Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)/Arbeitsblatt 1/latex
\setcounter{section}{1}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Skizziere die Menge
\mathdisp {{ \left\{ z \in {\mathbb C} \mid 3 \leq
\operatorname{Re} \, { \left( z \right) } \leq 5 , \, 2 \leq \operatorname{Im} \, { \left( z \right) } \leq 3 \right\} }} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
a) Berechne
\mathdisp {(4-7 { \mathrm i})(5+3 { \mathrm i})} { . }
b) Bestimme das inverse Element
\mathl{z^{-1}}{} zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ z
}
{ =} { 3+4 { \mathrm i}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
c) Welchen Abstand hat $z^{-1}$ aus Teil (b) zum Nullpunkt?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $A := \{ z \in {\mathbb C} : \operatorname{Im} \, { \left( z \right) } \geq ( \operatorname{Re} \, { \left( z \right) })^2 +1 \} \subset {\mathbb C}$. Zeige die folgende Aussage: Sind $z_1, z_2 \in A$ und ist $\lambda \in [0,1]$, so ist auch $\lambda z_1 + (1- \lambda) z_2 \in A$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien $n$ komplexe Zahlen
\mathl{z_1,z_2 , \ldots , z_n}{} in der Kreisscheibe $B$ mit Mittelpunkt $(0,0)$ und Radius $1$, also in
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ B
}
{ = }{ { \left\{ z \in {\mathbb C} \mid \betrag { z } \leq 1 \right\} }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
gegeben. Zeige, dass es einen Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ w
}
{ \in }{ B
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit der Eigenschaft
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{i = 1}^n \betrag { z_i-w }
}
{ \geq} { n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt.
}
{} {}
Der Graph einer komplexen Funktion
\maabbdisp {f} { D } { {\mathbb C}
} {,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ D
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
ist schwer zu skizzieren, da er ja eine Teilmenge von
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathbb C} \times {\mathbb C}
}
{ \cong }{ \R^4
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist. Als Ersatz skizziert man dann manchmal den Graphen der zugehörigen Betragsfunktion
\maabbeledisp {} {D} { \R
} {z} { \betrag { f(z) }
} {.}
Eine andere Möglichkeit ist, den Realteil und/oder den Imaginarteil der Funktion zu skizzieren.
\inputaufgabe
{}
{
Skizziere den \definitionsverweis {Graphen}{}{} der folgenden Funktionen. \aufzaehlungdrei{ \maabbeledisp {} { {\mathbb C} } { \R } {z} { \betrag { z } } {.} }{ \maabbeledisp {} { {\mathbb C} } { \R } {z} { \betrag { z^2 } } {.} }{\maabbeledisp {} { {\mathbb C} \setminus \{0\} } { \R } {z} { \betrag { { \frac{ 1 }{ z } } } } {.} }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabb {f} { {\mathbb C} } { {\mathbb C}
} {}
eine Funktion, die $\R$ nach $\R$ abbildet. Die Funktion sei in
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {als komplexe Funktion} {} {}
\definitionsverweis {differenzierbar}{}{.}
Zeige, dass dann auch die reelle Funktion $f {{|}}_{\R}$
\zusatzklammer {als Funktion von $\R$ nach $\R$} {} {}
differenzierbar ist
\zusatzklammer {und zwar mit der gleichen Ableitung} {} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die \definitionsverweis {komplexe Betragsfunktion}{}{} \maabbeledisp {} { {\mathbb C} } { {\mathbb C} } { z } { \betrag { z } } {,} im Nullpunkt nicht \definitionsverweis {differenzierbar}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Beweise die Produktregel für differenzierbare Funktionen über die \definitionsverweis {Funktionslimiten}{}{} für die \definitionsverweis {Differenzenquotienten}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D
}
{ \subseteq }{ {\mathbb K}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {offen}{}{}
und seien
\maabbdisp {f_i} {D} { {\mathbb K} , \, i = 1 , \ldots , n
} {,}
\definitionsverweis {differenzierbare Funktionen}{}{.}
Beweise die Formel
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (f_1 { \cdots } f_n)'
}
{ =} { \sum_{i = 1}^n f_1 { \cdots } f_{i-1} f_{i}' f_{i+1} { \cdots } f_n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $P\in {\mathbb C}[X]$ ein \definitionsverweis {Polynom}{}{,} $a \in {\mathbb C}$ und $n \in \N$. Zeige, dass $P$ genau dann ein Vielfaches von $(X-a)^n$ ist, wenn $a$ eine \definitionsverweis {Nullstelle}{}{} sämtlicher \definitionsverweis {Ableitungen}{}{} $P,P^\prime ,P^{\prime \prime} , \ldots , P^{(n-1)}$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {offen}{}{}
\maabb {f} {U } { {\mathbb C}
} {}
eine nullstellenfreie
\definitionsverweis {komplex differenzierbare}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ k
}
{ \in }{ \N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und sei
\maabb {g} {U} { {\mathbb C}
} {}
eine komplex differenzierbare Funktion mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(z)
}
{ =} { (g(z))^k
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ g'(z)
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ k } } \cdot { \frac{ 1 }{ (g (z))^{k-1} } } \cdot f'(z)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ = }{ \sum_{i = 0}^n a_iz^i
}
{ \in }{ {\mathbb C}[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein nichtkonstantes
\definitionsverweis {Polynom}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a_n
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wir setzen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \defeq }{ {\max { \left( \betrag { a_i } , i = 0 , \ldots , n-1 \right) } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ r
}
{ \defeq }{ {\max { \left( \frac{na+ \betrag { a_0 } +1}{ \betrag { a_n } } , 1 \right) } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { P(z) }
}
{ \geq} { 1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { z }
}
{ \geq} { r
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Berechne die
\definitionsverweis {Hintereinanderschaltungen}{}{}
\mathkor {} {f \circ g} {und} {g \circ f} {}
der beiden
\definitionsverweis {rationalen Funktionen}{}{}
\mathdisp {f(x)= { \frac{ 2x^2-4x+3 }{ x-2 } } \text{ und } g(x)= { \frac{ x+1 }{ x^2-4 } }} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die \definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{} von zwei \definitionsverweis {rationalen Funktionen}{}{} wieder rational ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die \definitionsverweis {Ableitung}{}{} einer \definitionsverweis {rationalen Funktion}{}{} wieder eine rationale Funktion ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabbdisp {F} {D} {{\mathbb C}
} {}
eine
\definitionsverweis {rationale Funktion}{}{.}
Zeige, dass $F$ genau dann ein Polynom ist, wenn es eine
\zusatzklammer {höhere} {} {}
\definitionsverweis {Ableitung}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F^{(n)}
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {komplexe Partialbruchzerlegung}{}{}
von
\mathdisp {{ \frac{ X }{ (X-1)(X-{ \mathrm i} ) (X+2 { \mathrm i} ) } }} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {komplexe Partialbruchzerlegung}{}{}
von
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ (X+1)(X-{ \mathrm i} )^2 } }} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Finde eine Darstellung der
\definitionsverweis {rationalen Zahl}{}{}
\mathl{1/100}{} als Summe von rationalen Zahlen, deren Nenner
\definitionsverweis {Primzahlpotenzen}{}{}
sind.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ = }{{ \frac{ x^2-1 }{ x } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{g(y)
}
{ = }{{ \frac{ y^2 }{ y-1 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
a) Bestimme die \definitionsverweis {Ableitung}{}{} von \mathkor {} {f} {und von} {g} {.}
b) Berechne die
\definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{h(x)
}
{ = }{g(f(x))
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
c) Bestimme die Ableitung von $h$ mit Hilfe von Teil b).
d) Bestimme die Ableitung von $h$ mittels der Kettenregel.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {inverse Matrix}{}{}
zur Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} { \frac{ t }{ t^2-1 } } & { \frac{ 1 }{ t^3 } } \\ { \frac{ t^2-4 }{ t } } & { \frac{ t-1 }{ t+1 } } \end{pmatrix}} { }
\zusatzklammer {über dem
\definitionsverweis {Körper der rationalen Funktionen}{}{}
$\R(t)$} {} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass es auf einer \definitionsverweis {offenen Kreisscheibe}{}{} \definitionsverweis {unbeschränkte}{}{} \definitionsverweis {holomorphe Funktionen}{}{} gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die komplexe Invertierung \maabbeledisp {} { {\mathbb C} \setminus \{0\} } { {\mathbb C} } {z} {z^{-1} } {,} nicht \definitionsverweis {gleichmäßig stetig}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass der \definitionsverweis {Betrag}{}{} \maabbeledisp {} { {\mathbb C} } { \R } {z} { \betrag { z } } {,} \definitionsverweis {gleichmäßig stetig}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir versuchen, für eine jede komplexe Zahl $z$ eine eindeutige Quadratwurzel festzulegen, indem wir aus den beiden Möglichkeiten
\mathl{\pm \sqrt{z}}{} diejenige Quadratwurzel auswählen, die einen positiven Realteil hat bzw. diejenige, falls der Realteil gleich $0$ ist, die einen nichtnegativen Imaginärteil hat. Zeige, dass die so definierte Funktion $\sqrt{z}$ an der Stelle $-1$ nicht
\definitionsverweis {stetig}{}{}
ist.
}
{} {Tipp: Betrachte diese Funktion auf dem Einheitskreisbogen um $-1$.}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{2}
{
Zeige, dass die \definitionsverweis {komplexe Betragsfunktion}{}{} \maabbeledisp {} { {\mathbb C} } { {\mathbb C} } { z } { \betrag { z } } {,} in keinem Punkt \definitionsverweis {differenzierbar}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{.}
Zeige, dass im
\definitionsverweis {Funktionenkörper}{}{}
\mathl{K(X)}{} die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ X^r-1 }{ X^r } }
}
{ =} { { \frac{ X-1 }{ X } } + { \frac{ X-1 }{ X^2 } } + \cdots + { \frac{ X-1 }{ X^{r-1 } }} + { \frac{ X-1 }{ X^r } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {komplexe Partialbruchzerlegung}{}{}
von
\mathdisp {\frac{ 1 }{ X^3-1 }} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {komplexe Partialbruchzerlegung}{}{}
von
\mathdisp {{ \frac{ X^3- { \mathrm i} X +1 }{ X^2(X^2+1)(X^2-1) } }} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $P/Q$ eine komplexe
\definitionsverweis {rationale Funktion}{}{}
derart, dass in der
komplexen Partialbruchzerlegung
alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c_{j1}
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sind. Zeige, dass $P/Q$ eine
\definitionsverweis {Stammfunktion}{}{}
besitzt.
}
{} {}