Kurs:Elliptische Kurven (Osnabrück 2021-2022)/Arbeitsblatt 24/latex

\setcounter{section}{24}






\zwischenueberschrift{Aufgaben}




\inputaufgabe
{}
{

Berechne die Koeffizienten der Zetafunktion
\mathdisp {\exp \left( \sum_{ r = 1}^\infty N_r { \frac{ t^r }{ r } } \right)} { }
bis zum fünften Glied.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Weilsche Zeta-Funktion}{}{} für die einpunktige Varietät über $\Z/(p)$ mit \definitionsverweis {Restekörper}{}{} $\Z/(p)$.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Weilsche Zeta-Funktion}{}{} für die einpunktige Varietät über ${\mathbb F}_{ p^e }$ mit \definitionsverweis {Restekörper}{}{} ${\mathbb F}_{ p^e }$.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Weilsche Zeta-Funktion}{}{} für die einpunktige Varietät über $\Z/(p)$ mit \definitionsverweis {Restekörper}{}{} ${\mathbb F}_{ p^e }$.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{X }
{ = }{X_1 \uplus X_2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die disjunkte Vereinigung der Varietäten \mathkor {} {X_1} {und} {X_2} {} über dem \definitionsverweis {endlichen Körper}{}{}
\mathl{{\mathbb F}_{ q }}{.} In welcher Beziehung stehen die \definitionsverweis {Zeta-Funktionen}{}{} von \mathkor {} {X_1} {und} {X_2} {} zur Zeta-Funktion von $X_1 \uplus X_2$?

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Weilsche Zeta-Funktion}{}{} für die Produktvarietät
\mathl{{\mathbb P}^{1}_{ \Z/(p)} \times {\mathbb P}^{1}_{ \Z/(p)}}{} über $\Z/(p)$.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die Reihe
\mathl{\sum_{r = 1}^\infty { \frac{ N_r }{ r } } t^r}{,} wobei $N_r$ die Anzahl der ${\mathbb F}_{ q^r }$-\definitionsverweis {rationalen Punkte}{}{} des projektiven Raumes ${\mathbb P}^{n}_{{\mathbb F}_{ q } }$ bezeichnet, für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { t } }
{ < }{ { \frac{ 1 }{ q^n } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} konvergiert.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $X$ eine projektive Varietät über einem endlichen Körper ${\mathbb F}_{ q }$ und sei $N_r$ die Anzahl der ${\mathbb F}_{ q^r }$-\definitionsverweis {rationalen Punkte}{}{} von $X$. Zeige, dass es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{m }
{ \in }{\N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} derart gibt, dass die Reihe
\mathl{\sum_{r = 1}^\infty { \frac{ N_r }{ r } } t^r}{} für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { t } }
{ < }{ { \frac{ 1 }{ m } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} konvergiert.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $E$ eine \definitionsverweis {elliptische Kurve}{}{} über $\Z/(p)$ und sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ b_{p^r} }
{ \defeq} { p^r + 1 - { \# \left( E( {\mathbb F}_{ p^r } ) \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Zeige, dass diese Zahlen \zusatzklammer {mit
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{b_{p^0} }
{ = }{b_1 }
{ = }{2 }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{}} {} {} für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r }
{ \geq }{2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die rekursive Bedingung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ b_{p^{r+1} } }
{ =} { b_p \cdot b_{p^r} - p \cdot b_{p^{r-1} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} erfüllen.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es seien \mathkor {} {\alpha} {und} {\beta} {} komplexe Zahlen mit der Eigenschaft, dass sowohl \mathkor {} {\alpha + \beta} {als auch} {\alpha \cdot \beta} {} ganzzahlig sind. Zeige, dass dann zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ \in }{ \N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} auch \mathkor {} {\alpha^n + \beta^n} {und} {\alpha^n \cdot \beta^n} {} ganzzahlig sind.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Beweise die Hasseschranke mit Hilfe von Satz 24.3.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Wir betrachten die durch die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{Y^2 }
{ =} {X^3+X }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gegebene \definitionsverweis {elliptische Kurve}{}{} $E$ über $\Z/(5)$. \aufzaehlungvier{Bestimme die Anzahl der $\Z/(5)$-\definitionsverweis {rationalen Punkte}{}{} von $E$. }{Bestimme die \definitionsverweis {Zeta-Funktion}{}{} von $E$. }{Erstelle eine Formel für die Anzahl der ${\mathbb F}_{ 5^r }$-rationalen Punkte von $E$ für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r }
{ \in }{ \N_+ }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Bestimme die Anzahl der ${\mathbb F}_{ 5^r }$-rationalen Punkte von $E$ für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r }
{ = }{2,3,4 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }

}
{} {}