Kurs:Elliptische Kurven (Osnabrück 2021-2022)/Definitionsliste


Definition:Ebene affin-algebraische Kurve

Es sei ein Körper. Eine ebene affin-algebraische Kurve über ist das Nullstellengebilde eines nicht-konstanten Polynoms in zwei Variablen, also

D.h. es ist



Definition:Nullstellengebilde

Es sei ein Körper und sei , , eine Familie von Polynomen in Variablen. Dann nennt man

das durch die Familie definierte Nullstellengebilde (oder Nullstellenmenge). Es wird mit bezeichnet.



Definition:Affin-algebraische Mengen

Es sei ein Körper und sei der Polynomring in Variablen. Dann heißt eine Teilmenge im affinen Raum affin-algebraisch, wenn sie die Nullstellenmenge zu einer Familie , , von Polynomen ist, wenn also gilt.



Definition:Algebraisch abgeschlossener Körper

Ein Körper heißt algebraisch abgeschlossen, wenn jedes nichtkonstante Polynom eine Nullstelle in besitzt.



Definition:Algebraischer Abschluss

Es sei ein Körper. Eine Körpererweiterung heißt algebraischer Abschluss von , wenn die Erweiterung algebraisch und algebraisch abgeschlossen ist.



Definition:Glatter Punkt (ebene Kurve)

Es sei ein Körper und ein von verschiedenes Polynom. Es sei ein Punkt der zugehörigen affinen ebenen Kurve. Dann heißt ein glatter Punkt von , wenn

gilt. Andernfalls heißt der Punkt singulär.



Definition:Glatte ebene Kurve

Es sei ein Körper und ein von verschiedenes Polynom. Man nennt eine glatte Kurve, wenn sie in jedem - Punkt glatt ist.



Definition:Lokaler Ring

Ein kommutativer Ring heißt lokal, wenn genau ein maximales Ideal besitzt.



Definition:Diskreter Bewertungsring

Ein diskreter Bewertungsring ist ein Hauptidealbereich mit der Eigenschaft, dass es bis auf Assoziiertheit genau ein Primelement in gibt.



Definition:Der projektive Raum

Es sei ein Körper. Der projektive -dimensionale Raum besteht aus allen Geraden des durch den Nullpunkt, wobei diese Geraden als Punkte aufgefasst werden. Ein solcher Punkt wird repräsentiert durch homogene Koordinaten , wobei nicht alle sein dürfen, und wobei zwei solche Koordinatentupel genau dann den gleichen Punkt repräsentieren, wenn sie durch Multiplikation mit einem Skalar ineinander übergehen.



Definition:Kegelabbildung

Die Abbildung

die einem Punkt die durch diesen Punkt und den Nullpunkt bestimmte Gerade zuordnet, heißt Kegelabbildung.



Definition:Projektives Nullstellengebilde zu homogenem Polynom

Es sei ein Körper. Zu einem homogenen Polynom bezeichnet man die Menge

als die projektive Nullstellenmenge zu .



Definition:Homogenes Ideal

Es sei ein Körper und ein Ideal. Das Ideal heißt homogen, wenn für jedes mit der homogener Zerlegung auch für alle homogenen Bestandteile ist.



Definition:Nullstellengebilde zu einem homogenen Ideal

Zu einem homogenen Ideal nennt man

das projektive Nullstellengebilde oder die projektive Varietät zu .



Definition:Die Zariski-Topologie auf dem projektiven Raum

Der projektive Raum wird mit der Zariski-Topologie versehen, bei der die Mengen zu einem homogenen Ideal als abgeschlossen erklärt werden.



Definition:Projektive ebene Kurve

Eine projektive ebene Kurve ist die Nullstellenmenge zu einem homogenen nicht-konstanten Polynom .



Definition:Fermat-Kurven

Es sei ein Körper und . Dann heißt die ebene projektive Kurve

die Fermat-Kurve vom Grad .



Definition:Glatte (ebene projektive) Kurve

Es sei ein Körper. Eine ebene projektive Kurve zu einem homogenen Polynom heißt glatt, wenn sie in jedem - Punkt glatt ist.



Definition:Elliptische Kurve

Eine glatte ebene projektive Kurve mit homogen vom Grad , die zumindest einen - rationalen Punkt besitzt, heißt elliptische Kurve über .



Definition:Kongruente Zahl

Eine natürliche Zahl heißt kongruent, wenn sie als Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks auftritt, dessen Seitenlängen allesamt rationale Zahlen sind.



Definition:Diskriminante (elliptische Kurve)

Es sei eine elliptische Kurve über einem Körper in kurzer Weierstraßform

Dann nennt man

die Diskriminante von .



Definition:j-Invariante

Es sei eine elliptische Kurve über einem Körper in kurzer Weierstraßform

Dann nennt man

wobei die Diskriminante zu bezeichnet, die -Invariante von .



Definition:Legendresche Normalform

Man sagt, dass eine elliptische Kurve in Legendrescher Normalform vorliegt, wenn sie durch eine Gleichung der Form

mit beschrieben wird.



Definition:Addition auf elliptischer Kurve

Es sei eine elliptische Kurve über und sei ein fixierter - Wendepunkt der Kurve. Zu -Punkten sei die projektive Gerade durch und , die bei als Tangente durch zu interpretieren ist, und sei der neben und dritte Punkt auf der Kurve. Dann nennt man

das Negative zu und

die Summe der beiden Punkte.



Definition:Gitter

Es seien linear unabhängige Vektoren im . Dann heißt die Untergruppe ein Gitter im .



Definition:Gitter ()

Unter einem Gitter in den komplexen Zahlen versteht man ein vollständiges Gitter .



Definition:Komplexe Lie-Gruppe

Eine komplexe Mannigfaltigkeit , die zugleich eine Gruppe ist, für die die Gruppenverknüpfung

und die Inversenbildung

holomorph sind, heißt komplexe Lie-Gruppe.



Definition:Komplexer Torus

Unter einem komplexen Torus versteht man den Quotientenraum zu einem Gitter .



Definition:Streckungsäquivalente Gitter

Zwei Gitter heißen streckungsäquivalent, wenn es eine komplexe Zahl mit gibt.



Definition:Modulsubstitution

Die Gruppenoperation der Gruppe auf der oberen Halbebene durch

heißt Modulsubstitution.



Definition:Isogenie (Torus)

Zu komplexen Tori und nennt man einen holomorphen Gruppenhomomorphismus eine Isogenie



Definition:Isogene eindimensionale komplexe Tori

Komplexe Tori über heißen isogen, wenn es eine nichtkonstante Isogenie gibt.



Definition:Endomorphismenring (komplexer Torus)

Es sei ein Gitter und der zugehörige komplexe Torus. Man nennt

mit der Addition und der Hintereinanderschaltung von Isogenien den Endomorphismenring von .



Definition:Elliptische Funktion

Es sei ein Gitter. Eine meromorphe Funktion

heißt elliptisch bezüglich oder -doppeltperiodisch, wenn

für alle gilt.



Definition:Körper der elliptischen Funktionen

Es sei ein Gitter. Die Menge aller elliptischen Funktionen bezüglich mit der natürlichen Addition und Multiplikation nennt man den Körper der elliptischen Funktionen.



Definition:Die Weierstraßsche -Funktion

Es sei ein Gitter. Man nennt die meromorphe Funktion

die Weierstraßsche -Funktion zum Gitter .



Definition:Eisensteinreihe

Es sei ein Gitter und . Dann heißt

die Eisensteinreihe zum Gitter und zum Gewicht .



Definition:Diskriminante (Gitter)

Es sei ein Gitter. Wir setzen

und nennen dies die Diskriminante des Gitters .



Definition:Grad (Kurvenmorphismus)

Es seien und irreduzible algebraische Kurven über einem algebraisch abgeschlossenen Körper und sei

eine endliche Abbildung. Dann nennt man den Grad der zugehörigen Körpererweiterung der Funktionenkörper den Grad von .



Definition:Verzweigungsindex

Zu einem injektiven Ringhomomorphismus zwischen diskreten Bewertungsringen nennt man die Ordnung einer Ortsuniformisierenden von in die Verzweigungsindex der Erweiterung.



Definition:Verzweigung

Ein injektiver Ringhomomorphismus zwischen diskreten Bewertungsringen heißt verzweigt, wenn seine Verzweigungsordnung ist.



Definition:Separabel (Kurvenabbildung)

Es seien und irreduzible algebraische Kurven über einem algebraisch abgeschlossenen Körper und sei

eine endliche Abbildung. Man nennt separabel, wenn die zugehörige Körpererweiterung der Funktionenkörper separabel ist.



Definition:Isogenie (elliptische Kurve)

Es seien und elliptische Kurven über einem Körper . Eine Isogenie ist ein Morphismus

mit .



Definition:Endomorphismenring (elliptische Kurve)

Zu einer elliptischen Kurve über dem Körper nennt man

mit der Addition und der Hintereinanderschaltung von Isogenien den Endomorphismenring von .



Definition:Weildivisor

Es sei eine irreduzible glatte Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper . Unter einem Weildivisor versteht man eine formale endliche Summe .



Definition:Hauptdivisor

Es sei eine irreduzible glatte Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper und sei , , ein Element des Funktionenkörpers. Man nennt den Hauptdivisor zu .



Definition:Divisorenklassengruppe

Es sei eine irreduzible glatte Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper mit Funktionenkörper . Dann nennt man die Restklassengruppe

die Divisorenklassengruppe von .



Definition:Grad eines Weildivisors

Es sei eine glatte projektive Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper . Zu einem Weildivisor auf ist der Grad als

definiert.



Definition:Zurückgezogener Weildivisor

Zu einem nichtkonstanten Morphismus

zwischen glatten Kurven über einem algebraisch abgeschlossenen Körper und einem Weildivisor auf nennt man

den zurückgezogenen Weildivisor.



Definition:Divisorenklassengruppe vom Grad 0

Es sei eine glatte projektive Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper . Man nennt

die Divisorenklassengruppe vom Grad 0 zu .



Definition:Vorgeschobener Weildivisor

Zu einem nichtkonstanten Morphismus

zwischen glatten Kurven über einem algebraisch abgeschlossenen Körper und einem Weildivisor auf nennt man

den vorgeschobenen Weildivisor.



Definition:Rang (elliptische Kurve)

Es sei eine elliptische Kurve über einem Körper . Dann nennt man den Rang der kommutativen Gruppe den Rang von .



Definition:Tate-Modul (kommutative Gruppe)

Es sei eine kommutative Gruppe und eine Primzahl. Unter dem -adischen Tate-Modul von versteht man die Gruppe

wobei die Torsionsuntergruppe der Ordnung bezeichnet.



Definition:Tate-Modul (elliptische Kurve)

Zu einer elliptischen Kurve über einem Körper und einer Primzahl versteht man unter dem -adischen Tate-Modul den projektiven Limes



Definition:Schwache Höhe (Gruppe)

Es sei eine kommutative Gruppe und sei

eine Funktion. Wir nennen eine schwache Höhenfunktion, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind.

  1. Zu gibt es eine reelle Zahl derart, dass

    für alle gilt.

  2. Es gibt eine natürliche Zahl und eine Konstante derart, dass

    für alle gilt.

  3. Für jede Schranke ist die Menge

    endlich.



Definition:Absolutbetrag

Es sei ein Körper. Eine Funktion

heißt Betrag (oder Absolutbetrag) auf , wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind.

  1. Es ist für alle .
  2. Es ist genau dann, wenn ist.
  3. Es ist
  4. Es ist


Definition:Archimedischer Betrag

Ein Betrag

auf einem Körper heißt archimedisch, wenn die Menge in nicht beschränkt ist.



Definition:Standardbetragsmenge ()

Unter versteht man die Menge bestehend aus dem archimedischen Standardbetrag

und aus den Beträgen zu jeder Primzahl , die durch

gegeben sind.



Definition:Standardbetragsmenge (Zahlkörper)

Es sei ein Zahlkörper. Mit bezeichnet man die Menge der Beträge auf , deren Einschränkung auf mit einem rationalen Standardbetrag übereinstimmt.



Definition:Höhe (rationaler Punkt)

Es sei ein Zahlkörper und sei ein -Punkt mit den homogenen Koordinaten . Dann versteht man unter der Höhe (über ) von die reelle Zahl



Definition:Absolute Höhe (rationaler Punkt)

Es sei und sei ein Zahlkörper, über den der Punkt definiert ist. Dann nennt man

die absolute Höhe von .



Definition:Logarithmische Höhe (rationaler Punkt)

Zu nennt man

wobei die absolute Höhe von bezeichnet, die logarithmische Höhe von .



Definition:Zeta-Funktion

Es sei eine Varietät über einem endlichen Körper und es bezeichne die Anzahl der Punkte von . Dann nennt man

die Zeta-Funktion von .



Definition:Gute Reduktion

Es sei eine elliptische Kurve über mit einem homogenen kubischen ganzzahligen Polynom und sei eine Primzahl. Man sagt, dass gute Reduktion modulo besitzt, wenn glatt ist, und andernfalls, dass schlechte Reduktion modulo besitzt.



Definition:Additive Reduktion

Es sei eine elliptische Kurve über mit und sei eine Primzahl. Man sagt, dass additive Reduktion modulo besitzt, wenn irreduzibel ist und einen singulären Punkt mit einer Tangentenrichtung besitzt.



Definition:Multiplikative Reduktion

Es sei eine elliptische Kurve über mit und sei eine Primzahl. Man sagt, dass multiplikative Reduktion modulo besitzt, wenn irreduzibel ist und einen singulären Punkt mit zwei Tangentenrichtungen besitzt.



Definition:Spaltende multiplikative Reduktion

Es sei eine elliptische Kurve über mit und sei eine Primzahl. Man sagt, dass spaltende multiplikative Reduktion modulo besitzt, wenn irreduzibel ist und einen singulären Punkt mit zwei Tangentenrichtungen besitzt, die über definiert sind.



Definition:L-Reihe einer elliptischen Kurve

Zu einer elliptischen Kurve über in ganzzahliger Darstellung definiert man die -Reihe unter Verwendung der Definition 26.11 durch



Definition:Modulfunktion

Es sei . Eine meromorphe Funktion auf der oberen Halbebene heißt Modulfunktion vom Gewicht , wenn

für alle

gilt und wenn meromorph in ist.



Definition:Modulform

Eine Modulfunktion auf der oberen Halbebene vom Gewicht heißt Modulform, wenn sie holomorph in und holomorph in ist.



Definition:Hauptkongruenzgruppe

Es sei . Die Untergruppe

heißt Hauptkongruenzgruppe zur Stufe .