Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Definitionsliste


Definition:Verknüpfung

Eine Verknüpfung auf einer Menge ist eine Abbildung



Definition:Monoid

Ein Monoid ist eine Menge zusammen mit einer Verknüpfung

und einem ausgezeichneten Element derart, dass folgende beiden Bedingungen erfüllt sind.

  1. Die Verknüpfung ist assoziativ, d.h. es gilt

    für alle .

  2. ist neutrales Element der Verknüpfung, d.h. es gilt

    für alle .



Definition:Gruppe

Ein Monoid heißt Gruppe, wenn jedes Element ein inverses Element besitzt, d.h. wenn es zu jedem ein mit gibt.



Definition:Kommutative Gruppe

Eine Gruppe heißt kommutativ (oder abelsch), wenn die Verknüpfung kommutativ ist, wenn also für alle gilt.



Definition:Gruppenordnung

Zu einer endlichen Gruppe bezeichnet man die Anzahl ihrer Elemente als Gruppenordnung oder als die Ordnung der Gruppe, geschrieben



Definition:Ordnung eines Gruppenelementes

Es sei eine Gruppe und ein Element. Dann nennt man die kleinste positive Zahl mit die Ordnung von . Man schreibt hierfür . Wenn alle positiven Potenzen von vom neutralen Element verschieden sind, so setzt man .



Definition:Untergruppe

Es sei eine Gruppe. Eine Teilmenge heißt Untergruppe von wenn folgendes gilt.

  1. .
  2. Mit ist auch .
  3. Mit ist auch .


Definition:Erzeugte Untergruppe

Es sei eine Gruppe und eine Teilmenge. Dann nennt man

die von erzeugte Untergruppe.



Definition:Zyklische Gruppe

Eine Gruppe heißt zyklisch, wenn sie von einem Element erzeugt wird.



Definition:Ring

Ein Ring ist eine Menge mit zwei Verknüpfungen und und mit zwei ausgezeichneten Elementen und derart, dass folgende Bedingungen erfüllt sind:

  1. ist eine abelsche Gruppe.
  2. ist ein Monoid.
  3. Es gelten die Distributivgesetze, also und für alle .


Definition:Kommutativer Ring

Ein Ring heißt kommutativ, wenn die Multiplikation kommutativ ist.



Definition:Binomialkoeffizient

Es seien und natürliche Zahlen mit . Dann nennt man

den Binomialkoeffizienten über “.



Definition:Nichtnullteiler

Ein Element in einem kommutativen Ring heißt Nullteiler, wenn es ein von verschiedenes Element mit gibt. Andernfalls heißt es ein Nichtnullteiler.



Definition:Integritätsbereich

Ein kommutativer, nullteilerfreier, von verschiedener Ring heißt Integritätsbereich.



Definition:Unterring

Eine Teilmenge eines Ringes nennt man einen Unterring, wenn sowohl eine Untergruppe von als auch ein Untermonoid von ist.