Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Definitionsliste
Eine Verknüpfung auf einer Menge ist eine Abbildung
Ein Monoid ist eine Menge zusammen mit einer Verknüpfung
und einem ausgezeichneten Element derart, dass folgende beiden Bedingungen erfüllt sind.
- Die Verknüpfung ist assoziativ, d.h. es gilt
für alle .
- ist neutrales Element der Verknüpfung, d.h. es gilt
für alle .
Ein Monoid heißt Gruppe, wenn jedes Element ein inverses Element besitzt, d.h. wenn es zu jedem ein mit gibt.
Eine Gruppe heißt kommutativ (oder abelsch), wenn die Verknüpfung kommutativ ist, wenn also für alle gilt.
Zu einer endlichen Gruppe bezeichnet man die Anzahl ihrer Elemente als Gruppenordnung oder als die Ordnung der Gruppe, geschrieben
Es sei eine Gruppe und ein Element. Dann nennt man die kleinste positive Zahl mit die Ordnung von . Man schreibt hierfür . Wenn alle positiven Potenzen von vom neutralen Element verschieden sind, so setzt man .
Es sei eine Gruppe. Eine Teilmenge heißt Untergruppe von wenn folgendes gilt.
- .
- Mit ist auch .
- Mit ist auch .
Es sei eine Gruppe und eine Teilmenge. Dann nennt man
die von erzeugte Untergruppe.
Eine Gruppe heißt zyklisch, wenn sie von einem Element erzeugt wird.
Ein Ring ist eine Menge mit zwei Verknüpfungen und und mit zwei ausgezeichneten Elementen und derart, dass folgende Bedingungen erfüllt sind:
- ist eine abelsche Gruppe.
- ist ein Monoid.
- Es gelten die Distributivgesetze, also und für alle .
Ein Ring heißt kommutativ, wenn die Multiplikation kommutativ ist.
Es seien und natürliche Zahlen mit . Dann nennt man
den Binomialkoeffizienten „ über “.
Ein Element in einem kommutativen Ring heißt Nullteiler, wenn es ein von verschiedenes Element mit gibt. Andernfalls heißt es ein Nichtnullteiler.
Ein kommutativer, nullteilerfreier, von verschiedener Ring heißt Integritätsbereich.
Eine Teilmenge eines Ringes nennt man einen Unterring, wenn sowohl eine Untergruppe von als auch ein Untermonoid von ist.