Kurs:Funktionentheorie/Übungen/5. Zettel

Übung zur Funktionentheorie

Abgabe bis 15. Dezember 2017, 10:00

Aufgabe (Integrale, 5 Punkte)

Berechne die folgenden Integrale mit Hilfe der Cauchy-Integralformel:

1. $\int _{|z+1|=1}{\frac {dz}{(z+1)(z-1)^{3}}}$
2. $\int _{|z|=2}{\frac {\sin z}{z+i}}\,dz$
3. $\int _{|z|=r}{\frac {dz}{(z-a)^{n}(z-b)^{m}}}$ mit $|a|<r<|b|$, $n,m\geq 1$.

Aufgabe (Cauchy, 10 Punkte)

Es sei $S^{1}:=\{z\in \mathbf {C} :|z|=1\}$. Auf $\mathbf {C} \setminus S^{1}$ betrachten wir die Funktion

$f(z):=\int _{S^{1}}{\frac {d\zeta }{\zeta (\zeta -z)}}$

Bestimme $f$. An welchen Punkten von $S^{1}$ hat $f$ einen Grenzwert?

Aufgabe (mehr Integrale, 5 Punkte)

Nutze die Cauchy-Integralformel, um

$\int _{0}^{2\pi }e^{k\sin t}\sin(k\sin t)\,dt$

zu bestimmen.

Tipp: Betrachte $z\mapsto {\frac {e^{kz}}{z}}$ auf dem Einheitskreis.