Kurs:Funktionentheorie/Übungen/4. Zettel

Übung zur Funktionentheorie

Abgabe bis 1. Dezember 2017, 10:00

Aufgabe (Integrale, 5 Punkte)

Es bezeichne $\gamma \colon [0,1]\to \mathbf {C}$, $t\mapsto \exp(2\pi it)$ die Standardparametrisierung des Einheitskreises. Bestimme das Integral

$\int _{\gamma }{\frac {1}{z+{\frac {1}{2}}}}\,dz$

• Tipp*: Nutze die geometrische Reihe, um ${\frac {1}{z+{\frac {1}{2}}}}$ in der From $\sum _{n}a_{n}z^{-n}$ darzustellen. Danach integriere gliedweise unter Verwendung der ersten Aufgabe auf dem letzten Zettel.

Aufgabe (Stammfunktionen, 5 Punkte)

Man begründe, dass das es keine Funktion $f\colon \mathbf {C} \to \mathbf {C}$ gibt, für die $f'=\mathop {\rm {Re}}$ gilt.

Aufgabe (mehr Integrale, 5 Punkte)

Es sei $R>1$ und $\gamma _{R}$ bezeichne den Halbkreis, bestehend aus $[-R,R]$, gefolgt von $t\mapsto R\exp(it),t\in [0,\pi ]$. Bestimme

$\int _{\gamma _{R}}{\frac {1}{1+z^{2}}}\,dz$

Aufgabe (Länge, 5 Punkte)

Bestimme die Länge des Einheitskreises, $\gamma \colon [0,1]\to \mathbf {C}$, $t\mapsto \exp(2\pi it)$.