als auch ein \definitionsverweis {kleinstes gemeinsames Vielfaches}{}{} existieren.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a,b }
{ \in }{ R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} zwei \definitionsverweis {irreduzible}{}{,} nicht \definitionsverweis {assoziierte}{}{} Elemente in einem \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{.} Zeige, dass \mathkor {} {a} {und} {b} {} \definitionsverweis {teilerfremd}{}{} sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Betrachte den \definitionsverweis {Unterring}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R }
{ =} {K[X^2,X^3,X^4,X^5, \ldots ] }
{ \subset} { K[X] }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Zeige, dass für die Elemente \mathkor {} {X^2} {und} {X^3} {} kein \definitionsverweis {kleinstes gemeinsames Vielfaches}{}{} existiert.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Betrachte den \definitionsverweis {Unterring}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R }
{ =} {K[X^2,X^3,X^4,X^5, \ldots ] }
{ \subset} { K[X] }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Zeige, dass für die Elemente \mathkor {} {X^2} {und} {X^3} {} ein \definitionsverweis {größter gemeinsamer Teiler}{}{} existiert, dieser aber nicht als Linearkombination daraus darstellbar ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme in $\Z$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den \definitionsverweis {größten gemeinsamen Teiler}{}{} von $1071$ und $1029$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme den größten gemeinsamen Teiler von $12733$ und $3983$. Man gebe eine Darstellung des $\operatorname{ggT}$ von \mathkor {} {12733} {und} {3983} {} an.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme in $\Q[X]$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler der beiden Polynome \mathkor {} {P=X^3+2X^2+5X+2} {und} {Q= X^2+4X-3} {.}

}
{} {}

Statt
\mathl{\Z/(p)}{} für eine Primzahl $p$ schreiben wir gelegentlich auch
\mathl{{\mathbb F}_p}{.}


\inputaufgabe
{}
{

Bestimme in ${\mathbb F}_3[X]$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler der beiden Polynome \mathkor {} {P= X^3+2X^2+X+2} {und} {Q= 2X^2+1} {.}

}
{Man gebe auch eine Darstellung des ggT an.} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass $\Z[X]$ und der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} in zwei Variablen
\mathl{K[X,Y]}{} über einem \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$ keine \definitionsverweis {Hauptidealbereiche}{}{} sind.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zeige durch Induktion, dass jede natürliche Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ \geq }{2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine Zerlegung in \definitionsverweis {Primzahlen}{}{} besitzt.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{6}
{

Wir betrachten eine digitale Uhr, die $24$ Stunden, $60$ Minuten und $60$ Sekunden anzeigt. Zur Karnevalszeit läuft sie aber nicht in Sekundenschritten, sondern addiert, ausgehend von der Nullstellung, in jedem Zählschritt immer $11$ Stunden, $11$ Minuten und $11$ Sekunden dazu. Wird bei dieser Zählweise jede mögliche digitale Anzeige erreicht? Nach wie vielen Schritten kehrt zum ersten Mal die Nullstellung zurück?

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Die Wasserspedition \anfuehrung{Alles im Eimer}{} verfügt über $77$-, $91$- und $143$-Liter Eimer, die allerdings keine Markierungen haben. Sie erhält den Auftrag, insgesamt genau einen Liter Wasser von der Nordsee in die Ostsee zu transportieren. Wie kann sie den Auftrag erfüllen?

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a }
{ \in }{ R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein Element. Zeige, dass $a$ genau dann \definitionsverweis {irreduzibel}{}{} ist, wenn das \definitionsverweis {Hauptideal}{}{}
\mathl{(a)}{} unter allen vom \definitionsverweis {Einheitsideal}{}{} verschiedenen Hauptidealen maximal ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Bestimme in ${\mathbb C}[X]$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler der beiden Polynome \mathkor {} {X^3+ (2- { \mathrm i} )X^2+ 4} {und} {(3- { \mathrm i})X^2+5 X -3} {.}

}
{Man gebe auch eine Darstellung des ggT an.} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Bestimme in ${\mathbb F}_5[X]$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler der beiden Polynome \mathkor {} {P=X^4+3 X^3+ X^2+4X+2} {und} {Q=2X^3+4 X^2+ X+3} {.}

}
{Man gebe auch eine Darstellung des ggT an.} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ S }
{ \subseteq }{ R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Unterring}{}{.} Bestätige oder widerlege die folgenden Aussagen. \aufzaehlungvier{Zu einem \definitionsverweis {Ideal}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a} }
{ \subseteq }{ R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist auch
\mathl{{\mathfrak a} \cap S}{} ein Ideal \zusatzklammer {in $S$} {} {.} }{Zu einem \definitionsverweis {Radikal}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a} }
{ \subseteq }{ R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist auch
\mathl{{\mathfrak a} \cap S}{} ein Radikal. }{Zu einem \definitionsverweis {Primideal}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a} }
{ \subseteq }{ R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist auch
\mathl{{\mathfrak a} \cap S}{} ein Primideal. }{Zu einem \definitionsverweis {maximalen Ideal}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a} }
{ \subseteq }{ R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist auch
\mathl{{\mathfrak a} \cap S}{} ein maximales Ideal. }

}
{} {}