Übung zur Funktionentheorie
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Abgabe bis 1. Dezember 2017, 10:00
Aufgabe (Integrale, 5 Punkte)
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Es bezeichne
γ
:
[
0
,
1
]
→
C
{\displaystyle \gamma \colon [0,1]\to \mathbf {C} }
t
↦
exp
(
2
π
i
t
)
{\displaystyle t\mapsto \exp(2\pi it)}
∫
γ
1
z
+
1
2
d
z
{\displaystyle \int _{\gamma }{\frac {1}{z+{\frac {1}{2}}}}\,dz}
Tipp*: Nutze die geometrische Reihe, um
1
z
+
1
2
{\displaystyle {\frac {1}{z+{\frac {1}{2}}}}}
∑
n
a
n
z
−
n
{\displaystyle \sum _{n}a_{n}z^{-n}}
Aufgabe (Stammfunktionen, 5 Punkte)
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Man begründe, dass das es keine Funktion
f
:
C
→
C
{\displaystyle f\colon \mathbf {C} \to \mathbf {C} }
f
′
=
R
e
{\displaystyle f'=\mathop {\rm {Re}} }
Aufgabe (mehr Integrale, 5 Punkte)
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Es sei
R
>
1
{\displaystyle R>1}
γ
R
{\displaystyle \gamma _{R}}
[
−
R
,
R
]
{\displaystyle [-R,R]}
t
↦
R
exp
(
i
t
)
,
t
∈
[
0
,
π
]
{\displaystyle t\mapsto R\exp(it),t\in [0,\pi ]}
∫
γ
R
1
1
+
z
2
d
z
{\displaystyle \int _{\gamma _{R}}{\frac {1}{1+z^{2}}}\,dz}
Aufgabe (Länge, 5 Punkte)
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Bestimme die Länge des Einheitskreises,
γ
:
[
0
,
1
]
→
C
{\displaystyle \gamma \colon [0,1]\to \mathbf {C} }
t
↦
exp
(
2
π
i
t
)
{\displaystyle t\mapsto \exp(2\pi it)}
![{\displaystyle \gamma \colon [0,1]\to \mathbf {C} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1284956668df57bd52e18609ae9a9c7d7af21333)
![{\displaystyle [-R,R]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/090cf4334b9bfaf16a2418fe7d5f4effeff0fca1)
![{\displaystyle t\mapsto R\exp(it),t\in [0,\pi ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36c91d8207b67862a8b5d3a7742e706774812949)
