Kurs:Funktionentheorie/Übungen/3. Zettel

Übung zur Funktionentheorie

Abgabe bis 24. November 2017, 10:15

Aufgabe (Integrale, 5 Punkte)

Es bezeichne $\gamma \colon [0,1]\to \mathbf {C}$, $t\mapsto \exp(2\pi it)$ die Standardparametrisierung des Einheitskreises. Bestimme für $n\in \mathbf {Z}$ das Integral

$\int _{\gamma }z^{n}\,dz$

Aufgabe (Quadratischer Weg, 5 Punkte)

Es sei $\gamma \colon [0,4]\to \mathbf {C}$ die durch

$t\mapsto {\begin{cases}-(1+i)+2t&t\in [0,1]\\1-i+2i(t-1)&t\in [1,2]\\1+i-2(t-2)&t\in [2,3]\\-1+i-2i(t-3)&t\in [3,4]\end{cases}}$

gegebene Parametrisierung des Einheitsquadrats. Berechne

$\int _{\gamma }z^{-1}\,dz$

Aufgabe (Abschätzung, 5 Punkte)

Es sei $f\colon [a,b]\to \mathbf {C}$ integrierbar. Man zeige, dass

$\left|\int _{a}^{b}\mathop {\rm {Re}} f(t)\,dt\right|\leq \left|\int _{a}^{b}f(t)\,dt\right|.$

Aufgabe (Umgekehrt, 5 Punkte)

Es sei $\gamma \colon [a,b]\to \mathbf {C}$ ein Integrationsweg und $f\colon \mathbf {C} \to \mathbf {C}$ stetig. Definiere $\gamma ^{-}\colon [a,b]\to \mathbf {C}$ durch $\gamma ^{-}(t):=\gamma (a+b-t)$. Man zeige

$\int _{\gamma ^{-}}f(z)\,dz=-\int _{\gamma }f(z)\,dz$