Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Arbeitsblatt 9/latex
\setcounter{section}{9}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Finde einen
\definitionsverweis {Primfaktor}{}{}
der Zahl
\mathl{2^{25}-1}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Finde einen Primfaktor der Zahl
\mathl{2^{25}+1}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Finde einen Primfaktor der folgenden drei Zahlen
\mathdisp {2^{33}-1, \, 2^{91}-1, \, 2^{13}+1} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Primfaktorzerlegung}{}{} von $1728$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Man gebe zwei Primfaktoren von
\mathl{2^{35} -1}{} an.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Finde zwei natürliche Zahlen, deren Summe
\mathl{65}{} und deren Produkt $1000$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Beweise den Satz, dass es unendlich viele Primzahlen gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{K[X]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$. Zeige, dass es unendlich viele normierte
\definitionsverweis {irreduzible}{}{}
Polynome in
\mathl{K[X]}{} gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass in einem \definitionsverweis {faktoriellen Bereich}{}{} $R$ der \definitionsverweis {größte gemeinsame Teiler}{}{} und das \definitionsverweis {kleinste gemeinsame Vielfache}{}{} von zwei Elementen $f,g \in R$ existieren.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die \definitionsverweis {Verknüpfung}{}{} \maabbeledisp {} {\Z \times \Z} {\Z } {(a,b)} {\operatorname{kgV} \, (a,b) } {,} \zusatzklammer {wobei man das $\operatorname{kgV} \, \geq 0$ wählt} {} {,} ein \definitionsverweis {Monoid}{}{} definiert.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {faktorieller Bereich}{}{.} Zeige, dass jedes von $0$ verschiedene \definitionsverweis {Primideal}{}{} ein \definitionsverweis {Primelement}{}{} enthält.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Charakterisiere in $\Z$ die Radikale mit Hilfe der Primfaktorzerlegung.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien $a$, $b$ und $r$ positive natürliche Zahlen. Zeige, dass die Teilbarkeit
\mathl{a^r {{|}} b ^r}{} die Teilbarkeit
\mathl{a {{|}} b}{} impliziert.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
a) Berechne den \definitionsverweis {größten gemeinsamen Teiler}{}{} der ganzen Zahlen \mathkor {} {2 \cdot 3^2 \cdot 7^4} {und} {2^4 \cdot 3^3 \cdot 5^{11} \cdot 7} {.}
b) Berechne den \definitionsverweis {größten gemeinsamen Teiler}{}{} der ganzen Zahlen \mathkor {} {2 \cdot 3^2 \cdot 6 \cdot 7} {und} {2^2 \cdot 3^3 \cdot 5^{4}} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Begründe, ob der
\definitionsverweis {größte gemeinsame Teiler}{}{}
zu zwei Zahlen
\mathl{a,b \in \Z}{} im Allgemeinen einfacher über die
\definitionsverweis {Primfaktorzerlegung}{}{}
der beiden Zahlen oder über den
\definitionsverweis {euklidischen Algorithmus}{}{}
zu finden ist.
}
{} {}
Die folgenden Aufgaben zeigen, dass die eindeutige Primfaktorzerlegung keineswegs selbstverständlich ist.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ \subseteq }{ \N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
diejenige Teilmenge, die aus allen natürlichen Zahlen besteht, die bei Division durch $4$ den Rest $1$ besitzen, also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M
}
{ = }{ \{1,5,9,13,17, { \ldots } \}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass man $441$ innerhalb von $M$ auf zwei verschiedene Arten in Faktoren zerlegen kann, die in $M$ nicht weiter zerlegbar sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Betrachte den
\definitionsverweis {Unterring}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R
}
{ =} {K[X^2,X^3,X^4,X^5, \ldots ]
}
{ \subset} { K[X]
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass $X^6$ zwei wesentlich verschiedene Zerlegungen in
\definitionsverweis {irreduzible Elemente}{}{}
besitzt.
}
{} {}
Die folgenden Aufgaben beschäftigen sich mit dem kommutativen Ring
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R
}
{ = }{ K[\Q_{\geq 0}]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
wobei $K$ ein fixierter Körper ist. Er besteht aus allen Ausdrücken der Form
\mathdisp {a_1X^{q_1} + a_2X^{q_2} + \cdots + a_nX^{q_n}} { }
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a_i
}
{ \in }{K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ q_i
}
{ \in }{ \Q_{\geq 0}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
besteht, und wobei die Addition komponentenweise und die Multiplikation durch distributive Fortsetzung der Regel
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{X^q \cdot X^p
}
{ \defeq} {X^{p+q}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegeben ist. Beispielsweise ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{{ \left( 2X^{1/2} + 5 X^{2/3} \right) } { \left( 3X^{1/2} -4 X^{1/3} \right) }
}
{ =} {6X -8 X^{ 5/6} +15 X^{7/6} -20X
}
{ =} { -14X-8 X^{ 5/6} +15 X^{7/6}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Man kann sich bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ = }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Elemente
\mathl{X^{a/b}}{} als die Funktionen
\maabbeledisp {} {\R_{\geq 0}} {\R_{\geq 0}
} {x} {x^{a/b} = \sqrt[b]{x^a}
} {}
vorstellen.
\inputaufgabe
{}
{
Berechne in $R=\R[\Q_{\geq 0}]$ das Produkt
\mathdisp {{ \left( X^2 +4 X^{3/2}-5X+ X^{1/2} \right) } { \left( 2 X^{3/2}+4X-7X^{1/2} \right) }} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass man jedes Element $F \in R=K[\Q_{\geq 0}]$
\zusatzklammer {$K$ ein Körper} {} {}
als ein Polynom in
\mathl{X^{1/b}}{} mit einem
\mathl{b \in \N_+}{} schreiben kann, dass es also ein
\mathl{P \in K[Y]}{} derart gibt, dass
\mathl{F=P(X^{1/b})}{} gilt. Welches Polynom kann man bei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F
}
{ =} {X^{1/2} +X^{1/3} + X^{1/5}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
nehmen?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass in $R=K[\Q_{\geq 0}]$ das Element $X$ keine Zerlegung in irreduzible Elemente besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass in $R=\R[\Q_{\geq 0}]$ das Element $X^2+1$ nicht \definitionsverweis {irreduzibel}{}{} ist.
}
{} {}
Die folgende Aufgabe verwendet Logarithmen und benötigt Grundkenntnisse in linearer Algebra.
\inputaufgabe
{}
{
Betrachte die reellen Zahlen $\R$ als $\Q$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Zeige, dass die Menge der reellen Zahlen $\ln p$, wobei $p$ durch die Menge der \definitionsverweis {Primzahlen}{}{} läuft, \definitionsverweis {linear unabhängig}{}{} ist.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{2}
{
Man bestimme das
\definitionsverweis {kleinste gemeinsame Vielfache}{}{}
der Zahlen
\mathdisp {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei $S$ ein
\definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{}
und
\mathl{R \subseteq S}{} ein
\definitionsverweis {Unterring}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{S^{\times} \cap R
}
{ =} { R^{\times}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
In $S$ besitze jede Nichteinheit eine Zerlegung in
\definitionsverweis {irreduzible Elemente}{}{.}
Zeige, dass diese Eigenschaft auch in $R$ gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4 (2+2)}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und
\mathl{a_1, a_2 , \ldots , a_n, b,f \in R}{} Elemente. Zeige die folgenden Aussagen.
1) Wenn $b$ ein
\definitionsverweis {größter gemeinsamer Teiler}{}{}
der
\mathl{a_1, a_2 , \ldots , a_n}{} ist, so ist auch $fb$ ein größter gemeinsamer Teiler der
\mathl{fa_1, fa_2 , \ldots , fa_n}{.}
2) Wenn $f$ ein \definitionsverweis {Nichtnullteiler}{}{} ist, so gilt hiervon auch die Umkehrung.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {faktorieller Bereich}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a,b
}
{ \in }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass $ab$ und das Produkt aus
\mathl{{\operatorname{KgV} \, \left( a , b \right) }}{} und
\mathl{{\operatorname{GgT} \, \left( a , b \right) }}{} zueinander
\definitionsverweis {assoziiert}{}{}
sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2 (1+1)}
{
Es seien
\mathl{a_1,a_2 , \ldots , a_n \in R}{} Elemente in einem
\definitionsverweis {faktoriellen Bereich}{}{}
$R$ und
\mathl{k \in \N}{.}
a) Zeige, dass
\mathdisp {\operatorname{ kgV}_{ } ^{ } { \left( a_1^k,a_2^k , \ldots , a_n^k \right) } \text{ und } { \left( \operatorname{ kgV}_{ } ^{ } { \left( a_1,a_2 , \ldots , a_n \right) } \right) }^k} { }
zueinander
\definitionsverweis {assoziiert}{}{}
sind.
b) Zeige, dass
\mathdisp {\operatorname{ ggT}_{ } ^{ } { \left( a_1^k,a_2^k , \ldots , a_n^k \right) } \text{ und } { \left( \operatorname{ ggT}_{ } ^{ } { \left( a_1,a_2 , \ldots , a_n \right) } \right) }^k} { }
zueinander assoziiert sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Zeige, dass es in $R={\mathbb C}[\Q_{\geq 0}]$ keine \definitionsverweis {irreduziblen Elemente}{}{} gibt.
}
{} {}