Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Arbeitsblatt 2/latex
\setcounter{section}{2}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass ein
\definitionsverweis {Ring}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{0
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der
\definitionsverweis {Nullring}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Beweise das allgemeine Distributivgesetz für einen \definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Ring}{}{} und seien $\spadesuit, \heartsuit$ und $\clubsuit$ Elemente in $R$. Berechne das Produkt
\mathdisp {{ \left( \spadesuit^2-3 \heartsuit \clubsuit \heartsuit-2\clubsuit \heartsuit^2+4 \spadesuit \heartsuit^2 \right) } { \left( 2 \spadesuit \heartsuit^3 \spadesuit-\clubsuit^2 \spadesuit \heartsuit \spadesuit \right) } { \left( 1-3\clubsuit \heartsuit \spadesuit \clubsuit^2\heartsuit \right) }} { . }
Wie lautet das Ergebnis, wenn der Ring
\definitionsverweis {kommutativ}{}{}
ist?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f , a_i, b_j
}
{ \in }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige die folgenden Gleichungen:
\mathdisp {\sum_{ i = 0 }^{ n } a_{ i } f^{ i} + \sum_{ j = 0 }^{ m } b_{ j } f^{ j} = \sum_{k=0}^{ \max ( n,m) } ( a _{ k}+b _{ k} ) f^{ k }} { }
und
\mathdisp {{ \left( \sum_{ i = 0 }^{ n } a_{ i } f^{ i} \right) } \cdot { \left( \sum_{ j = 0 }^{ m } b_{ j } f^{ j} \right) } = \sum_{ k = 0 }^{ n+m } c_{ k } f^{ k} \text{ mit } c_{ k} =\sum_{ r= 0}^{ k } a_{ r } b_{ k - r }} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Formuliere die \stichwort {binomischen Formeln} {} für zwei reelle Zahlen und beweise die Formeln mit Hilfe des Distributivgesetzes.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Binomialkoeffizienten}{}{}
die rekursive Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \binom { n+1 } { k }
}
{ =} { \binom { n } { k } + \binom { n } { k-1 }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
erfüllen.
}
{Man mache sich dies auch für $k<0$ und $k \geq n$ klar.} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $M$ eine $n$-elementige Menge. Zeige, dass die Anzahl der $k$-elementigen Teilmengen von $M$ gleich dem
\definitionsverweis {Binomialkoeffizienten}{}{}
\mathdisp {\binom { n } { k }} { }
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Ring}{}{} und $M$ eine Menge. Definiere auf der Abbildungsmenge
\mathdisp {A= { \left\{ f:M \rightarrow R \mid f \text{ Abbildung} \right\} }} { }
eine Ringstruktur.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und seien $f,g$ \definitionsverweis {Nichtnullteiler}{}{} in $R$. Zeige, dass das Produkt $fg$ ebenfalls ein Nichtnullteiler ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Ring}{}{} und seien $S_i \subseteq R,\, i \in I$, \definitionsverweis {Unterringe}{}{.} Zeige, dass dann auch der Durchschnitt $\bigcap_{i \in I} S_i$ ein Unterring von $R$ ist.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $M$ eine Menge. Zeige, dass die
\definitionsverweis {Potenzmenge}{}{}
$\mathfrak {P} \, (M )$ mit dem Durchschnitt $\cap$ als Multiplikation und der
\definitionsverweis {symmetrischen Differenz}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ A \triangle B
}
{ =} {(A \setminus B) \cup (B \setminus A)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
als Addition
\zusatzklammer {mit welchen neutralen Elementen} {?} {}
ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Beweise die Formel
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ n 2^{n-1}
}
{ =} { \sum_{k = 0}^n k \binom { n } { k }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {Nullteiler}{}{}
und die Nichtnullteiler in
\mathl{\Z/(12 )}{.}
}
{} {}
Die nächste Aufgabe verwendet den Begriff des \stichwort {nilpotenten} {} Elementes in einem Ring.
Ein Element $a$ eines
\definitionsverweis {Ringes}{}{}
$R$ heißt \definitionswort {nilpotent}{,} wenn
\mathl{a^n=0}{} ist für eine natürliche Zahl $n$.
\inputaufgabe
{2}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f,g
}
{ \in }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {nilpotente Elemente}{}{.}
Zeige, dass dann die Summe $f+g$ ebenfalls nilpotent ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine fixierte positive natürliche Zahl. Zeige, dass die Menge aller rationalen Zahlen, die man mit einer Potenz von $n$ als Nenner schreiben kann, einen
\definitionsverweis {Unterring}{}{}
von $\Q$ bildet.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $R=\Z[ { \frac{ 2 }{ 3 } }]$ der von $\Z$ und $2/3$ \definitionsverweis {erzeugte Unterring}{}{} von $\Q$. Zeige, dass $R$ alle rationalen Zahlen enthält, die sich mit einer Potenz von $3$ im Nenner schreiben lassen.
}
{} {}