Kurs:Elliptische Kurven (Osnabrück 2021-2022)/Arbeitsblatt 7/latex
\setcounter{section}{7}
\zwischenueberschrift{Aufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und ${\mathbb P}^{n}_{K}$ der
\definitionsverweis {projektive Raum}{}{}
über $K$. Zeige, dass die Konstanten die einzigen globalen
\definitionsverweis {algebraischen Funktionen}{}{}
sind, d.h. es gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Gamma { \left( {\mathbb P}^{n}_{K} , {\mathcal O}_{ {\mathbb P}^{n}_{K} } \right) }
}
{ =} { K
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{U
}
{ =} {D_+(X_0) \cup D_+(X_1)
}
{ \subseteq} { {\mathbb P}^{n}_{K}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Gamma { \left( U , {\mathcal O}_{ {\mathbb P}^{n}_{K} } \right) }
}
{ =} { K
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \in }{K[X_0,X_1 , \ldots , X_n ]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {homogenes Polynom}{}{}
vom Grad $d$ und sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{D_+(f)
}
{ \subseteq} { {\mathbb P}^{n}_{K}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die zugehörige offene Teilmenge des
\definitionsverweis {projektiven Raumes}{}{.}
Zeige, dass zu jedem homogenen Polynom
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{h
}
{ \in }{K[X_0,X_1 , \ldots , X_n ]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
vom Grad $e$ die rationale Funktion
\mathl{{ \frac{ h }{ f^n } }}{} unter der Bedingung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{e
}
{ = }{nd
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {algebraische Funktion}{}{}
\maabbdisp {{ \frac{ h }{ f^n } }} {D_+(f) } { K
} {}
definiert.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R
}
{ \subseteq }{S
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche Ringerweiterung}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ \in }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige: Wenn $f$, aufgefasst in $S$, eine
\definitionsverweis {Einheit}{}{}
ist, dann ist $f$ eine Einheit in $R$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Begründe, dass
\mathl{K[y,z] \subseteq K[x,y,z]/(x^2+yz^2+z^{m+1})}{}
\definitionsverweis {endlich}{}{} ist. Wie sieht es über
\mathl{K[x,y]}{} bzw.
\mathl{K[x,z]}{} aus?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Begründe, dass
\mathl{K[x,y] \subseteq K[x,y,z]/(xy-z^n)}{}
\definitionsverweis {endlich}{}{} ist. Wie sieht es über
\mathl{K[x,z]}{} bzw.
\mathl{K[y,z]}{} aus?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{S
}
{ =} {R[X_1 , \ldots , X_n]/{\mathfrak a}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine
\zusatzklammer {als Algebra} {} {}
\definitionsverweis {endlich erzeugte}{}{}
$R$-\definitionsverweis {Algebra}{}{,}
die
\definitionsverweis {ganz}{}{}
über $R$ sei. Zeige, dass $S$ ein
\definitionsverweis {endlich erzeugter}{}{}
$R$-\definitionsverweis {Modul}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{P \in K[X]}{} ein nichtkonstantes
\definitionsverweis {Polynom}{}{.}
Zeige, dass $P$ nicht
\definitionsverweis {algebraisch}{}{}
über $K$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mathl{L=K(X)}{} der
\definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{} des
\definitionsverweis {Polynomrings}{}{} $K[X]$. Es sei
\mathbed {M} {}
{K \subseteq M \subseteq L} {}
{M \neq K} {} {} {,} ein Zwischenkörper. Zeige, dass
\mathl{M \subseteq L}{} eine
\definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{} ist.
}
{} {}
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und sei $A$ eine kommutative
$K$-\definitionsverweis {Algebra}{}{.}
Man nennt Elemente
\mathl{f_1 , \ldots , f_n \in A}{}
\definitionswort {algebraisch abhängig}{,}
wenn es ein von $0$ verschiedenes Polynom
\mathl{P \in K[X_1 , \ldots , X_n]}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P(f_1 , \ldots , f_n)
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{K[X_1 , \ldots , X_n]}{} der
\definitionsverweis {Polynomring}{}{}
über einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$. Zeige, dass die Variablen
\mathl{X_1 , \ldots , X_n}{}
\definitionsverweis {algebraisch unabhängig}{}{}
sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{K[X_1 , \ldots , X_n]}{} der
\definitionsverweis {Polynomring}{}{}
über einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$ und seien
\mathl{n+1}{} Polynome
\mathl{f_1 , \ldots , f_{n+1} \in K[X_1 , \ldots , X_n]}{} gegeben. Zeige, dass diese
\definitionsverweis {algebraisch abhängig}{}{}
sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabbdisp {\varphi} { { {\mathbb A}_{ K }^{ m } } } { { {\mathbb A}_{ K }^{ n } }
} {}
eine
\definitionsverweis {polynomiale Abbildung}{}{}
zwischen
\definitionsverweis {affinen Räumen}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{m
}
{ < }{n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass $\varphi$ nicht
\definitionsverweis {surjektiv}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $A$ eine kommutative
$K$-\definitionsverweis {Algebra}{}{}
über einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$ und seien
\mathl{n}{} Elemente
\mathl{f_1 , \ldots , f_{n} \in A}{} gegeben. Zeige, dass diese Elemente genau dann
\definitionsverweis {algebraisch unabhängig}{}{}
sind, wenn die von diesen Elementen
\definitionsverweis {erzeugte}{}{}
$K$-Algebra
\mathl{K[f_1 , \ldots , f_n ]}{}
\definitionsverweis {isomorph}{}{}
zum
\definitionsverweis {Polynomring}{}{}
\mathl{K[X_1 , \ldots , X_n]}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F
}
{ \in }{ K[X,Y]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein nichtkonstantes Polynom. Zeige, dass der
\definitionsverweis {Restklassenring}{}{}
\mathdisp {K[X,Y]/(F)} { }
eine
\definitionsverweis {endliche}{}{}
$K[T]$-Algebra ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathl{R,S,T}{}
\definitionsverweis {kommutative Ringe}{}{}
und seien
\mathl{\varphi:R \rightarrow S}{} und
\mathl{\psi:S \rightarrow T}{} Ringhomomorphismen derart, dass $S$
\definitionsverweis {endlich}{}{}
über $R$ und $T$ endlich über $S$ ist. Zeige, dass dann auch $T$ endlich über $R$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und es sei eine
\definitionsverweis {endliche Ringerweiterung}{}{}
der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{K[X]
}
{ \subseteq} { K[X] [Y]/ { \left( Y^n+ P_{n-1}(X)Y^{n-1} + \cdots + P_{2}(X)Y^{2} +P_1(X)Y+ P_0(X) \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P_i(X)
}
{ \in }{ K[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegeben, wobei der Erweiterungsring
\definitionsverweis {integer}{}{}
sei. Es sei $k$ derart, dass der Grad von $P_i$ höchstens
\mathl{k(n-i)}{} ist für alle
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ i
}
{ =} { 0,1 , \ldots , n-1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass dann $YX^{-k}$ eine Ganzheitsgleichung vom Grad $n$ über $K[X^{-1} ]$ erfüllt, und dass die zugehörige Erweiterungsalgebra den gleichen Quotientenkörper besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $F\in K[X]$ ein
\definitionsverweis {Polynom}{}{.}
Interpretiere $F$ als
\definitionsverweis {Morphismus}{}{}
\maabbdisp {F} { {\mathbb P}^{1}_{K} } { {\mathbb P}^{1}_{K}
} {.}
Was ist
\mathl{F(\infty)}{?}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F
}
{ = }{G/H
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {rationale Funktion}{}{}
über dem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$. Interpretiere $F$ als
\definitionsverweis {Morphismus}{}{}
\maabbdisp {F} { {\mathbb P}^{1}_{K} } { {\mathbb P}^{1}_{K}
} {.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme zu einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (a,b)
}
{ \in }{ {\mathbb P}^{1}_{}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Gleichung für die Urbildgerade zur
\definitionsverweis {Projektion weg von einem Punkt}{}{}
\maabbeledisp {} { {\mathbb P}^{2}_{K} \setminus \{ (1,0,0) \} } { {\mathbb P}^{1}_{K}
} {(x,y,z)} { (y,z)
} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass es einen \definitionsverweis {Morphismus}{}{} \maabbdisp {} {V(X^2-Y^3) \supseteq U = V(X^2-Y^3) \setminus \{(0,0)\} } { {\mathbb A}^{1}_{} } {} gibt, den man nicht auf $V(X^2-Y^3)$ ausdehnen kann.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die Einschränkung der
\definitionsverweis {Projektion weg von einem Punkt}{}{}
\maabbdisp {} { {\mathbb P}^{2}_{K} \setminus \{ P \} } { {\mathbb P}^{1}_{K}
} {}
auf eine jede Gerade
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G
}
{ \subset }{ {\mathbb P}^{2}_{K}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
die nicht durch $P$ geht, einen Isomorphismus induziert.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{,}
sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{C
}
{ = }{ V_+ { \left( X^2+Y^2+Z^2 \right) }
}
{ \subset }{ {\mathbb P}^{2}_{K}
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und sei
\maabbdisp {\varphi} {C} { {\mathbb P}^{1}_{K}
} {}
der durch die
\definitionsverweis {Projektion weg vom Punkt}{}{}
\maabbeledisp {} { {\mathbb P}^{2}_{K} \setminus \{(1,0,0)\}} { {\mathbb P}^{1}_{K}
} {(x,y,z)} { (y,z)
} {,}
definierte
\definitionsverweis {Morphismus}{}{.}
Bestimme das Urbild des Punktes
\mathl{(3,5) \in {\mathbb P}^{1}_{K}}{.}
}
{} {}
Der Beweis der folgenden Aussage erfordert das Konzept der \definitionsverweis {Separabilität für Polynome}{}{} und den Charakterisierungssatz für separable Polynome.
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{}
der
\definitionsverweis {Charakteristik}{}{}
$0$ und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{C
}
{ \subset }{ {\mathbb P}^{2}_{K}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {irreduzible}{}{}
\definitionsverweis {ebene projektive Kurve}{}{}
vom Grad $d$ und sei
\maabbdisp {\varphi} {C} { {\mathbb P}^{1}_{K}
} {}
der durch eine
\definitionsverweis {Projektion weg von einem Punkt}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \notin }{ C
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
definierte
\definitionsverweis {Morphismus}{}{.}
Zeige, dass bis auf endlich viele Ausnahmen die
\definitionsverweis {Faser}{}{}
zu jedem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t
}
{ \in }{ {\mathbb P}^{1}_{K}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
aus genau $d$ Punkten besteht.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{}
der
\definitionsverweis {Charakteristik}{}{}
$p>0$ und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{C
}
{ = }{V { \left( YZ^{p-1} +X^p \right) }
}
{ \subset }{ {\mathbb P}^{2}_{K}
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass der durch die
\definitionsverweis {Projektion weg vom Punkt}{}{}
\mathl{(1,0,0)}{} definierte
\definitionsverweis {Morphismus}{}{}
\maabbdisp {\varphi} {C} { {\mathbb P}^{1}_{K}
} {}
bijektiv ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{C
}
{ \subset }{ {\mathbb P}^{2}_{K}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {ebene projektive Kurve}{}{.}
Es sei
\mathl{P \in C}{} ein Punkt der Kurve und sei
\maabbdisp {\varphi} {C \setminus \{P\} } { {\mathbb P}^{1}_{K}
} {}
der durch die
\definitionsverweis {Projektion weg vom Punkt}{}{}
definierte
\definitionsverweis {Morphismus}{}{.}
Bei dieser Abbildung wird also ein Punkt
\mathbed {Q \in C} {}
{Q \neq P} {}
{} {} {} {,}
auf die durch
\mathkor {} {Q} {und} {P} {}
gegebene \stichwort {Sekante} {} abgebildet.
\aufzaehlungdrei{Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ = }{{\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und sei $Q_n$ eine Folge auf $C$, die in der
\definitionsverweis {komplexen Topologie}{}{}
gegen $P$
\definitionsverweis {konvergiert}{}{.}
Konvergiert $\varphi(Q_n)$?
}{Besitzt $\varphi(Q_n)$ einen
\definitionsverweis {Häufungspunkt}{}{?}
}{Es sei $P$ ein glatter Punkt. Zeige, dass es eine Fortsetzung des Morphismus auf ganz $C$ gibt.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Diskutiere die Situation aus
Aufgabe 7.25
für das Achsenkreuz
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V_+(YZ)
}
{ \subset} { {\mathbb P}^{2}_{}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und den Kreuzungspunkt
\mathl{(1,0,0)}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F
}
{ = }{G/H
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {rationale Funktion}{}{}
über den reellen Zahlen $\R$
\zusatzklammer {oder den komplexen Zahlen ${\mathbb C}$} {} {}
mit dem zugehörigen
\definitionsverweis {Morphismus}{}{}
\maabbdisp {F} { {\mathbb P}^{1}_{ {\mathbb K} } } { {\mathbb P}^{1}_{ {\mathbb K}}
} {.}
Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F( \infty)
}
{ =} { c
}
{ \in} { {\mathbb P}^{1}_{ {\mathbb K}}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
genau dann gilt, wenn die
\definitionsverweis {Folge}{}{}
\mathdisp {{ \frac{ G(n) }{ H(n) } }} { }
für
\mathl{n \rightarrow \infty}{} gegen $c$
\definitionsverweis {konvergiert}{}{}
\zusatzklammer {was für
\mathl{c=\infty}{} sinnvoll zu interpretieren ist} {} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{C
}
{ \subset }{{\mathbb P}^{2}_{K}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {glatte Kurve}{}{}
vom Grad
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{d
}
{ \geq }{2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass es einen
\definitionsverweis {Morphismus}{}{}
\maabb {} {C} {{\mathbb P}^{1}_{K}
} {}
derart gibt, dass jede Faser aus maximal
\mathl{d-1}{} Punkten besteht.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{C=V_+ { \left( X^3+Y^3+Z^3 \right) } \subset {\mathbb P}^{2}_{K}}{} die \stichwort {Fermat-Kubik} {} über einem algebraisch abgeschlossenen Körper der Charakteristik $\neq 3$. Beschreibe explizit einen Morphismus
\mathl{C \rightarrow {\mathbb P}^{1}_{K}}{,} bei dem über jedem Punkt maximal zwei Punkte liegen.
}
{} {}