Kurs:Elliptische Kurven (Osnabrück 2021-2022)/Arbeitsblatt 19
- Aufgaben
Aufgabe
Es sei ein Vektorraum über einem Körper der Charakteristik . Zeige .
Aufgabe
Es sei ein Vektorraum über einem Körper der Charakteristik . Zeige .
Aufgabe
Es sei eine zyklische Gruppe. Bestimme .
Aufgabe
Es sei die (multiplikative) Untergruppe der Quadrate innerhalb der positiven rationalen Zahlen und es sei die zugehörige Äquivalenzrelation auf . Zeige, dass jede Äquivalenzklasse einen eindeutigen Repräsentanten besitzt, der durch eine natürliche Zahl gegeben ist, in deren Primfaktorzerlegung jeder Primfaktor einfach ist (die erfülle diese Eigenschaft).
Aufgabe
Zeige, dass die beiden kommutativen Gruppen und nicht isomorph sind.
Aufgabe
Bestimme die Restklassengruppe .
Aufgabe
Es sei ein endlicher Körper der Charakteristik . Zeige
Aufgabe
Es sei ein Zahlkörper. Zeige, dass die Restklassengruppe unendlich ist.
Aufgabe *
Aufgabe *
Es sei
die Gleichung einer elliptischen Kurve in Zerlegungsform über einem Körper mit . Es gelte . Zeige, dass mit
und
die Verdoppelungsgleichung gilt.
Aufgabe *
Wir betrachten die durch
gegebene elliptische Kurve über . Zeige, dass der Punkt nach der Körpererweiterung einen Halbierungspunkt bekommt. Bestimme die Koordinaten (über ) eines solchen Halbierungspunktes.
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