Kurs:Funktionalanalysis/Existenzsatz für Skalarprodukte
Einleitung Bearbeiten
Mit der Existenz für Skalarprodukte für normierte Räume wird durch den Satz von Jordan und von Neumann ein Zusammenhang zwischen der Parallelogrammgleichung und der Existenz eines Skalarproduktes auf normierten Räumen hergestellt. Die Parallelogrammgleichung in der Mathematik hat ihre Ursprünge in der elementaren Geometrie. Allgemeinere Formulierung gelten auch für normierte Vektorräume über komplexen Zahlen und in allgemeinen Prähilberträumen.
Anwendung in der Geometrie Bearbeiten
Wir betrachten zunächst die Parallelogrammgleichung in der Euklidischen Geometrie.
Satz Bearbeiten
In einem Parallelogramm mit den Seitenlängen a, b und den Diagonalen e, f gilt:
Beweise Bearbeiten
Der Satz folgt direkt und in besonders einfacher Weise aus dem Satz des Pythagoras. Hierzu erweitern wir die nebenstehende Zeichnung noch um die Höhe auf der linken Seite bei der Diagonalen f mit den Abschnitten q.
Beweisschritt 1 Bearbeiten
Zweimalige Anwendung des Satzes des Pythagoras ergibt zunächst die beiden Gleichungen
Die Summe dieser beiden Gleichungen ergibt . Eine dritte Anwendung liefert womit der Satz bewiesen ist.
Beweisschritt 2 Bearbeiten
Der Beweis kann mit dem Kosinussatz wie folgt erfolgen:
- ,
da und ist.
Bemerkung 3 Bearbeiten
Zwei Vektoren und spannen ein Parallelogramm auf.
In der linearen Algebra auf Schulniveau kann der Beweis mit Vektoren und Skalarprodukt in euklidischen zweidimensionale Geometrie behandelt werden.
Beweisschritt 4 Bearbeiten
Mit und gilt:
- .
Verallgemeinerung und Umkehrung Bearbeiten
Für ein beliebiges ebenes Viereck gilt mit den angegebenen Bezeichnungen:
wobei den Abstand der Mittelpunkte der beiden Diagonalen bezeichnet.
Verallgemeinerung 1 Bearbeiten
Ist das Viereck ein Parallelogramm, so stimmen die beiden Diagonalenmittelpunkte überein. Somit ist und es ergibt sich die Parallelogrammgleichung als Spezialfall.
Verallgemeinerung 2 Bearbeiten
Umgekehrt folgt: Gilt die Parallelogrammgleichung, so ist . Die beiden Diagonalen halbieren sich also gegenseitig, das Viereck ist ein Parallelogramm.
Anwendung für komplexe Zahlen Bearbeiten
Wenn man eine komplexe Zahl als Vektor im zweidimensionalen Kartesischen Koordinatensystem auffasst, kann man die Existenz analog in die Gaußschen Zahlenebene übertragen
Satz Bearbeiten
Für zwei komplexe Zahlen z,w gilt:
Beweis Bearbeiten
Die Gültigkeit des Satzes ist offensichtlich, wenn man die Zahlen in der Gauß'schen Zahlenebene interpretiert, in der und dann ein Parallelogramm mit den Diagonalen und aufspannen. Er lässt sich aber auch direkt rechnerisch herleiten mit dem Skalarprodukt.
Beweis 1 Bearbeiten
Unter Benutzung von für jede komplexe Zahl gilt:
Die Gleichung in Vektorräumen Bearbeiten
Die Betrachtung in Prähilberträumen stellt die am meisten abstrahierte Betrachtung dar. Selbstverständlich lassen sich die Aussagen der beiden vorhergehenden Abschnitte mit dem nun folgenden Satz beweisen (zum einen mit den Mitteln der analytischen Geometrie, zum anderen durch die Zurückführung von auf einen zweidimensionalen -Vektorraum unter Definition einer Multiplikation und einer Norm). Dennoch sind die jeweiligen Beweise mit den jeweils zur Verfügung stehenden Mitteln in der Sekundarstufe I und II über den Pythagos oder dem kanonischen Skalarprodukt im bereits umsetzbar.
Satz Bearbeiten
In Prähilberträumen, also Vektorräumen, in denen ein Skalarprodukt definiert ist, (oder in Vektorräumen mit zumindest einem positiv semidefiniten inneren Produkt) gilt:
wobei die durch das Skalarprodukt induzierte Norm ist.
Beweis Bearbeiten
Zum Beweis benötigt man nur die Tatsache, dass ein Skalarprodukt eines jeden Prähilbertraumes bezüglich der Addition für beide Argumente (semi-)linear ist (siehe Definition des Skarlarproduktes und Sesquilinearform). Dann erhält man:
Umkehrung Bearbeiten
Die Parallelogrammgleichung gilt nicht in normierten Vektorräumen, deren Norm nicht durch ein Skalarprodukt definiert wird. Es gilt nämlich der Satz von Jordan-von Neumann (nach Pascual Jordan und John von Neumann):
Zusammenhang Norm - Skalarprodukt Bearbeiten
Gilt in einem normierten Vektorraum die Parallelogrammgleichung, so gibt es ein Skalarprodukt , das die Norm erzeugt, das heißt, für alle gilt
Polarisationsformel Bearbeiten
Dieses Skalarprodukt kann durch eine Polarisationsformel definiert werden, im reellen Fall zum Beispiel durch
und im komplexen Fall durch
Parallelogrammgleichung im IR-Vektorraum Bearbeiten
Seien aus dem normierten Verktorraum und es gelte die Parallelogrammgleichung im -Vektorraum.
Dann ist das Skalarprodukt dort durch die Polarisationsformel definiert (siehe nachfolgende Aufgabe):
Aufgabe - von Parallelogrammgleichung zum Skalarprodukt Bearbeiten
Zeigen Sie nun, dass die im Folgenden definiert Abbildung von nach Skalarprodukt ist,
Weisen Sie dazu im reellen Fall die definierenden Eigenschaften einer symmetrische Bilinearform nach.
Quellen Bearbeiten
- Dirk Werner: Funktionalanalysis. 6., korrigierte Auflage, Springer-Verlag, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-72533-6, Seite 203–204.
Weblinks Bearbeiten
Wikibooks: Beweis zur Parallelogrammgleichung – Lern- und Lehrmaterialien
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