Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Arbeitsblatt 7/latex
\setcounter{section}{7}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
a) Zeige, dass ein \definitionsverweis {Ideal}{}{} in einem \definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{} $R$ eine \definitionsverweis {Untergruppe}{}{} von $R$ ist.
b) Zeige, dass für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R
}
{ = }{ \Z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Begriffe Untergruppe und Ideal zusammenfallen.
c) Man gebe eine Beispiel für einen kommutativen Ring $R$ und eine Untergruppe
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
die kein Ideal ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein Körper und
\mathl{d \in \N}{.} Zeige, dass die Menge
\mathdisp {{ \left\{ P= \sum_{i= 0 }^n a_iX^{i} \in K[X] \mid a_0 = a_1 = \ldots = a_d = 0 \right\} }} { }
ein
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
in
\mathl{K[X]}{} ist. Ist es ein
\definitionsverweis {Hauptideal}{}{?}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass im
\definitionsverweis {Polynomring}{}{}
\mathl{K[X,Y]}{} über einem Körper $K$ das
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
\mathl{(X,Y)}{} kein
\definitionsverweis {Hauptideal}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und seien
\mathbed {{\mathfrak a}_j} {}
{j \in J} {}
{} {} {} {,}
eine Familie von
\definitionsverweis {Idealen}{}{.}
Zeige, dass der Durchschnitt
\mathl{\bigcap_{j \in J} {\mathfrak a}_j}{} wieder ein Ideal ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und sei
\mathdisp {{\mathfrak a}_1 \subseteq {\mathfrak a}_2 \subseteq {\mathfrak a}_3 \subseteq \ldots} { }
eine aufsteigende Kette von
\definitionsverweis {Idealen}{}{.}
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Vereinigung}{}{}
\mathl{\bigcup_{n \in \N} {\mathfrak a}_n}{} ebenfalls ein Ideal ist. Zeige durch ein einfaches Beispiel, dass die Vereinigung von Idealen im Allgemeinen kein Ideal sein muss.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und
\mathl{a,b \in R}{.} Zeige folgende Aussagen.
\aufzaehlungvier{Das Element $a$ ist ein
\definitionsverweis {Teiler}{}{}
von $b$ (also
\mathl{a {{|}} b}{),} genau dann, wenn
\mathl{(b) \subseteq (a)}{.}
}{$a$ ist eine
\definitionsverweis {Einheit}{}{}
genau dann, wenn
\mathl{(a)=R=(1)}{.}
}{Jede Einheit teilt jedes Element.
}{Teilt $a$ eine Einheit, so ist $a$ selbst eine Einheit.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a_1 , \ldots , a_k
}
{ \in }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak b}
}
{ =} { (a_1) \cap (a_2) \cap \ldots \cap (a_k)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
der Durchschnitt der zugehörigen Hauptideale und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ r
}
{ \in }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass $r$ ein
\definitionsverweis {gemeinsames Vielfaches}{}{}
von
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a_1 , \ldots , a_k
}
{ \in }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau dann ist, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (r)
}
{ \subseteq }{ {\mathfrak b}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass das \definitionsverweis {Produkt}{}{} von \definitionsverweis {Hauptidealen}{}{} wieder ein Hauptideal ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und sei $M$ die Menge aller \definitionsverweis {Ideale}{}{} in $R$, die wir mit den beiden \definitionsverweis {Verknüpfungen}{}{} \definitionsverweis {Summe von Idealen}{}{} und \definitionsverweis {Produkt von Idealen}{}{} versehen. Welche \definitionsverweis {Ringaxiome}{}{} gelten dafür?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es seien
\mathkor {} {I} {und} {J} {}
\definitionsverweis {Ideale}{}{}
in einem
\definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{}
$R$ und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (I+J)^n
}
{ =} { I^n + I^{n-1}J+ I^{n-2}J^2 + \cdots + I^2J^{n-2} + IJ^{n-1} +J^n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
Ein homogenes Polynom
\mathl{P\in K[X_1 , \ldots , X_n]}{} ist ein Polynom, bei dem alle beteiligten Monome den gleichen Summengrad besitzen.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein kommutativer Ring und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ = }{ R[X_1 , \ldots , X_m]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der Polynomring darüber in $m$ Variablen. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak m}
}
{ = }{ (X_1 , \ldots , X_m)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
das von den Variablen erzeugte Ideal. Zeige, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak m}^n
}
{ = }{ P_{\geq n}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist, wobei $P_{\geq n}$ das Ideal in $P$ bezeichnet, das von allen homogenen Polynomen vom Grad $\geq n$ erzeugt wird.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme für $\Z$ die \definitionsverweis {Radikale}{}{,} die \definitionsverweis {Primideale}{}{} und die \definitionsverweis {maximalen Ideale}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme in $\Z$ das
\definitionsverweis {Radikal}{}{}
zum
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
\mathl{\Z 27}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{} und sei $0 \neq p \in R$ keine \definitionsverweis {Einheit}{}{.} Dann ist $p$ genau dann ein Primelement, wenn das von $p$ \definitionsverweis {erzeugte Ideal}{}{} $(p) \subset R$ ein \definitionsverweis {Primideal}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
\mathl{K[X]}{} der
\definitionsverweis {Polynomring}{}{}
über
\mathl{K}{} und
\mathl{P=aX+b}{} ein lineares Polynom
\zusatzklammer {\mathlk{a \neq 0}{}} {} {.}
Zeige, dass das
\definitionsverweis {Hauptideal}{}{}
\definitionsverweis {maximal}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
\mathl{K[X,Y]}{} der
\definitionsverweis {Polynomring}{}{}
über
\mathl{K}{} und
\mathl{a,b \in K}{} zwei Elemente. Zeige, dass die Menge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{{\mathfrak m}
}
{ =} {{ \left\{ P \in K[X,Y] \mid P(a,b) = 0 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {maximales Ideal}{}{}
in
\mathl{K[X,Y]}{} ist.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{4}
{
Zeige, dass im
\definitionsverweis {Polynomring}{}{}
\mathl{\Z[X]}{} das
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
\mathl{(X,5)}{} kein
\definitionsverweis {Hauptideal}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei
\mathl{{\mathfrak a} \subseteq R}{} ein
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
in einem
\definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{}
$R$. Zeige, dass die
\definitionsverweis {Potenzen}{}{}
\mathl{{\mathfrak a}^n,\, n \in \N_+}{,} alle dasselbe
\definitionsverweis {Radikal}{}{}
besitzen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und sei
\mathl{\mathfrak{a} \neq R}{} ein
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
in $R$. Zeige:
\mathl{\mathfrak{a}}{} ist genau dann ein
\definitionsverweis {maximales Ideal}{}{,}
wenn es zu jedem
\mathbed {g \in R} {}
{g \not\in \mathfrak a} {}
{} {} {} {,}
ein
\mathl{f \in \mathfrak a}{} und ein
\mathl{r \in R}{} gibt mit
\mathl{rg+f=1}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Zeige, dass ein
\definitionsverweis {maximales Ideal}{}{}
\mathl{{\mathfrak m}}{} in einem
\definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{}
$R$ ein
\definitionsverweis {Primideal}{}{}
ist.
}
{} {}