Kurs:Elliptische Kurven (Osnabrück 2021-2022)/Arbeitsblatt 21/latex
\setcounter{section}{21}
\zwischenueberschrift{Aufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {Höhe}{}{}
des Punktes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \left( { \frac{ 27 }{ 100 } } , \, { \frac{ 35 }{ 64 } } , \, { \frac{ 13 }{ 11 } } \right)
}
{ \in }{ {\mathbb P}^{2}_{\Q}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die \definitionsverweis {Höhe}{}{} eines jeden Punktes auf der projektiven Geraden ${\mathbb P}^{1}_{\Q}$ eine positive natürliche Zahl ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Höhe}{}{}
eines Punktes
\mathl{(x,1)}{} auf der projektiven Geraden ${\mathbb P}^{1}_{\Q}$ gleich dem Maximum der
\definitionsverweis {Beträge}{}{}
des Zählers und des Nenners in einer gekürzten Darstellung von $x$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die Punkte auf der
\definitionsverweis {projektiven Geraden}{}{}
${\mathbb P}^{1}_{\Q}$, deren
\definitionsverweis {Höhe}{}{}
gleich
\mathl{6,7,8,9,10}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass für
\mathbed {f \in \Q} {}
{f \neq 0} {}
{} {} {} {,}
die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \prod_{ x \in M_\Q} \betrag { f }_x
}
{ =} { 1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
Eine entsprechende Gleichung gilt für jeden Zahlkörper, siehe
Satz Anhang 4.3,
der Beweis erfordert aber stärkere Hilfsmittel der algebraischen Zahlentheorie. Den folgenden Spezialfall kann man mit
Lemma 7.14 (Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021))
beweisen.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subseteq }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Zahlkörper}{}{}
mit dem zugehörigen
\definitionsverweis {Zahlbereich}{}{}
$R$. Zeige, dass für eine
\definitionsverweis {Einheit}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \in }{ R^{\times}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \prod_{ x \in M_K} \betrag { f }_x
}
{ =} { 1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subseteq }{K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Zahlkörper}{}{}
mit dem zugehörigen
\definitionsverweis {Zahlbereich}{}{}
$R$. Zeige, dass die
\definitionsverweis {Höhe}{}{}
eines Punktes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{(f,1)
}
{ \in }{ {\mathbb P}^{1}_{K}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der
\definitionsverweis {projektiven Geraden}{}{}
zu einer
\definitionsverweis {Einheitswurzel}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \in }{ R^{\times}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gleich $1$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subseteq }{K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Zahlkörper}{}{}
mit dem zugehörigen
\definitionsverweis {Zahlbereich}{}{}
$R$. Zeige, dass die
\definitionsverweis {Höhe}{}{}
eines Punktes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{(f,1)
}
{ \in }{ {\mathbb P}^{1}_{K}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der
\definitionsverweis {projektiven Geraden}{}{}
zu einer
\definitionsverweis {Einheit}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \in }{ R^{\times}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
nicht unbedingt gleich $1$ sein muss.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {Höhe}{}{}
für den Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{( { \frac{ 2+3 { \mathrm i} }{ 1-5 { \mathrm i} } } ,1)
}
{ \in }{ {\mathbb P}^{1}_{ \Q[ { \mathrm i} ]}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
über dem Körper $\Q[ { \mathrm i} ]$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass in
Lemma 21.8
die Abschätzung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ H(xy)
}
{ \leq }{ H(x) H(y)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für die
\definitionsverweis {absolute Höhe}{}{}
im Allgemeinen echt ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass es in der Situation von
Lemma 21.8
keine
\zusatzklammer {von
\mathkor {} {x} {und} {y} {}
unabhängige} {} {}
positive Konstante $c$ derart gibt, dass die Abschätzung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ H(xy)
}
{ \geq }{ c H(x) H(y)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für die
\definitionsverweis {absolute Höhe}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass es zu jeder Schranke
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{S
}
{ \in }{\R_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
nur endliche viele $\Q$-rationale Punkte auf der projektiven Geraden ${\mathbb P}^{1}_{\Q}$ gibt, deren
\definitionsverweis {Höhe}{}{}
unterhalb von $S$ liegt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass es zu jeder Schranke
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{S
}
{ \in }{\R_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
nur endliche viele $\Q$-rationale Punkte auf dem projektiven Raum ${\mathbb P}^{m}_{\Q}$ gibt, deren
\definitionsverweis {Höhe}{}{}
unterhalb von $S$ liegt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{ {\mathbb P}^{m}_{ { \overline{ \Q } } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und sei
\maabbdisp {\varphi} {{ \overline{ \Q } } } { { \overline{ \Q } }
} {}
ein
\definitionsverweis {Körperautomorphismus}{}{}
mit dem induzierten Automorphismus auf dem projektiven Raum. Zeige, dass für die
\definitionsverweis {absolute Höhe}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ H(\varphi(P))
}
{ =} { H(P)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}