Kurs:Funktionentheorie/Übungen/1. Zettel

Übung zur Funktionentheorie

Abgabe bis 3. November 2017, 10:15

Aufgabe (Rechnen, 5 Punkte)

Berechne folgende komplexen Zahlen:

1. $(1+4i)\cdot (3+5i)$
2. ${\frac {1+4i}{3+5i}}$
3. $i^{2018}$
4. $(1+i)^{8}$
5. $(1+i)^{2018}$

Aufgabe ("Schreiben", 5 Punkte)

In der Vorlesung wurde besprochen, dass $\mathbf {C}$ ein Körper ist. Zeige folgende Rechengesetze für komplexe Zahlen:

1. Assoziativität der Multiplikation $\forall z,v,w\in \mathbf {C} :(z\cdot v)\cdot w=z\cdot (v\cdot w)$
2. Distributivität der Mulltiplikation über die Addition: $\forall z,v,w\in \mathbf {C} :(z+v)\cdot w=z\cdot w+v\cdot w$

Aufgabe (Gleichungen, 5 Punkte)

Bestimme alle $z\in \mathbf {C}$, die folgende Gleichungen erfüllen:

1. $(3+i)z+(3+4i)=4+5i$
2. $(2+i)z^{2}-5iz+i=3$
3. $z^{4}=-1$

Aufgabe (Differenzieren, 5 Punkte)

Überprüfe, ob folgende Funktionen $\mathbf {C} \to \mathbf {C}$ differenzierbar sind. Falls ja, gib ihre Ableitung an.

1. $f\colon \mathbf {C} \to \mathbf {C} ,z\mapsto z^{2}+2$
2. $g\colon \mathbf {C} \to \mathbf {C} ,z\mapsto \left|z\right|^{2}$