Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Arbeitsblatt 26

Übungsaufgaben

Aufgabe

Ist die Zahl, die den „goldenen Schnitt“ beschreibt, eine konstruierbare Zahl?

Aufgabe *

Zeige, dass man zu einem gegebenen Parallelogramm mit Zirkel und Lineal ein flächengleiches Rechteck derart konstruieren kann, dass eine Seite (von Parallelogramm und Rechteck) übereinstimmt.

Aufgabe

Zeige direkt, ohne Bezug auf Koordinaten, dass die Summe von zwei konstruierbaren komplexen Zahlen wieder konstruierbar ist.

Aufgabe

Es sei ${}Z\in {\mathbb {C} }$ eine konstruierbare Zahl und ${}r$ eine konstruierbare positive reelle Zahl. Zeige, dass dann auch der Kreis mit Mittelpunkt ${}Z$ und Radius ${}r$ konstruierbar ist.

Aufgabe

Betrachte ein DinA4-Blatt. Ist das Seitenverhältnis aus langer und kurzer Seitenlänge eine konstruierbare Zahl?

Aufgabe

Betrachte die Tastatur eines Klaviers. Ist das Schwingungsverhältnis von zwei nebeneinander liegendenTasten (bei „gleichstufiger Stimmung“) eine konstruierbare Zahl?

Aufgabe

Zeige, dass es kein nichtausgeartetes gleichseitiges Dreieck im ${}\mathbb {R} ^{2}$ gibt, dessen sämtliche Ecken rationale Koordinaten besitzen.

Aufgabe *

Es seien ${}z,w\in {\mathbb {C} }$ konstruierbare Zahlen. Bestimme, ob die Zahl

$z^{2}-3z{\sqrt {w}}+{\sqrt {z+w^{2}}}-{\frac {5}{7}}+4{\sqrt {{\sqrt {z}}+w}}+{\sqrt {11}}$

konstruierbar ist.

Aufgabe *

Zeige, dass zu zwei konstruierbaren positiven reellen Zahlen ${}a$ und ${}b$ die Potenz ${}a^{b}$ nicht konstruierbar sein muss.

Aufgabe

Zeige, dass es Geraden gibt, auf denen es keinen konstruierbaren Punkt gibt.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein Kreis ${}K$ und ein Punkt ${}P$ außerhalb des Kreises gegeben. Konstruiere eine der Tangenten an den Kreis, die durch ${}P$ läuft.

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass man zu einem gegebenen Dreieck mit Zirkel und Lineal ein flächengleiches gleichseitiges Dreieck konstruieren kann.

Aufgabe (2 Punkte)

Es seien ${}P$ und ${}Q$ zwei konstruierbare Punkte. Zeige, dass dann auch der Abstand ${}d(P,Q)$ konstruierbar ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Es seien ${}P,Q_{1},Q_{2}$ drei konstruierbare Punkte derart, dass die Abstände ${}d(P,Q_{1})$ und ${}d(P,Q_{2})$ gleich ${}1$ sind und dass der Winkel zwischen den dadurch definierten Halbgeraden ${}90$ Grad beträgt. Zeige, dass es dann eine affin-lineare Abbildung

$\varphi \colon E=\mathbb {R} ^{2}\longrightarrow E=\mathbb {R} ^{2}$

gibt, die ${}0$ auf ${}P$, ${}1$ auf ${}Q_{1}$ und ${}{\mathrm {i} }$ auf ${}Q_{2}$ schickt, und die konstruierbare Punkte in konstruierbare Punkte überführt.

Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass die komplexe Zahl ${}re^{{\mathrm {i} }\varphi }=r\left(\cos \varphi ,\,\sin \varphi \right)$ genau dann konstruierbar ist, wenn ${}r$ und ${}e^{{\mathrm {i} }\varphi }$ konstruierbar sind.

Aufgabe (4 Punkte)

Beweise auf zwei verschiedene Arten, dass die komplexe Quadratwurzel einer konstruierbaren komplexen Zahl wieder konstruierbar ist.